2022-2023学年山东省淄博市第一中学高二下学期第二次月考数学试题含答案

2022-2023学年山东省淄博市第一中学高二下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．在等比数列中，有，数列是等差数列，且，则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据等比数列性质求得，再由等差数列性质求解．

【详解】∵是等比数列，∴，，所以，即，

∵是等差数列，所以．

故选：C．

【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，掌握等差数列和等比数列的性质是解题关键，设是正整数，，若是等差数列，则，若是等比数列，则．时，上述结论也成立．

2．函数的单调递增区间为（    ）

A．() B．(1，+) C．(1，1) D．(0，1)

【答案】D

【分析】利用导数与函数单调性的关系即得.

【详解】∵函数，，

∴，

由，，解得，

即函数的单调递增区间为.

故选：D.

3．将甲、乙等 5 名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)

A．18 种 B．24 种 C．36 种 D．72种

【答案】C

【详解】试题分析：可分两类：第一类，将5人分成1,1,3，则先从其余三人中选1人与甲、乙在一起，有3种选法，三者选择一个路口，有3种选法，其余两人进行全排列，有中排列方法，则共有种不同方法；第二类，将5人分成2,2,1，则有种不同方法；所以共有.

【解析】1.排列组合；2.分类加法计数原理.

4．已知数列的前n项和，设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据等比数列的定义和通项公式，结合裂项相消法、对数的运算性质进行求解即可.

【详解】因为，

所以当时，有，两个式子相减，得

，由，

所以数列是1为首项，为公比的等比数列，

所以，即，

，

故选：A

5．据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟患肺癌的概率为（    ）

A．0.025% B．0.032% C．0.048% D．0.02%

【答案】A

【分析】根据全概率公式求得正确答案.

【详解】设不吸烟患肺癌的概率为，

则，

解得.

故选：A

6．一台仪器每启动一次都会随机地出现一个3位的二进制数，其中的各位数中，出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的二进制数为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则81次这样的独立重复试验的总得分的数学期望为（    ）

A． B． C．63 D．6

【答案】A

【分析】由题可求出试验成功的概率，再利用二项分布及其期望的性质可求.

【详解】根据题意一次试验成功的概率为，

∴次重复试验中成功次数服从二项分布，

故，

总得分，

故，

故选A．

7．下列不等式中不成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由不等式可得A正确，构造函数，利用单调性可得B正确，作差之后化简可得C错误，构造函数，利用单调性可得D正确.

【详解】由：令，则，

所以上，递减，上，递增，故，

所以，而，所以，所以A正确；

由知，：令，则，

令得：，所以在上递减，所以，

即，所以，所以B正确；

由于

，

即，所以C错误；

由知，：令，

则，

令，则，令得

所以在上递增，所以对恒成立，

即对恒成立，所以在上递增，

所以，即，亦即，所以D正确.

故选：C

8．已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，求出，由题可得是在上的奇函数且在上为单调递增函数，将转化成

，利用在上为单调递增函数可得：恒成立，利用导数求得，解不等式可得，问题得解．

【详解】因为，所以，

令，则，

又因为是在上的偶函数，所以是在上的奇函数，

所以是在上的单调递增函数，

又因为，可化为，

即，又因为是在上的单调递增函数，

所以恒成立，

令，则，

因为，所以在单调递减，在上单调递增，

所以，则，

所以.

所以正整数的最大值为2.

故选B

【点睛】本题主要考查了函数与导数的应用，函数的奇偶性、单调性、不等式恒成立等基础知识，考查分析和转化能力，推理论证能力，运算求解能力，构造能力，属于难题．.

二、多选题

9．已知二项式的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（    ）

A．所有项的二项式系数和为128

B．所有项的系数和为1

C．第4项和第5项的二项式系数最大

D．有理项共3项

【答案】ABC

【分析】根据题设知且，根据二项式的性质、赋值法等判断各选项的正误.

【详解】由题设，则，

A：所有项的二项式系数和为，正确；

B：当，所有项的系数和为，正确；

C：对于二项式系数，显然第四、五项对应二项式系数最大，正确；

D：有理项为，即、2、4、6共四项，错误.

故选：ABC

10．下列说法中正确的是（    ）

A．设随机变量服从二项分布，则

B．已知随机变量服从正态分布且，则

C．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则

D．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种

【答案】BC

【分析】对于A，利用二项分布的方差公式求解判断；对于B，利用正态曲线的对称性求解；对于C，利用条件概率公式求解；对于D，利用分步计数原理求解.

