上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题

2022~2023学年华二附中高二（下）期末考试数学试卷

2023.06

一、填空题（第1－6题每题4分，第7－12题每题5分，满分54分）

1. 若双曲线的渐近线的方程为，则______.

2. 已知，则______.

3. 东哥、李教授两人下棋，李教授获胜的概率是，和棋的概率是，则李教授不输的概率为______.

4. 在的展开式中常数项为______（用数字作答）.

5. 从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数的和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数”，则______.

6. 从1，2，3，4，5中任取2个不同数作和，如果和为偶数得2分，和为奇数得1分，若表示取出后的得分，则______.

7. 已知甲、乙、丙、丁四位高三学生拍毕业照，这四位同学排在同一行，则甲、乙两位学生相邻的概率为______.

8. 随机变量，，若，那么实数A的值为______.

9. 在中，，顶点B在以AC为直径的圆上.点P在平面ABC上的射影为AC的中点，，则三棱锥外接球的半径为______.

10. 期中考卷有8道单选题，东哥对其中5道题有思路，3道题完全没思路.有思路的题做对的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则东哥从这8道题中随机抽取1道做对的概率为______.

11. 的展开式中的系数是______.

12. 某校高二年级共有10个班级，5位教学教师，每位教师教两个班级，其中姜老师一定教1班，张老师一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，曲老师不教2班和6班，王老师不教5班，则不同的排课方法种数______.

二、单选题（本大题共4题，满分20分）

13. 若函数在处导数为，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

14. 如图，一组数据，，，…，，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（    ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

15. 某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为（    ）

A. 24 B. 36 C. 60 D. 240

16. 抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17. 如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，交于点O，，D为BC中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角.

18. 某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格：

已知x与y线性相关.

（1）求y关于x的线性回归方程（，）；

（2）据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

19. 人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：

（1）根据小概率值的独立性检验，是否有99%的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？

（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求X的分布列和均值.

附：，其中.

20. 设椭圆C：的离心率，过点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求椭圆C被直线截得的弦长.

（3）直线与椭圆交于M，N两点，当时，求m值.（O为坐标原点）

21. 定义：若曲线和曲线有公共点P，且在P处的切线相同，则称与在点P处相切.

（1）设，.若曲线与曲线在点P处相切，求m的值；

（2）设，若圆M：与曲线在点Q（Q在第一象限）处相切，求b的最小值；

（3）若函数是定义在上的连续可导函数，导函数为，且满足和都恒成立.是否存在点P，使得曲线和曲线在点P处相切？证明你的结论.

2022~2023学年华二附中高二（下）期末考试数学参考答案

一、填空题

1.【答案】4

【解析】因为双曲线方程为，所以，则渐近线方程为，所以，则.

2.【答案】

【解析】因为，则.

3.【答案】

【解析】记李教授获胜为事件A，和棋为事件B.易知A，B互斥，所以，李教授不输的概率为.

4.【答案】160

【解析】∵的展开式的通项为：，

当，解得，∴的展开式中常数项是：.

5.【答案】

【解析】因为事件，所以，

而，所以.

6.【答案】

【解析】从1，2，3，4，5中任取2个不同数的所有结果有：，，，，，，，，，共10种结果，

其中和为偶数的有：，，，共4种，

其中和为奇数的有：，，，，，共6种，

所以，，

利用数学期望公式.

7.【答案】

【解析】四位同学排列，共用种不同排法，若甲、乙两位学生相邻，共用种不同排法，所以甲、乙两位学生相邻的概率.

8.【答案】95.5

【解析】∵，，∴，，

∵，∴，解得：.

9.【答案】2

【解析】设球的半径为R，

所以，

解得，

所以外接球的半径为2.

10.【答案】

【解析】设事件A表示“考生答对”，设事件B表示“考生选到有思路的题”，

则东哥从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：

.

11.【答案】120

【解析】的展开式中的系数为，

故的展开式中的系数是

.

12.【答案】236

【解析】（1）秋老师教9班，曲老师可在4，5，7，10班中选两班，再分两小类：

①曲老师不教5班，则曲老师可选（种）；王老师可选（种）；剩余的3个班3个老师全排列安排有（种）；按分步相乘计数原理有：（种）；

②曲老师教5班，则曲老师可选（种）；剩余的4个班4个老师全排列安排有（种）；

按分步相乘计数原理有：（种）.

按分类相加计数原理，秋老师教9班有：（种）；

（2）秋老师教10班，同理也有126（种）；

（3）秋老师同时教9班和10班，曲老师可在4，5，7班中选两班，再分两小类：

①曲老师不教5班，则曲老师教4班和7班，王老师再从2，6班选一个，可选（种）；剩余的2个班2个老师全排列安排有（种）；按分步相乘计数原理有：（种）；

②曲老师教5班，则曲老师可选（种）；剩余的3个班3个老师全排列安排有（种）；

按分步相乘计数原理有：（种）.

按分类相加计数原理，秋老师同时教9班和10班有：（种）；

但秋老师同时教9班和10班在（1）和（2）两种分类里都涉及到，所以重复需减去，

故不同的排课方法种数有：（种）.

二、单选题

13.【答案】D

【解析】，故选：D.

14.【答案】D

【解析】由题意可得：，，，则，

故，

∵，是波幅最大的两个点的值，则去除，这两个数据后，整体波动性减小，故.

故选：D.

15.【答案】C

【解析】当A基地只有甲同学在时，那么总的排法是种；

当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是种；

则甲同学被安排到A基地的排法总数为种，故选：C.

16.【答案】B

【解析】抛物线的准线方程为，，则，，

，当时，，

当时，，当且仅当时取等号，而，

所以的最小值是，故选：B.

三、解答题

17.【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）在正方形中，，

因为，所以，

又因为侧面是正方形，所以，

因为，AC，平面，

所以平面，

而平面，则，而，

∴，而，

又，平面，

∴平面.

（2）连接，如图所示：

∵为正方形，，

∴，，

而，，平面，

∴平面，

∴为直线与平面所成的角，

∵，

∴，

所以直线与平面所成的角为.

18.【答案】（1）；（2）3.14万人

【解析】（1）由，

.

有，，

故y关于x的线性回归方程为；

（2）由（1）知回归方程为，当时，，

所以预测该月的用户数量为3.14万人.

19.【答案】（1）没有；（2）分布见解析，

【解析】（1）零假设为：ChatGPT对服务业就业人数的增减无关.

根据表中数据得，

所以根据小概率值的独立性检验，

没有充分证据推断不成立，因此可以认为无关.

（2）由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，

有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，

有人认为人工智能不会在服务业中广泛应用，

则X的可能取值为1，2，3，

又，，，

所以X的分布列为，

所以.

20.【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）由题意可知，解得，

∴椭圆C的方程为.

（2）设椭圆C与直线的交点为，，

联立方程，消去y得，

∴，，

因此.

（3）设，，

联立方程，消去y得，

所以，，，得，

由，即，

，均符合.

21.【答案】（1）9；（2）；（3）不存在，理由见解析.

【解析】（1）设点，由，，

求导得，，

于是，解得，由，得，解得，

所以m的值为9.

（2）设切点，，由求导得，则切线的斜率为，

又圆M：的圆心，直线MQ的斜率为，

则由，得，令，，求导得，

当时，，当时，，

即函数在上递减，在上递增，

因此当时，，

所以当时，.

（3）假设存在满足题意，

则有，对函数求导得：，

于是，即，

平方得，

即有，因此，

整理得，而恒有成立，则有，

从而，显然，于是，

即与恒成立矛盾，

所以假设不成立，即不存在点P满足条件.