2022-2023学年上海市奉贤区高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市奉贤区高二下学期期末数学试题

一、填空题

1．过点的直线的倾斜角为      .（用反三角表示）

【答案】.

【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角.

【详解】由点，可得，

设直线的倾斜角为，则，

因为，所以.

故答案为：.

2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为      .

【答案】

【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标写出即可．

【详解】空间直角坐标系中，

点关于平面对称的点的坐标是

故答案为：．

3．在的展开式中，的系数是            .

【答案】

【分析】写出二项式展开式通项，确定含项的值，代入通项公式求系数即可.

【详解】由题设，展开式通项为，

当时，,

∴的系数是.

故答案为：

4．已知，则曲线在处的切线方程为      ．

【答案】

【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，最后利用点斜式求出切线方程.

【详解】解：因为，所以，，

则，

即切点为，切线的斜率，

所以切线方程为，即；

故答案为：

5．若数列中的前n项和（n为正整数），则数列的通项公式      .

【答案】

【分析】根据的关系即可求解.

【详解】由得：,

故，

当时，也符合，

故，

故答案为：

6．掷一颗骰子并观察出现的点数.已知出现的点数不超过，则出现的点数是奇数的概率是      .

【答案】/

【分析】根据条件概率公式可求出结果.

【详解】记“出现的点数是奇数”，“出现的点数不超过”，

则，，

所以.

故答案为：.

7．已知随机变量服从正态分布，且，则      ．

【答案】

【分析】根据正态分布的特点即可得到答案.

【详解】根据正态分布的对称性得

，

故答案为：0.12.

8．若数列的通项公式（n为正整数），的前n项和是，则      .

【答案】

【分析】根据等比数列求和公式求出，再求得即可

【详解】，故

故答案为：

9．设双曲线，以C1的实轴为虚轴，以C1的虚轴为实轴的双曲线C2叫做C1的共轭双曲线，通过研究可以得到双曲线C1和它的共轭双曲线C2有很多相同的性质，请写出其中的一个性质：      .

【答案】和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上（答案不唯一）.

【分析】根据题意得到共轭双曲线的方程，进而得到两曲线的一个相同的性质.

【详解】由双曲线，

可得以的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线，

此时曲线和的焦距相同，可得和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上，

同时两曲线的渐近线都为，

所以其中的一个性质：和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上或渐近线相同.

故答案为：和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上（答案不唯一）.

10．某校在高二开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为      .

【答案】150

【分析】利用排列组合以及分步计数原理求解.

【详解】先将5名同学分成三组，每组人数有或两种情况，

则不同的分组方法有,

再由这3组学生选取3门选修课，不同的选法有种，

由分步计数原理可知这5名同学选课的种数为，

故答案为：150.

11．已知抛物的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则P到准线l的距离为      .

【答案】5

【分析】结合图形，利用相似关系，以及抛物线的几何性质，即可求解.

【详解】由抛物线，可知，即为坐标原点），

过点作轴的垂线，垂足为，由三角形相似可知

所以，所以点到准线的距离为5.

故答案为：5

12．已知点是函数图像上任意一点，点是曲线上一点，则、两点之间距离的最小值是      .

【答案】

【分析】依题意可得曲线表示圆心为，半径的圆，由距离公式表示出，令，利用导数说明函数的最小值，即可求出的最小值，最后由计算可得.

【详解】曲线表示圆心为，半径的圆，

则，

令，则，

令，则，

所以单调递增，又，

所以当时，即，即在上单调递减，

当时，即，即在上单调递增，

所以在处取得极小值即最小值，即，

所以，

所以.

故答案为：

二、单选题

13．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为2m，渠深为1.5m，水面距为0.5m，则截面图中水面宽的长度约为（    ）m.

A．1.33 B．1.63 C．1.50 D．1.75

【答案】B

【分析】以为原点，为轴，建立平面直角直角坐标系，利用点的坐标求出抛物线方程，再根据抛物线方程可求出结果.

