2023-2024学年河北省保定市部分高中高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省保定市部分高中高二上学期期中数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线l：在x轴和y轴上的截距分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】根据直线的一般是方程以及截距的定义求解.
【详解】令，则，解得；
令，则，解得；
直线l：在x轴和y轴上的截距分别是，，
故选：D.
2．一只蚂蚁从点出发，在Oxy和Oxz平面上爬行，则这只蚂蚁爬到点的最短距离为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】根据空间直角坐标系的坐标表示求解.
【详解】
如图，在棱长为2的正方体中，
为正方形的中心，为点，
将正方体的面展开，如图，

所以这只蚂蚁爬到点的最短距离为展开图中,
故选:C.
3．已知数列为等差数列，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等差数列性质得到，，求出公差，得到答案.
【详解】由题意得，解得，
，解得，
故等差数列的公差为，
故.
故选：C
4．如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由四点共面可得存在实数，使，表示出，根据系数对应相等列方程求解.
【详解】由平行六面体的特征可得
设，则，
可得，
又
由四点共面可得存在实数，使
所以，
所以，解得.
故选：B.
5．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为的直线在第一象限交C于点A，若点A在l上的投影为点B，且，则（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义求出点的坐标，代入抛物线方程求解.
【详解】
如图，因为，所以，
又因为，所以过点作轴的垂线，垂足为，
则,所以，
因为点在抛物线上，
所以，整理得，，
解得或（舍），
故选:B.
6．已知，是平面的一个法向量，且是平面内一点，则点A到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出的坐标，再利用点到面的距离公式求解即可.
【详解】由已知，又，
则点A到平面的距离为.
故选：D.
7．如图，花篮的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴旋转所得到的曲面．已知该花篮的总高度为45cm，底面圆的直径为20cm，上口圆的直径为，最小横截面圆的直径为10cm，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】以最小横截面圆的直径为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，根据提供数据可得双曲线方程，进而可得离心率.
【详解】以最小横截面圆的直径为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则可设双曲线的方程为，
则，，
由于点在双曲线上，
则，即，
所以，结合得
所以，
所以.
故选：B.
8．观察下列数的规律：2，4，4，8，8，8，16，16，16，16，32，32，32，32，32，64，…，则第100个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将数列写成的形式，然后确定第100个数所在行即可得答案.
【详解】将数的规律按照下方形式写即为：
，
第一行的数为，第二行的数为，第三行的数为，第四行的数为，
则第行的数为，
每一行的数的个数分别为，则到第行总的个数为，
令，即，
当时，，当时，
所以第100个数在第行，即第100个数为.
故选：B.
二、多选题
9．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（ ）
A．直线l过定点B．圆C的半径为3
C．当时，D．圆心C到直线l的最大距离是2
【答案】BCD
【分析】根据直线方程求恒过的定点求解选项A；根据圆的一般方程求圆的半径求解选项B；根据直线截圆所得的弦长公式求解选项C；根据垂直关系确定时，圆心C到直线l的距离最大，即可求解选项D.
【详解】
对A，由可得，，
所以直线l过定点，A错误；
对B，圆C：的圆心为
半径，B正确；
对C，时，直线l：，
圆心到直线的距离为2，
所以，C正确；
对D，设l过定点，则,
当时，圆心C到直线l的距离最大，最大为，D正确；
故选:BCD.
10．下列结论正确的是（ ）
A．若向量，，，则共面
B．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
C．若向量，，则在上的投影向量为
D．已知平面，不重合，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则
【答案】AD
【分析】利用空间向量的共面定理判断选项A；根据向量与平行的关系判断选项B；利用投影向量的定义求解选项C；利用法向量判断两平面的平行关系确定选项D.
【详解】对A观察可知，，所以共面，A正确；
对B，，所以或，B错误；
对C，因为，，
所以，
所以在上的投影向量为，C错误；
对D，因为，即共线，所以，D正确；
故选:AD.
11．已知，是椭圆C：的两个焦点，过点的直线与C交于A，B两点．若，，则（ ）
A．B．椭圆C的离心率为
C．为等边三角形D．为直角三角形
【答案】BD
【分析】设，根据比例关系得出，，，通过勾股定理可得，易判断CD，通过余弦定理得出可判断AB.
【详解】如图所示，设，则，
故，，
又因为，所以，
所以，即，即为直角三角形，
故C错误，D正确；
因为，由余弦定理得，得，
所以，即，故A错误；
所以椭圆的离心率为，故B正确；
故选：BD.
12．数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，则的公差为1
B．若为等差数列，则的首项为1
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据等差数列的通项公式求解选项A,B；根据数列的前项和公式求解选项C,D.
【详解】若为等差数列，则可设,
所以，
所以,解得,所以，
所以的首项为0，公差为1，A正确，B错误；
，C正确；
，
因为，
即，D正确；
故选:ACD.
三、单空题
13．抛物线的准线方程为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义以及方程求解.
【详解】抛物线可化为，
所以，解得，
所以准线方程为.
故答案为: .
14．已知圆M经过点，，，则圆M的标准方程为 ．
【答案】
【分析】设圆M的一般式方程为：，将点代入即可求解.
