2022-2023学年山西省晋中市高二上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山西省晋中市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．经过点的直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】利用斜率公式即可求得经过点的直线的斜率.

【详解】由斜率公式可得：，

则经过点的直线的斜率为2

故选：D

2．已知点与点关于轴对称，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据关于啥轴对称啥不变，其它坐标变相反的对称变换口诀，结合点的坐标即可求解.

【详解】依题意，点关于轴的对称点.

故选：A.

3．曲线和，则和更接近圆的是（    ）

A． B． C．相同 D．无法判断

【答案】A

【分析】根据题意，分别求出两个曲线的离心率进行比较，进而得出结论.

【详解】分别将曲线和化为标准方程可得，

，，由椭圆的性质可得，曲线的离心率为，

曲线的离心率为，显然，因此曲线更接近圆.

故选：A.

4．已知为等比数列，且，，则

A． B． C．4 D．

【答案】C

【分析】根据等比数列的定义与性质运算求解.

【详解】设等比数列的公比为，

则，即，

所以.

故选：C.

5．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是 （    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即得.

【详解】由函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图像自左至右是先减后增，可知函数y＝f (x)图像的切线的斜率自左至右先减小后增大，且，在处的切线的斜率为0，故BCD错误，A正确.

故选：A.

6．与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（    ）

A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆

【答案】B

【分析】设所求动圆圆心为，圆的半径为，根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可得出结论.

【详解】圆的圆心为，半径为；

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

设所求动圆圆心为，圆的半径为，

由于动圆与圆、圆均外切，则，

所以，，因此动圆的圆心的轨迹为双曲线的一支.

故选：B.

7．洛书（如图）是一种关于天地空间变化脉络的图案，年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五为中，形成如图所示的九宫格.将自然数、、、填入行列的方格内，使各行、各列、各条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“阶幻方”.洛书就是一个三阶幻方，若记阶幻方的对角线上数的和为，例如，，，，那么阶幻方的对角线上数的和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算出阶幻方中对角线的数字之和，然后令即可得解.

【详解】在阶幻方中，共有个数，这些数的和为，

每一条对角线上的数字和与每一行的数字和相等，均为，

因此当时，.

故选：B.

8．已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，为双曲线上一点，满足，则该双曲线的右焦点到渐近线的距离的平方为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】求出双曲线的焦点，结合已知求出点的坐标，进而求出，再求出到渐近线的距离作答.

【详解】双曲线的半焦距，则焦点，由，知点在的中垂线上，设点，

由，得，解得，即点或，

而点在双曲线上，于是，解得，

双曲线的渐近线为，点到渐近线的距离为，

所以该双曲线的右焦点到渐近线的距离的平方为.

故选：D

二、多选题

9．是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据空间向量基本定理判断即可.

【详解】由于，故与、共面，无法构成空间的一个基底，故B错误；

因为是空间的一个基底，由于不存在实数对、，使得，

若成立则，显然方程组无解，故、与可以作为空间的一个基底，故A正确，同理可得C、D正确；

故选：ACD

10．关于、的方程表示的轨迹可以是（    ）

A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线

【答案】BC

【分析】对实数的取值进行分类讨论，化简原方程，结合圆的方程以及圆锥曲线方程可得出结论.

【详解】当时，该方程表示的轨迹是直线；

当时，该方程表示的轨迹是直线；

当且时，原方程可化为.

当或时，，该方程表示的轨迹是双曲线；

当，又，则，此时方程为，该方程表示圆；

综上所述，方程所表示的曲线不可能是椭圆或抛物线.

故选：BC.

11．已知等比数列的前项积为，公比，且，则（    ）

A．

B．当时，最小

C．当时，最小

D．存在，使得

【答案】AC

【分析】选项A，利用，得到，再利用条件即可得得到结果；选项B和C，利用等比数列的性质，结合条件即可判断出B和C的正误；选项D，结合条件，利用数列的单调性即可得出结果.

【详解】对于选项A，，所以，又，所以，故选项A正确；

对于B和C，由等比数列的性质，，

故，则，

，于是，则，故，故当时，最小，故选项B错误，选项C正确；

对于D，因为，所以数列是单调递增数列，所以当时，，故，故D错误.

故选：AC.

12．设函数，其中，则（    ）

A．

B．在上单调递增

C．的最大值为，最小值为

D．方程无解

【答案】ACD

【分析】求得的值判断选项A；求得在上单调性判断选项B；求得的最大值和最小值判断选项C；求得方程解的个数判断选项D.

【详解】因为，

则，A正确；

由，可得，

结合得，或，

由得，，

结合得，，

所以在上单调递增，在上单调递减，B错误；

由在在上单调递增，区间单调递减，

在区间上单调递增，

可得在时取极大值，

在时取极小值，

当增大时，值不变，但值增大，

又当时，，，

所以的最大值为，最小值为.所以C正确；

令，则，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以当时，取得最小值，，

所以，所以，

从而无解，所以选项正确.