【详解】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角直角坐标系：

设抛物线的标准方程为，

由题意可得，代入得，得，

故抛物线的标准方程为，

设，则，

则，，

所以截面图中水面宽的长度约为.

故选：B

14．如果、分别是A、B的对立事件，下列选项中能判断事件A与事件B相互独立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据相互独立事件满足的关系即可判断A，根据假设即可判断BCD.

【详解】对于A，由，且，

可得，

所以，所以事件A与事件B相互独立，故A正确，

对于B，若事件A与事件B相互独立，则需满足，

由于，所以，

故无法确定事件A与事件B相互独立，B错误，

对于C， ，

若事件A与事件B相互独立，则或，

故事件A为必然事件或事件B为不可能事件，

显然无法确定事件A与事件B相互独立，故C错误，

对于D，由可得，

则，无法确定事件A与事件B相互独立，故D错误，

故选：A.

15．已知函数的导函数为，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在等式求导，再令，可得出关于的等式，解之即可.

【详解】在等式两边求导得，所以，，解得.

故选：C.

16．已知数列，设（n为正整数）.若满足性质Ω：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”.有以下三个命题：

①若数列是“梦想数列”，则常数；

②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”；

③“梦想数列”一定是等差数列.

以上3个命题中真命题的个数是（    ）个

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【分析】分析条件，可得，可判断①；先验证，，时，､､成等差数列，再令，，，得数列的前项和的表达式，从而求得数列的通项公式，可判断②③.

【详解】对于①，

，所以，，故①正确；

对于②③，令，，，

所以，，即：､､成等差数列，

令，，，

，

化简为：，

两式相减得：

所以，，当时也成立.

综上可得，“梦想数列”必是等差数列，故③正确，故②不正确.

故选：B.

三、解答题

17．已知在直三棱柱中，是直角.

(1)求证：平面⊥平面；

(2)设异面直线与所成角的大小为，直线与平面所成角的大小为.比较和的大小，并说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)，理由见解析

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理分析证明；

（2）根据异面直线夹角、线面夹角的定义分析求解.

【详解】（1）因为平面，平面，，

又因为，，平面，

可得平面，平面，

所以平面⊥平面.

（2）因为，且，即为锐角，

所以异面直线与所成的角，且，

连接，由（1）可知：，，

且，平面，可得平面，

又因为，则平面，

所以直线A1C与平面BB1C1C所成的角，且，

又因为，则，即，

且在内单调递增，所以.

    .    

18．已知数列是严格增的等比数列，，.

(1)求的通项公式；

(2)若，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设出公比，列出方程组，求出和公比，根据是严格增的等比数列，舍去不合要求的解，得到通项公式；

（2）先求出，利用分组求和，等差数列求和公式进行求解.

【详解】（1）设公比为，则，

解得，

又，将代入，解得或，

因为，是严格增的等比数列，所以，

故；

（2）因为，所以，

.

19．某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查，在高二的全体名学生中随机抽取了名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.

(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数；

(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据分布概率表中的数据，能否有的把握认为视力与学习成绩有关系？请说明理由；

(3)在（2）中调查的名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了人进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这人中任取人，记名次在的学生人数为，求的分布列和数学期望.

附：

.其中.

【答案】(1)人

(2)有，理由见解析

(3)分布列见解析，数学期望为.

【分析】（1）利用组距，可求得前组的人数，由后四组的频数成等差数列，可求后三组的人数，由此得到视力在以下的频率，估计出总体；

（2）将数据代入独立性检验的公式中进行计算，并将结果与比较，可得结论；

（3）利用分层抽样可得年级名次在名和名的学生的人数，根据超几何分布的概率模型求出分布列和期望.

【详解】（1）由直方图可知，第一组有人，

第二组有人，

第三组有人，

因为后四组频数成等差数列，设等差数列的公差为，

则，解得，

所以后四组的频数依次为，

所以视力在以下的频率为，

全年级视力在以下的人数为人；

（2）由题意，

，

因此能有的把握认为视力与学习成绩有关系；

（3）由题意，调查的名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取的人，年级年级名次在名和名的学生分别有名和名，可取，

，

，

，

.