【详解】设随机变量服从二项分布，

则，，A错误；

∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是．

∵，

∴，

∴，故B正确；

小赵、小钱、小孙，小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，

设事件，事件，

则

，

∴，故C正确；

对于D中，公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，

根据分步计数原理，可得乘客下车的可能方式有种，∴D不正确．

故选：BC．

11．某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年之后，该项目的资金为万元．（取，），则下列叙述正确的是（    ）

A．

B．数列的递推关系是

C．数列为等比数列

D．至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标

【答案】ACD

【分析】根据题意可得，，利用数列分析运算．

【详解】根据题意：经过1年之后，该项目的资金为万元，A正确；

，B不正确；

∵，则

即数列以首项为1200，公比为1.2的等比数列，C正确；

，即

令，则

至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍），D正确；

故选：ACD．

12．已知函数，直线：，则下列说法正确的有（    ）

A．

B．若有两个不等实根，则

C．若有且仅有2个整数，使得点在直线的上方，则实数的取值范围为

D．当时，在轴右侧，直线恒在曲线上方

【答案】ACD

【分析】求导由单调性即可判断AB，结合函数图象可得，即可判断C，对于D，利用相切时的切线斜率即可求解．

【详解】，，故当时，，此时单调递减，

当时，，此时单调递增，

故当时，取极大值也是最大值，

故，又，，画出的大致图象如图：

对于A，由于在上单调递减，故，故A正确，

对于B，若有两个不等实根，则，故B错误，

对于C，由于直线：恒过定点，

若有且仅有2个整数，使得点在直线的上方，

则只有2个整数解，

结合图象可知：这两个整数解只能是1和2，故，解得，故C正确

对于D，当直线：与相切于第一象限时，设切点为，

所以切点为的切线方程为，在切线上，

，即，此时，，

所以切点处的横坐标为，又，

当时，即，此时，在轴右侧直线恒在曲线上方，

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查导数的应用，解题的关键是画出函数图象，利用图象分析求解，考查数形结合的思想，考查计算能力，属于难题.

三、填空题

13．在的展开式中，x2y5项的系数是           .

【答案】-12

【分析】的通项为，求出的系数即得解.

【详解】解：的通项为，

令此时，

令此时，

所以展开式中，x2y5项的系数是.

故答案为：-12

14．曲线上的点到直线的距离的最小值为     

【答案】

【分析】求出曲线的斜率为的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果.

【详解】的定义域为，

求导得，令，解得，则，故切点坐标为，

故曲线上的点到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离，即为.

故答案为：

15．若数列满足，，则的前n项和为      .

【答案】

【分析】利用倒序相加法结合组合数的性质可求的前n项和.

【详解】设的前n项和为，则，

又，

故

，

故，

故答案为：.

16．已知函数，当，对任意，不等式恒成立，则的取值范围为      ．

【答案】

【分析】构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，求的取值范围即可.

【详解】因为，函数在上单调递增，

不妨设，

则，可化为，

设，则，

所以为上的减函数，即在上恒成立，

等价于在上恒成立，

设，所以，

因，所以，所以函数在上是增函数，

所以（当且仅当时等号成立）．

所以.

故答案为：．

四、解答题

17．已知数列是等差数列，且满足，．数列的前n项和是，且．

(1)求数列及数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由已知条件得，利用等差数列的通项公式即可得出an；再由与的关系得出{bn}的通项公式；

（2）由（1）得，利用分组求和求和即可.

【详解】（1）因为数列是等差数列，且满足，，

由等差数列的性质可得，，所以公差，

则．

又当时，，所以，

   ①

当时，   ②

由得，即（），

所以是首项为1，公比为的等比数列，故．

（2）由（1）得，

所以．

18．第22届世界杯足球赛在卡塔尔举办，各地中学掀起足球热．甲、乙两名同学进行足球点球比赛，每人点球3次，射进点球一次得50分，否则得0分．已知甲每次射进点球的概率为，且每次是否射进点球互不影响；乙第一次射进点球的概率为，从第二次点球开始，受心理因素影响，若前一次射进点球，则下一次射进点球的概率为，若前一次没有射进点球，则下一次射进点球的概率为．

(1)设甲3次点球的总得分为X，求X的概率分布列和数学期望；

(2)求乙总得分为100分的概率．

【答案】(1)分布列见解析，数学期望为100

(2)

【分析】（1）运用二项分布求得其分布列及期望.

