2022-2023学年河北省保定市部分示范高中高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年河北省保定市部分示范高中高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式的解法求得，结合集合并集的运算，即可求解.

【详解】由不等式，解得，即，

又由，所以.

故选：A.

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题判断即可．

【详解】命题“”的否定是.

故选:C.

3．某人设计的一个密码由2个英文字母（不分大小写）后接2个数字组成，且2个英文字母不相同，2个数字也互不相同，则该密码可能的个数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由分步计数原理，把选择26个不同英文字母的排列数与选择2个不同数字的排列数相乘即可.

【详解】因为英文字母有26个，所以2个不同英文字母的排列有种，

因为数字有10个，所以2个不同数字的排列有种，

由分步计数原理，所以该密码可能的个数是.

故选：C

4．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.

【详解】因为，，，

因此，.

故选：D.

5．的展开式中含的项为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】应用二项式展开式通项公式计算求解即可.

【详解】的通项．

令，得，

所以展开式中的项为．

故选：D.

6．已知函数则函数的大致图像是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】C

【分析】根据特殊值法排除不正确选项即可.

【详解】当时，，所以排除；

当时，，所以排除；

当时，，所以排除A，选项C符合题意.

故选:C.

7．已知，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，由待定系数法确定其系数，然后代入计算，即可得到结果.

【详解】设，则，所以，因为，

所以．因为，所以，

故．

故选：A

8．某种产品的加工需要经过6道工序，如果其中某2道工序必须相邻，另外有2道工序不能相邻，那么加工顺序的种数为（    ）

A．72 B．144 C．288 D．156

【答案】B

【分析】根据排列的相邻元素捆绑、不相邻元素插空的方式计算排列数即可得答案.

【详解】将2道必须相邻的工序捆绑在一起看作一个元素，

将其与没有特别要求的2道工序排成一排，再把2道不相邻的工序插入，

加工顺序的种数为.

故选：B.

二、多选题

9．p是q的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件，r是s的充要条件，p是r的既不充分也不必要条件，则（    ）

A．s是q的必要不充分条件

B．r是q的充分不必要条件

C．q是s的充要条件

D．p是s的既不充分也不必要条件

【答案】BD

【分析】根据题意得出，即可由该条件判断各选项的正误.

【详解】由题意知，

所以是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的既不充分也不必要条件．

故BD正确.

故选：BD

10．2022年9月19日，航天科技集团五院发布消息称，在法国巴黎召开的第73届国际宇航大会上，我国首次火星探测天问一号任务团队获得国际宇航联合会2022年度世界航天奖，为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞赛活动，竞赛规则：从10道选题中随机抽取3道题作答，全部答对即可获奖．甲､乙两位同学参加知识竞赛，已知甲同学10道选题中只有2道题不会，乙同学每道选题答对的概率都为．若甲､乙两位同学回答正确的题的个数的期望分别为，方差分别为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据题意，得到随机变量可能取值，求得相应的概率，得出期望和方差，再由，根据二项分布的期望和方差的公式，求得期望和方差，结合选项，即可求解.

【详解】由题意得，随机变量可能取值为，

则，

所以，

，

因为，所以，

所以，．

故选：AD.

11．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】ACD

【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由，可得，所以，所以A正确；

对于B中，若，，

则，

所以，所以B不正确；

对于C中，若，则，

所以C正确；

对于D中，若，则，

所以D正确．

故选：ACD.

12．定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）

A．是奇函数 B．的最小正周期为4

C．的图象关于点对称 D．

【答案】AC

【分析】根据给定条件，分析函数的周期性，再结合奇函数的特征逐项分析判断作答.

【详解】由为上的奇函数，且，得，

即有，因此，即的周期为8，

对于A，显然，函数是奇函数，A正确；

对于B，当时，，则，，

显然4不是的周期，B错误；

对于C，由选项A知，，因此的图象关于点对称，C错误；

对于D，，D错误.

故选：AC

【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，

(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.

(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.

三、填空题

13．若，则          ．

【答案】

【分析】根据组合数的性质和排列数公式计算.

【详解】因为，

所以，

整理得，

故或（舍去）．

故答案为：

14．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某学校大约的学生近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从该校每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则该学生近视的概率为          ．

【答案】

【分析】由全概率公式求解即可.

【详解】设事件“任意调查一名学生，每天玩手机超过”，则，所以0.7．

设事件“任意调查一名学生，该学生近视”，

，

所以．

故答案为：.

四、双空题

15．已知函数，则          ，曲线在处的切线方程为          .

【答案】         

【分析】求出函数的导数，将代入即可求得，根据导数的几何意义即可求得函数在处的切线方程.

【详解】因为，所以，

所以，所以.

因为，所以所求切线方程为，

即，

故答案为：1；

五、填空题

16．若，且，则的最小值为          ．

【答案】

【分析】由于等式右边含有和，故也将等式左边配凑出和，然后用基本不等式进行求解.