的分布列为

的数学期望.

20．已知椭圆，该椭圆与x轴的交点分别是A和B（A在B的左侧），该椭圆的两个焦点分别是F1和F2（F1在F2的左侧），椭圆与y轴的一个交点是P.

(1)若P为椭圆的上顶点，求经过点F1，F2，P三点的圆的方程；

(2)已知点P到过点F2的直线l的距离是1，求直线l的方程；

(3)已知椭圆上有不同的两点M、N，且直线MN不与坐标轴垂直，设直线MA、NB的斜率分别为k1、k2，求证：“”是“直线MN经过定点（1，0）”的充要条件.

【答案】(1)；

(2)当为上顶点时，直线l的方程为或，当为下顶点时，直线l的方程为或；

(3)证明见解析.

【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出F1，F2，P三点坐标，确定圆心和半径，进而求出圆的方程.

（2）先分为上顶点和下顶点两种情况来研究，要考虑直线l的斜率是否存在，分别求出直线方程.

（3）充分性：设出直线MN的方程，联立方程组，根据整理出的关系式，即可得到，即直线MN过定点

必要性：根据直线MN过定点，设出直线MN的方程，联立方程组，求出的表达式，消去即证明出.

【详解】（1）由题意知

因为所求的圆经过点F1，F2，P三点，所以圆心在轴上.设圆心坐标

由得

解得.圆心，此时半径，

所以圆的方程为.

（2）当为上顶点时，

若直线的斜率不存在，此时的方程为，满足题意；

若直线的斜率存在，设的方程为，即.

到直线的距离为，解得

此时的方程为.

当为下顶点时，

若直线的斜率不存在，此时的方程为，满足题意；

若直线的斜率存在，设的方程为，即.

到直线的距离为，解得

此时的方程为.

综上所述，当为上顶点时，直线l的方程为或；

当为下顶点时，直线l的方程为或.

（3）证明：充分性

因为直线MN不与坐标轴垂直，设MN的方程为.

设

联立方程组，

整理得

，，

，

将代入上式，整理得

恒成立，

，即直线过定点.充分性得证.

必要性：

因为直线MN不与坐标轴垂直且过点，设MN的方程为.

设，

联立方程组，

整理得

，，

.必要性得证.

所以“”是“直线经过定点”的充要条件.

21．对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“t跃点”

(1)若m为实数，函数，是“跃点”函数，求m的取值范围；

(2)若a为非零实数，函数，是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求a的值：

(3)若b为实数，函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范围.

【答案】(1)

(2)或.

(3)

【分析】（1）根据函数解析式计算，再由“跃点”函数的定义结合三角函数的性质求得实数的取值范围；

（2）若函数是“2跃点”函数，则方程有解，即有解，结合二次函数的性质和“2跃点”函数的定义求解即可；

（3）将题意转化为方程，即有一个不同的实数根，令，对求导，求出的单调性和最值，结合图象即可得出答案.

【详解】（1）函数的导函数为，

若函数，是“跃点”函数，

则方程有解，即有解，

又因为，故，即.

（2）因为，所以，

若该函数是“2跃点”函数，则方程①有解，

即有解，

由因式分解可得，

当时上述方程成立，因此是方程的一个实数根；

当时，②，

当即时，方程②为，即方程②有两个相等的实数根，

此时方程①的根为，则函数有两个不同的“2跃点”；

当即时，方程②无解，此时方程①的根为，则函数有一个“2跃点”；

当即时，方程②有两个不相等的实数根，若函数有两个不同的“2跃点”，

则其中一个是实数根为，则，解得：.

综上：的值为或.

（3）函数，，

若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个 “1跃点”，

则方程，即恰有一个实数根，

即，，

令，解得：；令，解得：且，

故函数在和是严格的减函数，在上是严格的增函数.

且，

当趋近于负无穷，趋近于，当趋近于正无穷，趋近于正无穷，

的图象如下图：

故当时，恰有一个实数根，

即时，恰有一个实数根，

所以b的取值范围为.

【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.