2022-2023学年广西壮族自治区玉林市高二下学期7月期末数学试题含答案

2022-2023学年广西壮族自治区玉林市高二下学期7月期末数学试题

一、单选题

1．已知R为实数集，集合或，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据即可求解.

【详解】由图可知阴影部分表示,，

故选：C

2．下列说法正确的是（    ）

A．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高

B．样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

C．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线

D．甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好

【答案】D

【分析】根据残差的定义即可判断A，根据相关系数以及决定系数的性质即可判断BD,根据回归直线方程的定义即可判断C.

【详解】对应A，残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，故A错误，

对于B，样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B错误，

对于C，回归直线就是散点图中，从整体上看大致在一条直线的附近的那条直线，并不是经过数据点最多的直线，故C错误，

对于D,决定系数越大则拟合效果越好，由于，则模型甲的拟合效果更好,故D正确，

故选:D

3．北京大学一个班级的6名同学准备去参加冬奥会志愿服务活动，其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，其他人根据个人情况可选择去也可选择不去，则这6名同学不同的去法种数有（    ）

A．16 B．32 C．48 D．64

【答案】B

【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去两类，利用分类计数原理求解.

【详解】解：第一类，甲和乙都去，去法种数为，

第二类，甲和乙都不去，去法种数为，

由分类计数原理知：这6名同学不同的去法种数有16+16=32，

故选：B

4．若函数满足，且当时，，则（    ）

A．10 B．4 C．2 D．

【答案】B

【分析】根据条件，得出是周期函数，从而得到，再根据条件即可求出结果.

【详解】因为，所以函数是周期函数，且它的一个周期为4，

所以，又当时，，

所以，故.

故选：B.

5．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用函数的奇偶性排除选项C和D，再利用函数的特殊点排除选项B即可.

【详解】由，解得，

所以函数定义域为关于原点对称，

又，

所以函数在定义域上为偶函数，排除C和D，

当时，，排除B.

故选：A

6．随机变量X的分布列如表所示，若，则（    ）

A．3 B． C．5 D．9

【答案】C

【分析】由，利用随机变量X的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果．

【详解】，由随机变量X的分布列得：

，解得，

，

.

故选：C．

7．在R上是增函数的充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据分段函数的单调性，可得a的范围，再由充分必要条件的含义，得解.

【详解】在R上是增函数，

则有，解得，

所以在R上是增函数的充要条件是，

则充分不必要条件要求是的真子集，只有D选项满足，即.

故选：D

8．已知，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由正态密度曲线的对称性求出的值，然后将与相乘，展开后可求得的最小值.

【详解】因为，且，则，解得，

因为，则，

所以，

，

当且仅当时，即当时，等号成立，

故的最小值为.

故选：C.

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，则

【答案】BC

【分析】根据不等式的性质，结合作差法即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,由,若时，不一定，故A错误，

对于B，若，所以故，所以，故B正确，

对于C,由得，又，所以，故C正确，

对于D，由于，无法确定的正负，所以的正负无法确定，故与的大小无法确定，故D错误，

故选：BC

10．下列说法中正确的是（    ）

A．若函数的定义域为，则函数的定义域为

B．若，则，

C．函数的值域为

D．在上单调递减

【答案】BC

【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可判断A选项；利用换元法求函数的解析式，可判断B选项；利用指数函数与二次函数的基本性质求出函数的值域，可判断C选项；利用反比例型函数的单调性可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为函数的定义域为，

对于函数，则，解得，即函数的定义域为，A错；

对于B选项，若，令，可得，

所以，，其中，

所以，，，B对；

对于C选项，因为，，

即函数的值域为，C对；

对于D选项，函数的减区间为、，

但函数在上不单调，D错.

故选：BC.

11．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（    ）

A．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480

B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240

C．6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法

D．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种

【答案】ACD

【分析】A选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；B选项，利用倍缩法求解；C选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；D选项，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分组，再进行全排列，得到答案.

【详解】A选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有种排法，

再将甲、乙两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，A正确；

B选项，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种不同的站法，B错误；

C选项，6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有种不同的安排方法，C正确；

D选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，

若还有一位同学与他们一组，共有种分法；

若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，

先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有种分法；

共有种分组方法，D正确.

故选：ACD

12．已知函数，且.则下列结论一定正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】利用导数研究函数的单调性，结合选项及函数单调性逐项判断即可.

【详解】函数的定义域为，因为，

所以，令，

则，所以函数在上单调递增，

又，所以当时，，即，所以在上单调递减，

当时，，即，所以在上单调递增，

所以.

所以当，取，因为，所以，此时，A错误；

当时，，由得，即，B正确；

当时，取，，满足，此时，C错误；

当时，，由得，则，即，D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．若，则      .

【答案】4或7

【分析】根据组合数的性质，列式计算可得答案.

【详解】由可得或，

解得或，

故答案为：4或7

14．设随机变量，若，则p的值为          .

【答案】

【分析】根据二项分布的概率公式，结合对立事件的概率即可求解.

【详解】，由于，

所以，

故答案为：

15．已知函数是奇函数，则          .

【答案】/1.5

【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称以及奇函数的性质即可求解.

【详解】由于函数的定义域满足，故定义域为，

根据奇函数的定义域关于原点对称可知，

所以，，

所以，

故，

故答案为：

16．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是        .

【答案】

【解析】由题意可得对任意恒成立， 转化为则对任意恒成立，再证明即得解.

【详解】函数，若不等式对任意恒成立，

即为对任意恒成立，

即有对任意恒成立，

设，，时，，函数递减，可得，

则对任意恒成立，

下面证明

因为，所以只需证明

只需证明

当m=2时，只需证明，

因为，

所以函数f(x)在单调递增，在单调递减.

