广东省清远市阳山县南阳中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

南阳中学2023-2024学年第一学期高二级第一次月考

数学科试卷

满分：150分  考试时间：120分钟    

一、单选题，8个小题，每小题5分共40分.

1．点关于平面对称的点的坐标是（     ）

A．    B．    C．      D．

2．，，若，则（     ）

A．6         B．7         C．8          D．9

3．某人连续投篮两次，则他至少投中一次的对立事件是（     ）

A．至多投中一次             B．两次都投中  

C．只投中一次               D．两次都没投中

4．已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（     ）

A．-3或1     B．3或     C．-3      D．1

5．在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为（     ）

A． B．     C．      D．

6．利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率．甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负，若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．利用计算机产生1~5之间的随机整数，约定出现随机数1或2时表示一局比赛甲获胜，由于要比赛3局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数如下：

354   151   314   432   125   334   541   112   443   534   312   324   252   525   453   114   344   423   123   243，则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为（     ）

A． B． C． D．

7．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到直线的距离为(    )

A．       B．       C．       D．

8．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值是（     ）

A．   B．  C．   D．

二、多选题，4个小题，每小题5分共20分，有错选不得分，少选且正确得2分.

9．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）

A．   B．   C．    D．

10．设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ）

A．，，两两不共线，但两两共面

B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得

C．若，则实数，，全为零

D．，，能构成空间另一个基底

11．已知事件满足，，则下列结论正确的是（    ）

A．如果，那么

B．如果，那么

C．如果与互斥，那么

D．如果与相互独立，那么

12．如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（     ）

A．   

B．B．存在一点，使得

C．三棱锥的体积为

D．若，则

三、填空题，4个小题，每小题5分共20分.

13．从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为          .

14．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的模是   .       

15．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于          .

16．点是棱长为的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是               .

四、解答题，6个小题，第17题10分，第18-22每题12分，共70分.

17．，，.

(1)若，求.

(2)若，求的值.

18．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.求下列事件的概率.

(1)“两个骰子的点数之和是5”；

(2)“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.

19．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E是AD的中点.

(1)求证：；

(2)求的值.

20．近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数BMI=衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的BMI数值标准是：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<23.9为正常：24≤BMI<27.9为偏胖；BMI>28为肥胖．下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100名居民体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图．  

(1)根据频率分布直方图，求a的值，并估计该社区居民身体质量指数BMI的样本数据的80%分位数；

(2)现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取6名居民，再从这6人中随机抽取2人，求抽取到2人的BMI值不在同一组的概率．

21．如图，在直三棱柱中，，．  

(1)求证：；

(2)求点到平面的距离．

22．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点，且．记的中点为，若在线段上（异于、两点）．

(1)若点是中点，证明：平面；

(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．

高二数学第一次月考参考答案

1．A

2．C因为，，，则存在，使得，

即，于是，解得，

所以.

3．D

4．A  【详解】因为，所以，又，所以，

所以，所以，

所以当时，，则，当时，，则，

所以或.

5．D   设，

因为与的中点相同，所以，

解得，所以..

6．B  根据题意，在20组随机数中，表示甲获胜的有：151，125，112，312，252，114，123，共7种情况，所以可估计甲选手最终赢得比赛的概率为，

7．C  由题设，则，

所以，而，

故到l的距离为.

8．B   以点为空间直角坐标系的原点，分别以，，所在直线为，，轴，

建立空间直角坐标系，

则点，，所以．

因为，，所以,

因为，所以，所以．

因为，所以，

所以,因为，

所以当时，．

因为正方体中，平面，平面,故，

所以，

9．AD   向量，，则，A正确；

显然，B错误；

由数量积的定义得，C错误；

显然，则故选：AD

10．ABC   因为构成空间的一个基底，所以，，两两不共线，但两两共面，对空间任一向量，总存在有序实数组，使得，故B正确；

根据空间向量基本定理可知，若，则实数，，全为零，故C正确；

因为， 所以，，共面，故不能构成空间的一个基底.