（2）乙总得分为100分的事件为3次点球中有2次射中1次未射中，结合互斥事件的概率加法公式求解即可.

【详解】（1）设甲3次点球射进的次数为Y，则，

Y的可能取值为0，1，2，3，且，则X的所有可能的取值为0，50，100，150．

；

；

；

，

所以X的概率分布列为

，

（或）．

（2）设“乙第i次射进点球”为事件（，2，3），

则乙总得分为100分的事件为．

因为，，互斥．

所以，

故乙总得分为100分的概率为．

19．已知数列中，，，.

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析，；（2）存在，成等差数列.

【分析】（1）利用定义法计算为非零常数且，即可证明是等比数列，由此可求的通项公式；

（2）设存在满足条件的三项：，根据成等差数列对应等式，然后计算值并判断是否满足.

【详解】（1）因为且，

所以，所以；

（2）设存在满足条件，所以，

所以，

当是奇数时，，解得：，满足条件，

当是偶数时，，此时无解，

所以满足条件，此时.

【点睛】（1）证明一个数列是等比或者等差数列，常见的可采用定义法、等差或等比中项法去证明；

（2）涉及数列中是否存在相应项满足条件的问题，首先假设存在项满足条件，然后根据题设条件列出等式或者不等式，通过求解相关结果验证假设的正确性，从而得到结果.

20．已知函数．

(1)若，求曲线的斜率等于3的切线方程；

(2)若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出导函数，令求得切点坐标后可得切线方程；

（2）求导函数，利用导数求出函数的单调区间，得到函数的极值点，依题意结合零点存在定理，列出不等式求解即可.

【详解】（1）当时，，，则，

设切点为，则，解得或（舍），

∴，故切点为，

∴所求切线方程为，即．

（2），

令，得，

①当，即时，在上，

∴在上单调递减，此时在上不可能存在两个零点；

②当，即时，

在上，递减；在上，递增，

则在时取得极小值，

结合零点存在定理，要使在区间上恰有两个零点，

则，得．

∴综上的取值范围是．

21．某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务（货物全部用统一规格的包装箱包装），现统计了最近100天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量（单位：箱）分成了以下几组：，，，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）．

(1)该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析可配送货物量少的原因，并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析，求这3天的数据中至少有2天的数据来自这一组的概率．

(2)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量（单位：箱）服从正态分布，其中近似为样本平均数．

①试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间内的天数（结果保留整数）．

②该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案．

方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率，采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：时，奖励50元；时，奖励80元；时，奖励120元．

方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为：

小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？附：若，则，．

【答案】(1)

(2)① ；②小张选择方案二更有利

【分析】（1）由频率分布直方图确定随机抽取的11天中来自前3组的数据的个数，然后结合排列组合知识计算出概率；

（2）由频率分布直方图求出均值，

①由正态分布概率公式计算出概率，即可估计人数；

②分别求两种方案奖金的期望值，即可判断.

【详解】（1）由分层抽样知识可知，

这11天中前3组的数据分别有个，

个，个，

故所求概率为；

（2）①由题得，

所以

，

故该物流公司2000天内日货物配送量在区间内的天数为：

（天）；

②易知，

对于方案一，设小张每日可获得的奖金为元，则的可能取值为50，80，120，

其对应的概率分别为0.25，0.6，0.15，

故，

对于方案二，设小张每日可获得的奖金为元，则的所有可能取值为50，100，150，200，

故，，

，，

所以的分布列为：

所以，

因为，所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利．

22．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）令，当时，求的最大值.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】（1）求出函数的导数，就、、分类讨论后可得函数的单调性.

（2）求出，令，利用零点存在定理可得存在零点，从而得到的单调性，结合同构可求到的最小值即的最大值.

【详解】（1）函数的定义域是，

，

当时，令，得；令，得，

故函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上不具有单调性；

当时，令，得；令，得，

故函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，，

令，则，

令，则，

所以函数在上单调递增，

因为，

所以存在使得，

当时，，当时，，

所以当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以当时，，

因为，即，

所以，

故令，函数为的单调递增函数，

所以，所以，

.

则.

【点睛】思路点睛：求函数的最值时，往往需要虚设函数的零点，有时需要把零点满足的方程变形后利用同构的思想得到零点满足的更简单的方程，从而可求原函数的最值.