因为x>0，所以x+1>1,,

所以只需证明

因为恒成立，

所以.

则，即的范围是，．

故答案为：，．

【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，意在考查学生对这些问题的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题．

四、解答题

17．在的展开式中只有第7项的二项式系数最大.

(1)求n的值；

(2)若其展开式中的常数项为，求其展开式中所有项的系数的和.

【答案】(1)12

(2)0

【分析】（1）根据二项式系数的增减性即可求解，

（2）利用通项的特征，根据常数项可得，进而得，由赋值法即可求解.

【详解】（1）因为只有第7项的二项式系数最大，所以最大，故，则.

（2）根据（1）可知，二项式为，

故的展开式的通项公式为，

令，解得，

所以展开式的常数项为， 解得，所以，

令可得展开式的所有项的系数和为.

18．已知关于的不等式.

(1)若不等式的解集为，求、的值；

(2)若，解不等式.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）分析可知、是方程的两根，利用韦达定理可求得、的值；

（2）将所求不等式变形为，对、的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集.

【详解】（1）解：原不等式可化为，

由题知，、是方程的两根，

由根与系数的关系得，解得.

（2）解：当时，所以原不等式化为，

当时，即时，解原不等式可得；

当时，即时，原不等式即为，解得；

当时，即时，解得，

综上所述，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

19．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫()内的数字均含1﹣9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.

（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如表的数据：

现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？

参考数据(其中)

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.

【答案】（1）回归方程为，经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒；（2）.

【分析】（1）（1）令，设关于的线性回归方程为，结合所给数据求出对应的系数即可得结果，将代入到所求回归方程即可；

（2）由题意求出小明获胜所需局数可能取值，分别计算概率，求和即可.

【详解】（1）由题意，，

令，设关于的线性回归方程为，则

，

则.

∴，

又，∴关于的回归方程为，

故时，.

∴经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒；

（2）设比赛再继续进行局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，

由题意知，最多再进行4局就有胜负.

当时，小明胜，∴；

当时，小明胜，∴；

当时，小明胜，∴.

∴小明最终赢得比赛的概率为.

【点睛】关键点点睛：求型的回归方程，关键在于令换元后，转化为设关于的线性回归方程为，属于中档题.

20．已知函数在处有极值0.

(1)讨论函数的单调性；

(2)记，若函数有三个零点，求实数k的取值范围.

【答案】(1)增区间，，减区间上单调递减

(2)

【分析】（1）求得，根据题意列出方程组，求得的值，进而求得函数的单调区间；

（2）根据题意得到，求得，由（1）中函数的单调性，求得函数极值，结合题意 列出不等式组，即可求解.

【详解】（1）解：由函数，可得，

因为在处有极值0，

可得，即，解得或，

当时，，

此时函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去，

故，，所以，

可得，

∴当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以函数在，上单调递增，在上单调递减.

（2）解：由（1），可得，

则，

由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，

所以的极大值为，的极小值为，

要使函数有三个零点，则须满足， 解得，

故实数k的取值范围为.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

21．2023年5月10日长征七号火箭剑指苍穹，搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运送补给物资，为中国空间站的航天员们长时间探索宇宙奥秘提供强有力的后援支持.5月30日，再问苍穹，神州十六号发射成功.在“神箭”“神舟”的护送下，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名中国航天员顺利进入太空，开启为期约5个月的巡天之旅.某校部分学生十分关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间站发展的消息达到6次及以上者称为“航天达人”，未达到6次者称为“非航天达人”.现从该校随机抽取200人进行分析，得到数据如表所示：

(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联？

(2)①从随机抽取的这200名学生中采用比例分配的分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件A＝“至少有2名是男生”，事件B＝“至少有2名是航天达人的男生”，事件C＝“至多有1名是航天达人的女生”.试计算和的值，并比较它们的大小.

②由①中与的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由.

参考公式及数据，.

【答案】(1)认为“航天达人”与性别有关联

(2)①，；；②答案见解析

【分析】（1）根据卡方的计算即可求解，

（2）根据条件概率的计算公式即可求解.

【详解】（1）零假设：假设“航天达人”与性别无关，

根据表中数据，计算得到，

所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为“航天达人”与性别有关联.该推断犯错误的概率不大于0.01.

（2）由题意可知：抽取的20人中，男航天达人有8人，非航天达人4人，女航天达人3人，非航天达人5人，

①由已知事件表示：“抽取的3人为2男生1女生，男生都是航天达人”和“抽取的3人为3男生，至少两人是航天达人”，

D＝“抽取的3人中为2男生1女生，男生都是航天达人”，

E＝“抽取的3人中为3男生且至少两人是航天达人”，

，

，

所以，

，

所以.

②由①得与相等的关系可以推广到更一般的情形，

即对于一般的三个事件A，B，C，有，

证明过程如下：，得证.

22．已知函数在处的切线方程为

(1)求实数，的值；

(2)设函数，当时，的值域为区间的子集，求的最小值．

【答案】(1)，

(2)1

【分析】（1）对函数求导数，由切线斜率及切点坐标，列出方程组，解出a，b的值；

（2）利用导数研究的单调性，得函数的最值的取值范围，求得m，n的取值范围.

【详解】（1）定义域为，．

由题意知，解得，．

（2），

则．

令，其中，则，

所以函数在上单调递增．

因为，，所以存在唯一，

使得，即，可得．

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减．

所以，当时，

因为，，所以，

即，因为，

．

所以当时，，

即，．

所以，即的最小值为1．

【点睛】计算的单调性和最值过程中，利用隐零点的思想表示出函数的最大值，求出最大值得取值范围.