11．BCD

对于选项A，设一个盒子里有标号为 1 到 10 的小球, 从中摸出一个小球, 记下球的编号,

记事件A=“球的编号是偶数”， 事件B=“球的编号是1，2，3” ，事件C=“球的编号是奇数” 满足 , 但是 选项A错误;

对于选项B，正确;

对于选项C， 如果与互斥，那么 , 所以选项C正确;

对于选项D，如果与相互独立，那么

所以选项D正确。

12．AC   以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、，

设点，其中，.

对于A选项，，，则，

所以，，A对；

对于B选项，，若，则，解得，不合乎题意，所以，不存在点，使得，B错；

对于C选项，，点到平面的距离为，

所以，，C对；

对于D选项，，

若，则，可得，

由可得，

，

13．/0.3

14．

向量，，则，，

因此向量在向量上的投影向量为，

所以向量在向量上的投影向量的模是.

15．

解：，，，，4，，，2，，且，，三向量共面，

设，

，2，，，，

，

解得，，．

16．

如下图所示：

正四面体的棱长为，其内切球球心为点，连接并延长交底面于点，

则为正的中心，且平面，

连接并延长交于点，则为的中点，且，

，，

平面，平面，，则，

的面积为，

正四面体的体积为，

设球的半径为，则，

，，

，，

，

当点位于正四面体的顶点时，取最大值，

因此，.

17．（1）解：因为，且，所以，（1分）

即，即（2分），即，（3分）

所以，（4分）

所以.（5分）

（2）解：因为，且，

所以，解得，（7分）

所以，

所以，，（9分）

所以.（10分）

18．（1）解：由抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个不同的结果，（2分）

因为“两个骰子的点数之和是5”，可得事件，（4分）

所以，所以.（6分）

（2）解：因为“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”，

可得事件 ，即，（9分）

所以.（12分）

19．（1）连接，因为ABCD是正四面体，所以是等边三角形，（1分）

又因为点E是AD的中点，所以，（3分）

而平面，因此平面，（5分）

而平面，因此；（6分）

（2）因为点E是AD的中点，

所以有，（8分）

由（1）同理可证明，即，（10分）

因为ABCD是正四面体，

所以是等边三角形，且边长是2，

因此.（12分）

（1）（2）问方法很多，酌情给分。

20．（1）根据频率分布直方图可知组距为，所有矩形面积和为，

所以，解得（2分）

因为，，三组频率之和为，

而，，，四组的频率之和为，（3分）

故样本数据的80%分位数在内，设为，

则，解得，（5分）

即该社区居民身体质量指数的样本数据80%分位数为.（6分）

（2）由频率分布直方图可知的频数为，的频数为，所以两组人数比值为，

按照分层抽样抽取人，则在，分别抽取人和人，（8分）

记这组两个样本编号为，这组编号为，

故从人随机抽取人所有可能样本的构成样本空间：

（10分）

设事件“从6个人中随机抽取2人，抽取到2人的值不在同一组”，

则故，（12分）

即从这6个人中随机抽取2人，抽取到2人的值不在同一组的概率为.

21．（1）建立直角坐标系，其中为坐标原点.

依题意得，（2分）

因为，（4分）所以.（5分）

（2）设是平面的法向量，（6分）

由得

所以，（8分）令，则，（10分）

因为，所以到平面的距离为.（12分）

22．（1）证明：取线段的中点，连接、，

因为，，因为为的中点，则且，

因为为的中点，则且，

因为、分别为、的中点，所以，且，

所以，且，（2分）

所以，四边形为平行四边形，则，（3分）

因为平面，平面，所以，平面.（4分）

（2）解：连接，

因为，，为的中点，则且，

所以，四边形为平行四边形，所以，，且，

因为，则，又因为，则，（6分）

因为，为的中点，则，

因为，，，所以，，

所以，，则，

又因为，、平面，所以，平面，（7分）

以点为坐标原点，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，（8分）

设，则，

，，设平面的法向量为，

则，取，可得，（10分）

，若直线与平面所成角的正弦值为，

则，整理可得，（11分）

因为，解得，故.（12分）