2022-2023学年河北省保定市高碑店市崇德实验中学高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河北省保定市高碑店市崇德实验中学高二下学期期末数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
2．已知命题，则是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定的书写规则来确定答案.
【详解】命题，则是：
故选：C.
3．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，
由共轭复数的定义可知，.
故选：D
4．已知函数的定义域为，函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义域为，得到，则，由求解.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，
所以，
所以，
解得，
所以函数的定义域为，
故选：A
【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域的求法，属于基础题.
5．定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则
A．4034B．2020
C．2018D．2
【答案】C
【分析】先求出函数的周期，再结合已知条件求解.
【详解】因为函数的图像关于直线x=2对称，所以，
所以
所以，
所以函数的周期是8,
所以.
故选C
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性及函数的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
【答案】C
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
7．若定义在R上的函数满足：对任意，，有，则下列说法一定正确的是（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为偶函数
【答案】C
【分析】令得，令，得到，根据奇偶性定义即可得答案.
【详解】对任意，有，
令，得.
令，，得.
整理得，故为奇函数.
故选：C
8．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中不放回地依次取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据古典概型和条件概率公式可得.
【详解】记第一次取出的数为m，第二次取出的数记为n，
则，
，
，
所以，
所以，
，
所以.
故选：C
二、多选题
9．下列各组函数中不是相等函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】BD
【分析】计算函数定义域，化简解析式，对比每个选项中的两个函数得到答案.
【详解】，函数定义域为R，，定义域为R，是相等函数.
定义域为，定义域满足，即，故不是相等函数.
，，定义域都是R，解析式相同，是相等函数.
，定义域为R，定义域为，不是相等函数.
故选：BD.
10．若，则，．已知，且，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由正态分布的对称性求出，再由原则求解即可.
【详解】因为，且，
所以，解得．
．
故选：AC．
11．已知，，且，则（ ）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．若恒成立，则实数的取值范围是
D．若恒成立，则正实数的取值范围是
【答案】ABCD
【分析】对于A和B，分别利用基本不等式求出最值即可；对于C，利用基本不等式转化为进而求出结果；对于D，利用分离常数结合二次函数性质判断即可
【详解】对于A
因为，，且，
则，可得，
解得或（舍去）
则，当且仅当，取等号
故最小值为，
故A正确；
对于B
因为，，且，则，
则，
当且仅当，取等号
故最小值为，
故B正确；
对于C
，
当且仅当取等号，
所以不等式恒成立，转化为，解得，
故C正确；
对于D
因为，，，则，，
将不等式变形得到恒成立，
当时，取等号，故，
D正确．
故选：ABCD．
12．有一座高度是10级（第1级~第10级）台阶的楼梯，小明在楼梯底部（第0级）从下往上走，每跨一步只能向上1级或者向上2级，且每步向上1级与向上2级的概率相同，设第n步后小明所在台阶级数为随机变量，则（ ）
A．B．
C．D．中最大
【答案】ABD
【分析】每步向上1级与向上2级的概率都是，求出第n步后小明所在台阶级数随机变量的概率，即可判断A、C、D的正误，再计算，可得B正确.
【详解】小明每步向上1级与向上2级的概率都是，表示跨2步到达第2级台阶，
所以每步向上1个台阶，，故A正确；
的所有可能取值为2，3，4，，，
，所以，故B正确；
表示跨4步到达第6级台阶，所以有2步每步向上1个台阶，
有2步每步向上2个台阶，；
表示跨4步到达第7级台阶，所以有1步向上1个台阶，有3步每步向上2个台阶，
，故C错误；
由题意，表示跨5步到达第10级台阶，所以每步向上2个台阶，，
表示跨6步到达第10级台阶，所以有2步每步向上1个台阶，有4步每步向上2个台阶，
，以此类推可得，
，，
，其中最大，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．已知二项式的展开式中第四项与第七项的二项式系数相等，则展开式中常数项为 .
【答案】
【分析】依题意可得，，从而可求得，利用其通项公式即可求得展开式中的常数项．
【详解】解：由题意可得，，解得，所以展开式的通项为
，由得，，所以常数项为第七项．
故答案为：
14．已知函数f(x)是奇函数,当x∈(0,1)时, , 则 .
【答案】
【解析】根据函数的奇偶性即可得解.
【详解】，，
函数f(x)是奇函数,当x∈(0,1)时, ,
则.
故答案为：
【点睛】此题考查根据函数奇偶性求值，关键在于准确分析出的范围不在题目给定区间上，通过奇偶性求值.
15．函数是R上的单调递减函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据条件是R上的单调递减函数，从而在上单调递减，根据二次函数的单调性可得，这样可解得，根据一次函数的单调性有，根据减函数的定义可得，这又可得到一个的范围，然后这几个的范围求交集即可得到的取值范围.
