河北省保定市六校联盟2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题及答案

这是一份河北省保定市六校联盟2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题及答案，共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，已知正数a，b满足，则，若，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

六校联盟高二年级期末联考
数 学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的图象如下图所示，则的解析式可以为（ ）

A． B． C． D．
4．已知x，y的对应值如下表所示，若y与x线性相关，且回归直线方程为，则（ ）
x
0
2
4
6
8
y
1



11
A．2 B．3 C．4 D．5
5．用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数（表示万位，千位，百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，d，e的五位数），其中满足的五位数有n个，则的展开式中，的系数是（ ）
A．56 B．35 C．20 D．84
6．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰有两名女生相邻，则不同的站法共有（ ）
A．72种 B．108种 C．36种 D．144种
7．流感病毒分为甲、乙、丙三型，甲型流感病毒最容易发生变异，流感大流行就是甲型流感病毒出现新亚型或旧亚型重现引起的．根据临床记录，某种诊断甲型流感病毒的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有甲型流感”，则，．现对自然人群进行普查，得被试验的人患有甲型流感的概率为0.005，即，则（ ）
A． B． C． D．
8．若不等式在有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知正数a，b满足，则（ ）
A．ab有最大值 B．有最小值8
C．有最小值4 D．有最小值
10．若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列命题中正确的为（ ）
A．随机变量，若，，则
B．若将一组数据中的每个数据扩大为原来的2倍，则方差也扩大为原来的2倍
C．随机变量，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大
12．已知定义在上的函数和的导函数分别为和，若，且为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知奇函数，则________．
14．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则________．
15．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉．现有6支救援队（含甲、乙）前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要2支救援队，且甲、乙2支救援队不能去同一个受灾点，则不同的安排方法种数是________．
16．对于函数，若存在，使，则点与点均称为函数的“准奇点”．已知函数，若函数恰有5个“准奇点”，则实数a的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）已知命题：“，不等式恒成立”为真命题时，实数m取值的集合为A．
（1）求集合A；
（2）设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18．（本题满分12分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．

（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用按比例分配的分层随机抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③．
19．（本题满分12分）已知．
（1）求的单调区间；
（2）若，记，为函数的两个极值点，求的取值范围．
20．（本题满分12分）深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考查甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：

球队胜
球队负
总计
甲参加
22
b
30
甲未参加
c
12
f
总计
30
e
n
（1）求b、c、e、f、n的值，并依据小概率值的独立性检验，能否认为球队胜利与甲球员参赛有关；
（2）根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：0.2、0.5、0.2、0.1，当乙球员出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：0.4、0.2、0.6、0.2．
①当乙球员参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
②当乙球员参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？
附表及公式：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，其中．
21．（本题满分12分）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和．假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
（1）求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；
（2）求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；
（3）若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．
22．（本题满分12分）已知函数．
（1）若，判断在上的单调性；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求a的取值范围．
六校联盟高二年级期末联考·数学
参考答案、提示及评分细则
1．C 由已知可得，解可得，所以，所以．故选C．
2．B 若，则，所以，故充分性成立；若，不妨令，，此时，，满足，但是，故必要性不成立．故“”是“”的充分不必要条件．故选B．
3．A 选项B，是奇函数，其图象关于原点对称，不符合题中图象，故B不是；选项C，当时，，不符合题中图象，故C不是；选项D，的定义域为，不符合题中图象，故D不是．故选A．
4．B ，，又回归直线方程为，所以，解得．故选B．
5．B 因为，所以，剩下4个数有种排法，所以满足的五位数有6个，即，所以，其展开式中的系数为．故选B．
6．D 先将男生甲与男生乙“捆绑”，有种方法，再与另一个男生排列，则有种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有种方法，再将两组女生插空，插入男生排列留下的3个空位中，则有种方法，利用分步乘法原理，共有种．故选D．
7．A 因为，所以，因为，所以，所以．故选A．
8．D 由有意义可知，变形为，即，令，即有，因为，所以，令，问题转化为存在，使得，因为，令，即，解得，令，即，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，而，所以当时，，若存在，使得成立，只需且，解得．故选D．
9．ACD A：，则，当且仅当，时取等号，正确；B：，当且仅当时取等号，错误；C：，当且仅当时取等号，正确；D：，故最小值为，正确．故选ACD．
10．BC 因为，令，则，令，可得，故A错误；二项式展开式的通项为，所以，故B正确；令，可得，令，可得，两式相加可得，所以，故C正确；将两边对t求导可得，再令，可得，故D错误．故选BC．
11．ACD 对于A，因为，且，，所以，选项A正确；对于B，若将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍，则方差随之扩大为原来的4倍，选项B错误；对于C，因为，且，所以，选项C正确；对于D，因为，所以，，令，解得，因为，所以，即时，概率最大，选项D正确．故选ACD．
12．ACD 因为为奇函数，所以①，的图象关于点对称，则．而，则，A正确；因为为偶函数，所以，则，即，故的图象关于原点对称，．因为，所以，B错误；因为的图象关于点对称，所以，C正确；又，故的图象关于点对称，所以②．由①②可得，即，所以，D正确．故选ACD．
13．7 当时，，，又因为函数是奇函数，所以．所以．故答案为7．
14．2 因为点在曲线上，所以，即．因为切线过点，，所以这条切线的斜率为．设，则，，解得．故答案为2．
15．266 若将6支救援队分成1，1，4三组，再分到A，B，C三个受灾点，其中A受灾点至少需要2支救援队，共有种不同的安排方法，其中甲、乙去同一个地方的有种，所以有种不同的安排方法；若将6支救援队分成1，2，3三组，再分到A，B，C三个受灾点，其中A受灾点至少需要2支救援队，共有种不同的安排方法，其中甲、乙去同一个地方的有种，所以有种不同的安排方法；若将6支救援队分成2，2，2三组，再分到A，B，C三个受灾点，其中A受灾点至少需要2支救援队，共有种不同的安排方法，其中甲、乙去同一个地方的有种，所以有种不同的安排方法．故共有种不同的安排方法．故答案为266．
16． 因为，所以是函数的一个“准奇点”．若函数恰有5个“准奇点”，原点是一个，其余还有两对，即函数关于原点对称的图象恰好与有两个交点，而函数关于原点对称的函数为，即有两个不同的正根，即有两个不同的正根，令，，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，当时，，所以时满足要求，即实数a的取值范围为．故答案为．
17．解：（1）法一：设，
若，恒成立，则， 3分
解得或，即． 5分
法二：设，则的对称轴为，
，，
当时，，
或，或， 2分
当时，，
或．． 4分
综上所述，． 5分
法三：， 1分
当时，，
，恒成立，
，， 3分
当时，，
，恒成立，，， 4分
综上所述，． 5分
（2）因为是的必要不充分条件，所以，
，，
，， 7分
或，解得或， 9分
． 10分
18．解：（1）根据频率分布直方图得：
． 3分
（2）由题意知，
． 6分
（3）由于，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人． 7分
随机变量的取值可以为0，1，2，3，
，，
，， 10分
的分布列为：

