2022-2023学年山西省晋城市第二中学校高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省晋城市第二中学校高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．抛物线的焦点到其准线的距离为（    ）

A． B． C． D．4

【答案】B

【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解.

【详解】解：抛物线的标准方程为，

所以焦点坐标为，其准线方程为，

所以抛物线的焦点到其准线的距离为，

故选：B

2．若直线与直线平行，则实数a的值为（    ）

A． B． C．2 D．1

【答案】A

【分析】解方程即得解.

【详解】解：由题得

经检验，当时，满足题意.

故选：A

3．已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出直线与两坐标轴的焦点为，.根据，可设椭圆的方程为，求出即可.

【详解】令，可得；令，可得.

则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，.

因为，所以椭圆的焦点在轴上.

设椭圆的方程为，则，，

所以椭圆的方程为.

故选：C.

4．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】原方程可变形为，根据已知有，解出即可.

【详解】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线，

可变形为.

所以有，即，解得.

故选：A.

5．数列，…的一个通项公式可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可.

【详解】选项A：，不符合题意；

选项C：不符合题意；

选项D：，不符合题意；

而选项B满足数列，

故选：B

6．在棱长为的正方体中，是的中点，则（    ）

A．0 B．1 C． D．2

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【详解】解：如图，建立空间直角坐标系，

则，

所以，，

所以，.

故选：D

7．在数列中，，且，若数列单调递增，则实数a的取值范围为（    ）

A．（2，） B．（2，3） C．（，4） D．（2，4）

【答案】C

【分析】由递推关系，结合条件，求出数列的通项公式，再结合数列的单调性，列不等式可求实数a的取值范围.

【详解】因为，所以，，

所以，又， ，

所以数列的偶数项按项数从小到大排列可得一公差为3的等差数列，

所以当为偶数时，，

当为大于等于3的奇数时，，

因为数列{an}单调递增，所以，

所以当为大于等于3的奇数时，，化简可得，

当为大于等于4偶数时，，解得，

由可得，，

所以，

故选：C.

8．已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且椭圆C的离心率为，点P是椭圆C上的一点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设是椭圆上的点，设，求出为定值，从而能求出的值，然后根据求解.

【详解】设代入椭圆方程，则

整理得：设，

又，,所以

而，所以，所以

故选：B

二、多选题

9．在等比数列{}中，，则{}的公比可能为（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】BC

【分析】根据等比数列的通项即可求解.

【详解】因为在等比数列{}中，，

设等比数列的公比为，则，所以，

故选：.

10．已知圆，则下列说法正确的是（    ）

A．圆C的半径为16

B．圆C截x轴所得的弦长为4

C．圆C与圆E：相外切

D．若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是

【答案】BC

【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1

【详解】A:将一般式配方可得：，A错；

B：圆心到x轴的距离为2，弦长为B对；

C:外切，C对；

D: 圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，解之: ,D错；

故选：BC

11．已知等差数列的前n项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．当时，取得最小值

【答案】ACD

【分析】根据题干条件利用可得到，，，然后即可根据三个结论依次判断四个选项的正误.

【详解】因为，所以，，.

对于A、B选项，因为，，所以，故选项A正确，选项B错误；

对于C，因为，所以，故选项C正确；

对于D，因为，，可知，，等差数列为递增数列，

当时，，当时，，所以当时，取得最小值，故D选项正确.

故选：ACD.

12．已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（    ）

A．抛物线C的准线方程为

B．若，则△PMF的面积为2

C．|的最大值为

D．△PMF的周长的最小值为

【答案】ACD

【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为，即可判断A，根据抛物线定义得到，故点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到，计算即可判断C，三角形的周长，再结合抛物线定义即可求出的最小值，即得到周长最小值.

【详解】，，，准线方程为，故A正确；

根据抛物线定义得，，,

轴，当时，，

若点在第一象限时，此时,

故，的高为1，故，

若点在第四象限，此时，故，

的高为1，故，故B错误；

，,故C正确；

（连接，并延长交于抛物线于点，此时即为最大值的情况，

图对应如下）

过点作准线，垂足为点，

的周长，

若周长最小，则长度和最小，显然当点位于同一条直线上时，的和最小，

此时,

故周长最小值为，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．在各项均为正数的等比数列中，，则___________.

【答案】4

【分析】由条件，结合等比数列性质可得，再对数运算性质求即可.

【详解】因为数列为等比数列，所以，

又，所以，

所以，

故答案为：4.

14．已知向量，，若，则 ___________.

【答案】

【分析】根据，列出，分别求出，然后得到，进而计算，可求出的值.

【详解】，故，解得，故，，

，则

故答案为：

15．在数列，中，，，且，记数列{bn}的前n项和为Sn，且，则数列的最小值为___________.

【答案】

【分析】可由题意构建为等差，求出通项公式，可由得出的通项公式，

再利用作差法求出新数列单调性即可求出最小值.