【详解】当时，，在上单调递减，
，
；
当时，单调递减，
，
又是R上的单调递减函数，
，
，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数的取值范围、二次函数的单调性，属于基础题.
16．若，则a的取值范围为 .
【答案】
【分析】将不等式转化为，令得到，原不等式即可转化为恒成立，然后分和两种情况讨论即可.
【详解】不等式化为，所以.
设，则，
令，则，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；所以.
令，则.
当时，，单调递增；所以，解得，故满足条件；
当时，当时，，当时，，
在上单调递减；在上单调递增；所以，
设，则，所以在上单调递减，
又，所以，所以，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
四、解答题
17．已知等差数列的前项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设公差为，依题意得到关于、的方程组，解得即可、，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）设公差为，由，，得，解得，
所以.
（2）由（1）可得，
所以
，
故数列的前项和为.
18．已知向量（，），（，），.
(1)求函数的最大值及相应x的值；
(2)在△ABC中，角A为锐角且，，BC=2，求的面积.
【答案】(1)，时，取最大值 ；
(2).
【分析】（1）由平面向量的数量积运算，三角函数恒等变换可得的解析式，利用正弦函数的性质可求的最大值及相应的值；
（2）由（1）及角A的范围可求角A，进而求出角B，角C，再由正弦定理可得AC的边长值，代入三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）依题意，，
即，
所以，当，
即，时，取最大值 ；
（2）由（1）及得：，
即，
由，则，
因此，，则，
而，有，所以，
在中，由正弦定理得，
，
，
所以的面积为.
19．为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了100亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果和其它作物，并根据市场需求确定有机水果的种植面积．农场经营采用的是CSA农业经营模式即社区支持农业，农场从CSA会员中随机抽取了南方、北方会员共200人，调查数据如下．
(1)视频率为概率，分别估计南方、北方会员中喜欢有机水果的概率；
(2)试根据小概率值的独立性检验，分析喜欢有机水果是否与会员的区域有关．
附：，．
【答案】(1)喜欢有机水果的概率分别为，
(2)喜欢有机水果与会员的区域有关
【分析】（1）利用古典概率可求答案；
（2）计算卡方，和临界值比较，根据小概率可得答案.
【详解】（1）由题得南方会员中喜欢有机水果的概率；
北方会员中喜欢有机水果的概率为，
所以南方、北方会员中喜欢有机水果的概率分别为，．
（2）零假设：假设喜欢有机水果与会员的区域无关；
，
根据小概率值的独立性检验，不成立，
即认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关.
20．为何值时，关于的方程的两根：
(1)都为正数根；
(2)异号且负根绝对值大于正根；
(3)一根大于2，一根小于2；
(4)两根都在区间上.
【答案】(1)或
(2)
(3)
(4)或
【分析】根据判别式的符号确定方程根的个数，再根据根的分布情况对每一小问进行分析即可：
（1）满足判别式大于等于零，且两根之和、两根之积都大于零；
（2）满足判别式大于零，且两根之和、两根之积都小于零；
（3）满足判别式大于零，处的函数值小于零；
（4）满足判别式大于等于零，0和2处的函数值都大于零，且对称轴在之间；
【详解】（1）设函数，
方程有两根设为，对称轴.，由.
解得或；
由题意可得，
解得或.
（2）由题意可得，解得.
（3）由题意可得，即，解得.
（4）由题意可得，即，解得或.
21．南水北调中线工程建成以来，通过生态补水和减少地下水开采，华北地下水位有了较大的回升，水质有了较大的改善，为了研究地下水位的回升情况，对2015年-2021年河北平原地区地下水埋深进行统计，所得数据如下表：
根据散点图知，该地区地下水位埋深与年份（2015年作为第1年）可以用直线拟合．
(1)根据所给数据求线性回归方程，并利用该回归方程预测2023年河北平原地区地下水位埋深；
(2)从2016年至2021年这6年中任取3年，该地区这3年中每一年地下水位与该地区上一年地下水位相比回升超过0.5米的年份数为，求的分布列与数学期望．
附相关表数据：．
参考公式：，其中．
【答案】(1)，米
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据最小二乘法求出和可得线性回归方程，再代入可得结果；
（2）根据超几何分布的概率公式和期望公式可求出结果.
【详解】（1），，，
，
所以，，
所以所求线性回归方程为.
当时，米.
所以预测2023年河北平原地区地下水位埋深为米.
（2）因为，，
，，
，，
所以从2016年至2021年这6年中，每一年地下水位与该地区上一年地下水位相比回升超过0.5米的年份有，共个年份，
的所有可能取值为，
，，，
所以的分布列为：
.
22．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
喜欢有机水果
不喜欢有机水果
南方会员
80
40
北方会员
40
40
0.05
0.025
0.005
3.841
5.024
7.879
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
埋深（单位：米）
25.74
25.22
24.95
23.02
22.69
22.03
20.36
1
2
3