0
1
2
3
P




． 12分
19．解：（1），
令，则， 1分
当时，，故的单调递减区间为． 2分
当时，，故的单调递增区间为． 3分
综上所述，的单调递减区间为，的单调递增区间为． 4分
（2），， 5分
，为两个极值点，有两个不等的正根，，
，，，，所以， 6分
， 8分
令，得， 9分
，因为，则，则， 10分
在上单调递减，， 11分
即的取值范围为． 12分
20．解：（1）由列联表中的数据可得，，， 1分
零假设：球队胜利与甲球员参赛无关，
， 3分
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为球队胜利与甲球员参赛有关． 4分
（2）①设表示“乙球员担当前锋”；表示“乙球员担当中锋”；表示“乙球员担当后卫”；表示“乙球员担当守门员”；B表示“球队输掉某场比赛”，
则
； 6分
②； 8分
③因为， 9分
， 10分
， 11分
所以，
所以应该多让乙球员担当守门员，来扩大赢球场次．
21．解：（1）用事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”．
依题意知，事件A和事件B相互独立，
因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为． 3分
（2）用事件表示“甲第次射击击中目标”，并记“甲射击4次，恰有3次连续击中目标”为事件C，则，且与是互斥事件．
由于，，，之间相互独立，
所以与（i，，2，3，4，且）之间也相互独立．
由于，
所以， 5分
故

． 7分
所以甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率为．
（3）用事件表示“乙第i（，2，3，4）次射击击中目标”，事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”，则，且与是互斥事件．
由于，，，之间相互独立，
所以与（i，，2，3，4，且）之间也相互独立．
因为，所以， 9分
故


．
所以乙恰好射击4次后被终止射击的概率为． 12分
22．解：（1）， 1分
，，，， 3分
当时，，函数在上单调递增． 4分
（2）由题意得，，，
则．
令，则，
，． 5分
（i）当，即时，
令，
， 6分
在上单调递增，则，
在上单调递增， 7分
，符合题意； 8分
（ii）当，即时，
①当时，，
故在区间上单调递减，，与题设矛盾； 9分
②当时，有，又，，
令， 10分
，
在上单调递增， 11分
由零点存在性定理，知在上存在唯一零点，
当时，，此时，与题设矛盾．
综上所述，a的取值范围是． 12分