2022-2023学年山东省聊城市聊城第四中学高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年山东省聊城市聊城第四中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（    ）．

A．120种 B．90种 C．80种 D．60种

【答案】D

【分析】根据场馆安排，对6名同学依次分组，利用分步乘法原则即可求得结果.

【详解】首先安排甲场馆的3名同学，即；

再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，即；

最后安排2名同学到丙场馆，即.

所以不同的安排方法有：种.

故选：D.

2．展开式中含项系数是（    ）

A．12 B．60 C．192 D．240

【答案】A

【分析】利用展开式的通项公式直接求解.

【详解】展开式的通项公式，

令6 - 2r = 4,解得：r = 1,

所以展开式中含项系数是.

故选：A

【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．

3．已知随机变量，，则的值为（    ）

A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84

【答案】A

【分析】根据正态密度曲线的特征和曲线的性质得到曲线的对称轴为直线，.

【详解】

由，得正态密度曲线的对称轴为直线，

如上图，则.

故选：A.

4．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙、丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为2%，2%，4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为（    ）

A．0.025 B．0.08 C．0.07 D．0.125

【答案】A

【分析】利用全概率计算公式即可求解.

【详解】设A1，A2，A3分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B表示次品，

则P(A1)＝0.5，P(A2)＝P(A3)＝0.25，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.04，

∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)

＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025．

故选：A．

5．已知，若，则

A． B． C．15 D．35

【答案】A

【分析】令，可得，解得，把二项式化为，再利用二项展开式的通项，即可求解．

【详解】由题意，令，可得，解得，

所以二项式为

所以展开式中的系数为，故选A．

【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答熟练应用赋值法求得二项展开式的系数，以及二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

6．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据条件概率的定义即可求得两事件同时发生的概率.

【详解】解析：记“该地区下雨”为事件A，“刮风”为事件B，

则P(A)=，P(B)=，P(B|A)=，

所以P(AB)=P(A)P(B|A)=.

故选：C.

7．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{an}，当第次摸取到的是红球时，；当第次摸取到的是白球时，，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7=3的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据S7=3知7次摸球中摸取红球和白球的次数，结合古典概型概率求出每次摸球时摸到红球的概率和摸到白球的概率，从而可选出正确答案.

【详解】解析：由S7=3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，每次摸红球的概率为，摸取白球的概率为，则S7=3的概率为，

故选:B.

【点睛】关键点睛:

本题关键是求出7次摸球中摸取红球和白球的次数，结合组合的思想进行求解.

8．已知函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分四种情况讨论，分别判断两边导函数值的符号，判断在处是否取得极大值，即可筛选出的取值范围.

【详解】由在处取得极大值可知，当时，；

当时，，

其等价于①存在，使得，

且②存在，使得；

若时，的解集为，不满足②即不存在，使得，故时在不是极大值；

若时，的解集为，的解集为，满足①②，故时，在处取得极大值；

若，恒小于等于0，不满足①，故时，在取不到极大值；

若时，的解集为，不满足②，故时，在处取不到极大值.

综上，的取值范围是.

故选：A.

【点睛】求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4)检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.

二、多选题

9．对于关于下列排列组合数，结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答.

【详解】对于A，由组合数的性质知，成立，A正确；

对于B，，B正确；

对于C，因，因此成立，C正确；

对于D，因，即不成立，D不正确.

故选：ABC

10．已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A．是函数的极小值点

B．是函数的极小值点

C．函数在区间上单调递增

D．函数在处切线的斜率小于零

【答案】BC

【解析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.

【详解】由图象得时，，时，，

故在单调递减，在单调递增，

故是函数的极小值点.

对选项：显然，故错误.

故选：BC．

【点睛】本题考查由导数涵图象研究函数性质，属基础题.

11．甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，

则下列说法中正确的是（    ）

附：若随机变量X服从正态分布，则.

A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩

B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩

C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近

D．若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587

【答案】ACD

【分析】利用正态分布曲线与参数的关系、参数的意义、正态曲线的对称性，对四个选项逐一分析判断即可．

【详解】解：由图象可知，甲的图象关于对称，乙的图象关于对称，

所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，

故选项A正确，B错误；

因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”，

所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右，

则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，

故选项C正确；

若，则甲同学成绩高于80分的概率约为，

故选项D正确．

故选：ACD．

12．已知函数，其中正确结论的是（    ）

A．当时，有最大值；

B．对于任意的，函数是上的增函数；

C．对于任意的，函数一定存在最小值；

D．对于任意的，都有.

【答案】BC

【分析】利用导数研究函数的性质即可.