【详解】解：设圆M的一般式方程为：，
因为圆M经过点，，，
所以，解得，
得圆M的一般式方程为：，
故圆M的标准方程为：.
故答案为：
15．已知数列的前n项和为，且，，则 ．
【答案】
【分析】由递推关系得到，再用累加法和等差数列的求和公式求出结果即可.
【详解】因为，所以，
所以，
，
，
，
累加可得
，
化简可得，
故答案为：
16．已知P是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，过点P作与l夹角为的直线，该直线交l于点A，是双曲线C的左焦点，则的最小值为 ．
【答案】.
【分析】结合题意画出图形，将转化为求到渐近线的距离加上，计算即可.
【详解】设右焦点为，如图：连接,过点做于点，
结合题意：为直角三角形，且，所以，
因为到渐近线的距离为，
结合双曲线的定义可得：.
故答案为：.
四、问答题
17．已知直线过点．
(1)若直线与第二、四象限的角平分线平行，求直线l的方程；
(2)若，直线与圆M：相切于点A，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先确定斜率，然后直接由点斜式得直线方程；
（2）先通过点在圆上确定圆的方程，然后根据切线的性质确定斜率，再根据点斜式可得直线方程.
【详解】（1）若直线l与第二、四象限的角平分线平行，则直线的斜率为，
又直线过点，
故直线l的方程为，即；
（2）由已知点在圆上，
则，解得或（，舍去），
所以圆的圆心为，则，即过点的切线斜率为，
则直线的方程为，即.
18．已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知，P是C上的任意一点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的性质求解；
（2）利用点在双曲线上以及两点间的距离公式求解.
【详解】（1）双曲线的焦点为，
所以设双曲线C的方程为，
所以，解得，
所以双曲线C的方程为.
（2）由可得，或，
设，或，则，
所以，
所以当时，有最小值为.
五、证明题
19．已知正三棱锥中的三条侧棱两两垂直．
(1)证明：．
(2)已知点E满足，求平面与平面夹角的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，要证，只需证明即可;
（2）通过求平面与平面的法向量，计算二面角的平面角的余弦值即可.
【详解】（1）
由正三棱锥中的三条侧棱两两垂直,
可建立如图所示的空间直角坐标系：且可设，
所以,
可得：,
因为，
所以，即.
（2）由（1）问可知：,
所以
设平面的法向量为，
因为所以令则，
又因为正三棱锥中的三条侧棱两两垂直,
且,且在平面内，所以面，
所以为面的法向量.
所以,
结合图形可得平面与平面的二面角的平面角为锐角，
所以，即,
所以平面与平面夹角.
六、问答题
20．已知定点，定直线l：，动圆M过点F，且与直线l相切，记动圆的圆心M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用抛物线的定义求解；
（2）设直线方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理，由求解.
【详解】（1）由题意得：等于点到直线的距离，
即点M的轨迹是以为焦点，以l：为准线的抛物线，
则，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，
当时，，此时，不合题意，舍去；
则直线l的斜率存在，设直线方程为，，
与抛物线方程联立，消去得，
因为焦点在抛物线内部，且直线斜率存在，并且不为0，则该直线与抛物线必有两交点，
由韦达定理得，
所以弦长：，
解得，即，
所以直线l的方程为：.
21．已知数列满足．
(1)求的通项公式．
(2)记，数列的前n项和为，是否存在实数m，使得数列为等差数列？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，.
【分析】（1）根据求出通项公式；
（2），裂项相消法求和得到，变形得到，假设存在实数m，使得数列为等差数列，从而根据等差数列的定义得到.
【详解】（1）①中，令得，，解得，
当时，②，①-②得，
，故，
当时，，满足要求，
综上，的通项公式为
（2），
，
，
假设存在实数m，使得数列为等差数列，
故当时，
，
只有当，即时，为常数，
其他值均不合要求，
故当时，是等差数列.
七、证明题
22．已知，分别是椭圆：的左，右顶点，为椭圆上的点，直线，的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于，两点，且直线与相交于点，若点在直线上，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意得出，，由两点斜率公式结合直线，的斜率之积为列式解出，再将点代入椭圆方程在代入解出，即可得出椭圆方程；
（2）由题意设点，根据（1）得出的方程得出，，根据直线的两点式方程得出直线，直线，设直线与椭圆的交点，直线与椭圆的交点，将直线，直线与椭圆方程分别联立求出与，即可根据直线点斜式方程得出直线的方程，化简得出，即可根据直线点斜式证明直线过定点.
【详解】（1）
由题意得，，
直线，的斜率之积为，
，解得：，
为椭圆上的点，
，解得：，
椭圆的方程为：；
（2）
直线与相交于点，若点在直线上，
设点，
，，
则直线：，即，
直线：，即，
设直线与椭圆的交点，直线与椭圆的交点，
联立，消去，得，
解得或，则，则，
联立，消去，得，
解得或，则，则，
即，，
则直线即直线的斜率为，
，
，
，
直线的方程为：，
，
，
，
，
，
，
，
即，
则直线过定点.