2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市高二上学期10月期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市高二上学期10月期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，则（ ）
A．-19B．-20C．20D．19
【答案】D
【分析】由空间向量的数量积坐标公式求得结果.
【详解】因为，
所以，则，
故选：D.
2．直线的一个方向向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线斜率可得其方向向量.
【详解】直线的斜率，直线的一个方向向量为.
故选：C.
3．已知椭圆，则椭圆的长轴长为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】转化为椭圆的标准方程即可求解.
【详解】由椭圆得：，所以，解得，所以长轴长，
故选：A.
4．若圆关于直线对称，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用圆的标准方程、点在直线上运算即可得解.
【详解】解：∵圆的方程可化为，
∴圆心为，
∵圆关于直线对称，
∴圆心在直线上，
∴，
∴．
故选：C.
5．已知空间三点，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知求出，进而根据数量积以及模的坐标运算，即可求出答案.
【详解】由已知可得，，
所以.
又，
所以．
故选：C.
6．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意得到直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量求解公式得到答案.
【详解】由题意得，直线的方向向量为，平面的法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
则
故选：A
7．已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及直线与圆相切的充要条件，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】曲线表示圆在x轴的上半部分，
当直线与圆相切时，，
解得，当点在直线上时，
，可得,所以实数取值范围为.
故选：A
8．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线AF与E相交的另一点为M，点M在x轴的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】确定，代入椭圆方程得到，解得答案.
【详解】，，，则，，
故，即，解得（舍去负值），
故选：B
二、多选题
9．关于直线，下列说法正确的有（ ）
A．过点B．斜率为
C．倾斜角为60°D．在轴上的截距为1
【答案】BC
【分析】A. 当时，，所以该选项错误；
B. 直线的斜率为，所以该选项正确；
C.直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；
D. 当时，，所以该选项错误.
【详解】A. 当时，，所以直线不经过点，所以该选项错误；
B. 由题得，所以直线的斜率为，所以该选项正确；
C. 由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；
D. 当时，，所以直线在轴上的截距不为1，所以该选项错误.
故选：BC
10．已知圆心为的圆与点，则（ ）
A．圆的半径为2
B．点在圆外
C．点与圆上任一点距离的最大值为
D．点与圆上任一点距离的最小值为
【答案】BCD
【分析】把圆C的方程化为标准形式，写出圆心和半径，再逐一分析各选项并判断作答.
【详解】依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确；
因点，则，点在圆外，B正确；
因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确；
在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确.
故选：BCD
11．已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积为
B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9
C．点P的纵坐标为
D．内切圆的面积为
【答案】AD
【分析】对A，根据椭圆定义和余弦定理求出即可得出；对B，根据椭圆的有界性可得；对C，根据的面积建立关系求解；对D，根据的面积求出内切圆半径即可得出.
【详解】对A，根据椭圆定义可得，则①，
在中，由余弦定理②，
由①②可得，所以的面积为，故A正确；
对B，设，则，，
，
则当时，取得最大值为5，故B错误；
对C，由A，的面积为，则，解得，故C错误；
对D，设内切圆的半径为，因为的面积为，
所以，即，解得，
所以内切圆的面积为，故D正确.
故选：AD.
12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（ ）
A．若的中点为M，则四面体是鳖臑
B．与所成角的余弦值是
C．点S是平面内的动点，若，则动点S的轨迹是圆
D．过点E，F，G的平面与四棱锥表面交线的周长是
【答案】ABC
【分析】对于A：证明四面体各面均为直角三角形；
对于B：用向量求解；
对于C：先确定是以为长轴的椭球面，又可证S所在平面与长轴垂直，可得S的轨迹是圆；
对于D：用空间向量求出截面与棱的交点，用空间距离计算周长.
【详解】
连接，
因为底面，面，所以，
又，面，面，，
所以面，又面，所以，
所以面MCB为直角三角形，
所以，又
由勾股定理知，所以面MBD为直角三角形，
又面BCD，面DCM均为直角三角形，
所以四面体是鳖臑，所以A正确；
以D为坐标原点，分别以为正半轴建系如图，
则，
故，，.
故与所成角的余弦值
，故B正确；
对于选项C：因 ，，所以的轨迹是以为焦点的椭球面，
又，，
，又面，面，，
所以面，
即面垂直于椭球的长轴，故面截椭球的截面为圆，
所以动点S的轨迹是圆，所以C正确；
对于选项D：设平面的法向量为，
由可取，
设过点E，F，G的平面与交于，与交于，设，
故，又因为平面，
所以，解得，，
又，
由几何体的对称性知，
所以截面周长为，故D错误，
故选：ABC.
【点睛】立体几何作截面的方法， 可考虑几何法与代数法两个方向：
一是用严格的几何方法作出截面多边形，用到的一些结论方法：
（1）只有同一个平面的两条直线的才会相交，作出的交点才是实际的交点.
（2）如果已知两个不重合平面有一个共公点，则该两个平面的交线必过此公共点.
（3）两个平面平面被截面截得的两线平行.