【详解】因为，所以．因为，所以，

所以，整理得，，

所以或（故舍去），故的最小值为12，当且仅当时，等号成立．

故答案为：

六、解答题

17．为考察某种药物M对预防疾病N的效果，进行了动物实验，根据200个有放回简单随机样本的数据，得到的数据如下表：

单位：只

(1)估计未服用药物的动物中患疾病的概率；

(2)根据的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效果？

附临界值表及参考公式：

【答案】(1)

(2)认为药物对预防疾病有效果

【分析】（1）根据古典概型的概率公式，可得答案；

（2）根据独立性检验的解题步骤，可得答案.

【详解】（1）由列联表知，末服用药物的动物有100只，其中患疾病的有40只，

所以估计末服用药物的动物中患疾病的概率为．

（2）零假设为：认为药物对预防疾病没有效果，

，

所以根据的独立性检验，可以推断不成立，

所以认为药物对预防疾病有效果，此推断犯错误的概率不大于0.005．

18．2023年女足世界杯于7月20日至8月20日在新西兰和澳大利亚两国9个城市举办，这是历史上第一次有32支球队参赛，规模空前．某公司专门为该赛事设计了一款产品并进行试销售，统计了不同的售价（单位：元）与销量（单位：千枚）的5组数据：．该公司以此来作为正式销售时的售价参考．

(1)请根据相关系数的值，判断售价与销量的线性相关强弱程度（计算结果精确到）；

(2)建立关于的线性回归方程，预测售价为15元时的销量．

参考公式：．

参考数据：．

【答案】(1)与的线性相关性很强

(2)；2千枚

【分析】（1）计算，根据相关系数的计算公式计算并判断即可;

（2）根据最小二乘法计算，得到回归方程，从而预测出售价为15元时的销量．

【详解】（1）因为．

，

所以．

因为相关系数近似为，所以说明与的线性相关性很强．

（2）因为，

所以，

所以关于的线性回归方程为．

当时，，故当售价为15元时，预测销量可达到2千枚．

19．已知函数的一个极值点为1.

(1)求；

(2)若过原点作直线与曲线相切，求切线方程.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求出函数的导数，由求出a值，再验证作答；

（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，结合已知求出切点坐标作答.

【详解】（1）因为，所以.

因为的一个极值点为1，所以，所以.

因为，

当时，；当或时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的极小值点为1，符合题意.

（2）设切点为，则，

所以切线方程为.

将点代入得，

整理得，所以或.

当时，切线方程为；

当时，切线方程为.

20．世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.

(1)从这三个社区中随机各选取1名居民，求至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率；

(2)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；

(3)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，现从这三个社区中随机选取1名居民，求该居民每周运动总时间为3至5小时的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据概率公式，先算出该居民是各社区且每周运动时间没有超过5小时的概率，由对立事件的概率公式求解即可；

（2）由于三个社区的居民人数之比为，设出三个社区的居民人数，计算出各社区每周运动总时间超过5小时的人数，然后由频率估计概率即可；

（3）由正态分布的性质结合条件求解即可.

【详解】（1）设从三个社区中各选取的1名居民的每周运动总时间超过5小时分别为事件，

则.

设选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时为事件，

则事件的对立事件为选取的3名居民每周运动总时间都没有超过5小时，

所以，

故选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率为.

（2）设三个社区的居民人数分别为，

则社区每周运动总时间超过5小时的人数为，

社区每周运动总时间超过5小时的人数为，

社区每周运动总时间超过5小时的人数为，

所以，故从这3个社区中随机抽取1名居民且每周运动总时间超过5小时的概率.

（3）因为，所以.

因为，所以，

所以.

21．某比赛前，甲､乙两队约定来一场热身赛，比赛采用三局两胜制．据以往经验，甲､乙两队实力相当，但是若甲队前一场胜，则下一场胜的概率为，若前一场负，则下一场胜的概率为，比赛没有平局．正式比赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和．

(1)求热身赛中甲队获胜的概率；

(2)设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列与数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）根据已知分类应用概率加法公式及独立事件发生的概率是概率积求解即可；

（2）根据进入决赛人数分别写出概率及分布列最后计算数学期望即可.

【详解】（1）设热身赛中甲队获胜为事件，则包含胜胜､胜负胜､负胜胜三种情况，

所以．

（2）甲队进入决赛的概率为；乙队进入决赛的概率为；

丙队进入决赛的概率为．

的可能取值为．

；

；

．

所以的分布列为

所以．

22．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若，且，证明：．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意，求导得，然后分，与讨论，即可得到其单调区间；

（2）根据题意，将不等式转化为证明，然后构造函数

，则只需证，再求导，由其单调性即可证明；

【详解】（1）因为，所以．

当，即时，恒成立，所以在上单调递增；

当时，令，得，令，

得，所以在上单调递增，在上单调递减；

当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减．

（2）证明：由，得，

整理得．

因为，所以．

要证，即证，即，

只要证．

令，则只需证，

即证在上单调递增，只要证在上

恒成立，即证在上恒成立．

令，则．

当时，单调递增；当时，单调递减．

所以．

令，则．

当时，单调递增；当时，单调递减．

所以，

所以在上恒成立，故

【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数讨论函数的单调性以及利用导数证明不等式问题，难度较难，解答本题的关键在于将不等式转化，然后构造函数，利用函数单调性证明.