【详解】，

当时，，函数，都是单调递增函数，

易知函数在上单调递增，无最大值，故A错误；

对于任意的，函数，都是单调递增函数，

则函数是上的增函数，故B正确；

当时，，，故，D错误；

对于任意的，，易知在单调递增，

当时，，当时，，

∴存在，当时，，函数单调递减，

，，函数单调递增，∴，故C正确，

故选：

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，对数的运算法则及其应用等知识，属于中档题.

三、填空题

13．计算______.

【答案】35

【分析】根据组合数的性质计算可得；

【详解】解：

故答案为：

【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题.

14．在的展开式中的常数项是________.

【答案】5

【分析】把按照二项式定理展开，即可得到的常数项.

【详解】因为，

所以展开式中的常数项是.

故答案为：

【点睛】本题主要考查二项式定理，熟练掌握二项式的展开式为解题的关键，属于简单题.

15．随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，若，则的值是______

【答案】5

【分析】由条件求出，然后算出，然后可得.

【详解】a，b，c成等差数列，，又，且，

联立以上三式解得：，

，

则

故答案为：5

16．已知函数，若在处取得极值，则曲线在点处切线方程为________.

【答案】；

【分析】求导得到，根据得到，计算，得到切线方程.

【详解】，则，

故，解得，，.

故，，故切线方程为：，即.

故答案为：.

【点睛】本题考查了函数的切线方程，意在考查学生的计算能力.

四、解答题

17．已知的展开式中的系数是-35，

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）1（2）

【详解】试题分析：（1）本题主要考查二项式定理，首先根据通项公式写出，令，从而求出的值为1，于是问题转化为的展开式，采用赋值法，首先令，求出的值，再令，可以求出的值，这样得出的值；（2）两次赋值，分别令，，两个式子相减得到的值.

试题解析：∵，

∴，∴.

（1）令时，，①

令时，.

∴.

（2）令时，.②

①-②得.

18．（请写出式子再写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：

（1）共有多少种方法？

（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？

（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？

【答案】（1）256（2）（3）

【分析】（1）每个球都有4种方法，根据分步计数原理可得答案；

（2）由题意每个盒子不空，故每个盒子各一个，可得答案；

（3）由题意可从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，由分步计数原理可得答案.

【详解】解：（1）每个球都有4种方法，故有4×4×4×4＝256种，

（2）每个盒子不空，共有不同的方法，

（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，

从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有种不同的放法．

【点睛】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，相对简单，注意灵活运用排列、组合的性质求解.

19．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．

(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；

(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．

【答案】(1)；(2)

【分析】(1)用古典概型概率计算公式直接求解；

(2) 的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应取值时的概率，最后列出分布列.

【详解】(1)所选3人中恰有一名男生的概率；

 (2) 的可能取值为0,1,2,3.

∴ξ的分布列为:

【点睛】本题考查了古典概型概率计算公式、以及离散型随机变量分布列，考查了数学运算能力.

20．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在上的最大值和最小值.

【答案】（1）增区间：，减区间：；（2）最小值为，最大值为.

【分析】（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；

（2）先求出函数在区间上的单调性，从而求出函数的最值问题.

【详解】（1），

令，解得：，

令，解得：；

∴函数的增区间：，减区间：.

（2）由（1）得：在递减，在递增，

故最小值为，

又因，，故最大值为，

因此函数在上的最小值为，最大值为.

21．为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立．

（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；

（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量表示这3台产品的获利，求的分布列及数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为

【解析】（1）计算“每台新型防雾霾产品不能销售”的对立事件“每台新型防雾霾产品能销售”的概率，可得结果.

（2）列出所有可能取值，并计算每个值所对应得概率，然后列出分布列并计算期望，可得结果.

【详解】（1）设事件表示“每台新型防雾霾产品不能销售”

事件表示“每台新型防雾霾产品能销售”

所以

所以

（2）根据（1）可知，

“每台新型防雾霾产品能销售”的概率为

“每台新型防雾霾产品不能销售”的概率为

所有的可能取值为：，，，

则

所以的分布列为

所以

则

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，重点在于对随机变量的取值以及所对应概率的求取，同时掌握数学期望的公式，属基础题.

22．已知函数，，，．

（1）讨论函数的单调区间及极值；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．

【答案】（1）详见解析；（2）.

【分析】先求函数的导函数，

再讨论①当时，②当时函数的单调区间及极值；

（2）不等式恒成立等价于恒成立，

再构造函数，利用导数求函数的最大值即可得解.

【详解】解：（1）因为，定义域为，所以，

①当时恒成立，在上是增函数，无极值，

②当时令，，

令，，

所以函数在上为增函数，在，为减函数，

所以当时，有极大值，极大值为，无极小值，

（2）：由恒成立知恒成立，

令，

则，

令，因为，（1），为增函数．

故存在，，使，即，

当时，，为增函数，当时，，为减函数．

所以，

而，，所以，

所以整数的最小值为2．

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调区间、极值及函数的最值，属综合性较强的题型.