【详解】由可得，即数列为等差数列，设公差为，

首项，，可得，则，

即，

由，可得当时，，

，代入后符合，即的通项公式为，

设新数列，，，

当时，得，即时，是递增数列；

当时，得，即，综上所述是最小值，即数列的最小值为，

故答案为：

16．已知双曲线的右焦点为F，离心率为，点A是双曲线C右支上的一点，O为坐标原点，延长AO交双曲线C于另一点B，且，延长AF交双曲线C于另一点Q，则___________.

【答案】

【分析】在中，由勾股定理可求得、用含有a的代数式表示，在中，由勾股定理可求得用含有a的代数式表示，在中，由勾股定理可求得可用含有a的代数式表示，进而求得结果.

【详解】如图所示，

∵ ，则 ，，

由双曲线的对称性知：， ，

又∵，

∴四边形 为矩形，

设 ，则由双曲线的定义知：，

在中，，即： ，

整理得：，即： ，

∵，∴ ，

∴

设 ，则由双曲线的定义知：，

在中，，即：，

解得： ，即：，

又∵，

∴在中，

∴

故答案为：.

四、解答题

17．已知等差数列的前n项和为.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若，求数列{}的前n项和Tn.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式展开可求得结果；

（2）由裂项相消求和可得结果.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意知，

解得：

∴.

故的通项公式为.

（2）∵

即：的前n项和.

18．已知圆，直线，，且直线和均平分圆.

(1)求圆的标准方程

(2)直线与圆相交于，两点，且，求实数的值.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据直线和均平分圆，可知两条直线都过圆心，通过联立求出两条直线的交点坐标，由此得到圆心坐标即可得到圆的标准方程.

（2）根据，及为等腰三角形可得到，可得圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可求出实数的值.

【详解】（1）因为直线和均平分圆，所以直线和均过圆心，

因为，解得，所以直线和的交点坐标为，

所以圆心的坐标为，

因为圆，所以圆心坐标为，

所以，解得，

所以圆的方程为，即，

所以圆的标准方程为.

（2）由（1）得圆的标准方程为，圆心，半径，

因为，且为等腰三角形，所以，

因为，

所以圆心到直线的距离，

根据点到直线的距离公式，

即，解得或，

所以实数的值为或.

19．如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是菱形.， ，点E是棱PC的中点.

(1)证明：PC⊥BD.

(2)求平面PAB与平面BDE所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）首先根据线面垂直的判定定理证明平面，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量垂直的判定条件证明即可；

（2）通过第（1）问的空间直角坐标系，根据二面角夹角公式进行求解即可.

【详解】（1），四边形为菱形，

，又，为等边三角形，，

，，，

，，

，，，

平面，平面，平面.

过点作，则，，，

分别以，，所在直线为，，轴如图建立空间直角坐标系.

，，，，.

，，，，，

，，

，.

（2），，为中点，，

设平面的法向量为，

，，

，.

设平面的法向量为，

，，

，，

设平面与平面夹角为，

则，

平面与平面所成角的余弦值为.

20．已知抛物线：（）的焦点关于抛物线的准线的对称点为.

(1)求抛物线的方程；

(2)过点作倾斜角为的直线，交抛物线于，两点，为坐标原点，记的面积为，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据抛物线的简单几何性质得到抛物线的焦点坐标和准线方程，结合条件得到，即可求解.

（2）设直线，且（），，，联立抛物线的方程结合韦达定理计算得到，结合图形得到，即可求证.

【详解】（1）由题意得：抛物线的焦点，准线方程：，

因为焦点关于准线的对称点为，

则，解得：，

所以抛物线的方程为：.

（2）由（1）知，焦点，如图：

过点作倾斜角为的直线，交抛物线于，两点，

直线的倾斜角不为，则，即，

则设直线，且（），，，

联立，得：，

由，得：，

则，

又，所以（），

又，

即.

综上：的面积，得证.

【点睛】方法点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.

（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.

21．已知双曲线的渐近线方程为，且过点.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)，或或.

【分析】（1）根据题意得，进而解方程即可得答案；

（2）由题知，进而先讨论直线的斜率不存在不满足条件，再讨论的斜率存在，设方程为，设，进而与双曲线方程联立得线段中点为，再结合题意得，进而再分和两种情况讨论求解即可.

【详解】（1）解：因为双曲线的渐近线方程为，且过点，

所以，，解得

所以，双曲线的标准方程为

（2）解：由（1）知双曲线的右焦点为，

当直线的斜率不存在时，方程为，此时，

，

所以，直线的斜率存在，设方程为，

所以，联立方程得

所以，且，

所以，

设，

则

所以，

所以，线段中点为，

因为，

所以，点在线段的中垂线上，

所以，

所以，当时，线段中点为，此时直线的方程为，满足题意；

当时，，

所以，，整理得，解得或，满足.

综上，直线的方程为，或或.

22．已知椭圆）的离心率为，且与直线相切.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线：与椭圆交于两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）根据题意得，由与直线相切，联立方程得，即可解决；

（2），结合韦达定理得，即可解决.

【详解】（1）由题知，，

所以椭圆为，即，

因为与直线相切，

所以，消去得，

所以，

所以，得，

所以椭圆的标准方程为；

（2）设，

由，得

所以，

所以

，

所以，解得，

所以存在点，使得为定值.