二是用空间向量坐标法求特殊点的位置，由这些点连成截面，具体方法步骤：
（1）设特殊位置点的坐标.
（2）求出截面的法向量.
（3）利用截面内的线一定与法向量垂直求得特殊点的坐标.
三、填空题
13．若直线与直线平行，则实数的值为 .
【答案】
【分析】由直线不相交，求出值并验证即可.
【详解】由直线与不相交，得，解得或，
当时，直线的纵截距为，直线的纵截距为，则，
当时，直线的纵截距为，直线的纵截距为，则直线重合，
所以实数的值为.
故答案为：
14．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 .
【答案】
【分析】根据平面法向量的性质，结合空间向量平行的性质的坐标进行求解即可.
【详解】设平面的法向量为
因为，
所以，
所以有，
故答案为：
15．已知圆与圆只有一条公切线，则 .
【答案】16
【分析】首先求出两圆的圆心坐标与半径，依题意可知两圆相内切，即可得到，从而得解.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
因为圆与圆只有一条公切线，
所以两圆相内切，所以，即，
所以.
故答案为：
16．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率 ．
【答案】
【分析】由题意得，联立直线与椭圆方程得，，再利用，再代入值计算即可得答案.
【详解】如图所示，由椭圆定义可得，，
设的面积为，的面积为，因为，
所以，即，
设直线，则联立椭圆方程与直线，可得
，
由韦达定理得：，
又，即
化简可得，即，
即时，有.
故答案为：
四、解答题
17．已知直线经过点．
(1)求直线的一般式方程；
(2)若直线与直线垂直，且在轴上的截距为2，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）两点求斜率，再应用点斜式写出直线方程；
（2）由直线垂直确定斜率，应用斜截式写出直线方程.
【详解】（1）∵直线的斜率为，
∴直线的方程为，
∴直线的一般式方程为．
（2）∵直线与直线垂直，由（1）知：直线的斜率为2，
∴直线存在斜率，设直线的方程为，且，即，
∴直线的方程为，即．
五、问答题
18．已知椭圆，点．
(1)若椭圆的左焦点为，上顶点为，求点到直线的距离；
(2)若点是椭圆的弦的中点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线的截距式方程和一般式方程、点到直线的距离公式运算即可得解.
（2）设点的坐标，代入椭圆方程，利用中点坐标公式、斜率公式可得直线的斜率，根据点斜式建立直线的方程，化简为一般式方程即可得解.
【详解】（1）解：
如上图，∵椭圆方程为，点，
∴椭圆的左焦点是，上顶点，
则直线在轴、轴截距为和，
∴直线的截距式方程为，可化为，
∴点到直线的距离．
（2）解：
如上图，设，则，
两式相减得：，
∴直线的斜率…………①，
又∵点是椭圆的弦的中点，
∴，，
∴代入①式得：，
∴直线的方程为，即．
六、证明题
19．如图，四棱锥中，面，底面为菱形，，M是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可求出答案.
【详解】（1）证明：∵面，面，
∴，
又,
∴平面.
（2）取的中点为N，则两两垂直，
∴以分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系如图，
则，
设面的法向量为，
则
令，则，．
又面，∴面的法向量，
∴，
又二面角的平面角为锐角，∴余弦值为．
七、解答题
20．已知圆经过，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求的垂直平分线方程，联立直线的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程；
（2）设关于的对称点为，结合反射光线原理可得其对称点坐标，进而利用直线的两点式方程即可得出结果.
【详解】（1）由题知中点为，，
所以的垂直平分线方程为，即，
联立，解得，即圆心为，
所以圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）设关于的对称点为，
则直线与垂直，且的中点在直线上，
则，解得，
由题意知反射光线过圆心，故，
即.

八、问答题
21．在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱上一点（不含端点）．
(1)当为何值时，；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用，转化为向量的数量积运算即可得解.
（2）求出平面的法向量，利用直线与平面所成角的向量法计算公式运算即可得解.
【详解】（1）解：由题意，∵四边形为矩形，∴，
∵直线平面，平面，
∴，，即两两垂直，
∴以点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图，
∵，，，
∴，
∴，，
设，因点为棱上一点（不含端点），故，
则，可得，
∴，
∵，∴，即，
解得：或（舍去），
∴，又因点为棱上一点（不含端点），
∴．
（2）解：设平面的法向量，则，，
∴，即
令，解得：，，则，，
∵，∴，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
九、解答题
22．已知椭圆，点P为E上的一动点，分别是椭圆E的左､右焦点，的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求面积的最大值及此时l的方程.
【答案】(1)
(2)，此时直线的方程为：.
【分析】(1)根据题意，列出方程，解之即可求出结果；
(2) 过点的动直线的方程为：，然后将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出两点纵坐标的关系，然后将焦点三角形面积表示出来，最后根据函数的单调性求出最值即可.
【详解】（1）由题意得,解得：，
椭圆的方程是：.
（2）设，
联立消去得：
由题意可知：点,
所以
令，则，所以，
，易知在单调递增，
所以当，此时，所以直线的方程为：.