故选：ACD

三、填空题

13．过点，且垂直于的直线的一般式方程为          .

【答案】

【分析】根据直线垂直的条件，设所求直线方程为，将点代入即可求解.

【详解】又题意可设所求直线方程为，

因为直线过点，所以，解得，

所以所求直线的一般式方程为，

故答案为：.

14．写出一个各项均小于的无穷递增数列的通项公式：          .

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据数列的单调性以及题意可得出满足条件的一个数列的通项公式.

【详解】对任意的，，则，

数列为单调递增数列，故满足条件的一个数列的通项公式为.

故答案为：（答案不唯一）.

15．函数的图象与轴相切，则    .

【答案】

【分析】利用题给条件列出关于a的方程组，解之即可求得a的值.

【详解】由，可得，

又函数的图象与轴相切，设切点为，

则，解得

故答案为：

16．以抛物线上的动点为圆心，半径为2的圆与直线相交于两个不同的点，则线段长度的最大值为   .

【答案】

【分析】先求得点到直线的距离的最小值，进而利用垂径定理求得线段长度的最大值.

【详解】设点，则点到直线的距离，

故当时，d取到最小值为，

此时有最大值.

故答案为：

四、解答题

17．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.

(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；

(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？

【答案】(1)答案见解析

(2)米

【分析】（1）以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，分析可知点在圆上，求出的等式，解之即可；

（2）将的方程代入圆的方程，求出值，结合题意可求得车辆通过隧道的限制高度.

【详解】（1）解：以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，

故圆心在轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为

易知，点在圆上，将的坐标代入圆的一般方程得，

则该圆弧所在圆的一般方程为.

（2）解：令代入圆的方程得，得或（舍），

由于隧道的总高度为米，且（米），

因此，车辆通过隧道的限制高度为米.

18．甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是，，成等差数列，如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题

等比数列的前n项和为，已知______．

(1)判断，，的关系；

(2)若，设，记的前项和为，证明：．

【答案】(1)，，成等差数列

(2)证明见解析

【分析】（1）根据，，成等差数列，结合等比数列的基本量关系求解可得，再代入，，判断即可；

（2）由可得，代入可得，再根据错位相减求和求得即可证明.

【详解】（1）由，，成等差数列，得，即，

由题意知，所以．

又，所以．

综上可知缺少的条件是．

因为，所以，，所以，即，，成等差数列．

（2）由，可得，解得，

所以，

则，，

上面两式相减可得，

化简可得，由，可得．

19．如图所示，在棱长为2的正四面体中，为等边三角形的中心，分别满足.

(1)用表示，并求出；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先利用正四面体几何性质用表示，进而求得；

（2）先求得直线与直线所成角的余弦值，进而得到直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）连接并延长交于，则为中点，

则，

，

则

（2）根据题意，平面，因此，直线与平面所成角的正弦值

即为直线与直线所成角的余弦值的绝对值.

，

且

故.

则直线与平面所成角的正弦值为.

20．抛物线的焦点到准线的距离为.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解；

（2）不妨取抛物线的方程为，设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再求出中垂线方程，即可求出点坐标，即可求出，从而得解.

【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，

根据建系方案的不同，抛物线的标准方程有四种可能，

分别是，，，.

（2）在平面直角坐标系中，抛物线的位置并不影响的取值，因此不妨取抛物线的方程为，此时焦点，

根据题意，直线的斜率存在且不为，因此设直线的方程为，

与抛物线联立，得关于的一元二次方程，

则，设、，

则，，，

，

则，

线段的中点坐标为，中垂线方程为，

令，解得，即中垂线与轴交于，

所以，则.

21．在正方体中，为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，为直线上的动点.

(1)点在棱上，当时，平面，试确定动点在直线上的位置，并说明理由；

(2)若为底面的中心，求点到平面的最大距离.

【答案】(1)为的中点，理由见解析；

(2).

【分析】（1）利用线面平行性质定理和面面平行性质定理即可确定动点在直线上的位置；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法即可求得点到平面的最大距离.

【详解】（1）设平面与平面的交线为，

因为平面平面，

平面平面，所以.

由正方体知，平面平面，

又因为平面平面，平面平面，

所以，所以，

取的中点，连接，易知，所以，

又因为为的中点，所以为的中点.

（2）法一：以点为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，

建立空间直角坐标系，

则有，其中，

设平面的法向量为，

则有即，

不妨取，，则，

所以点到平面的距离

当时，；

当时，

当，即时，d取到最大值为.

综上，点到平面的最大距离为

22．已知函数.

(1)求函数的极值；

(2)若有零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值，无极大值

(2).

【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值；

（2）首先求出解析式，即可求出函数的单调性，从而求出函数的最小值，即可得到最小值小于等于，解得即可.

【详解】（1）因为，

所以，

令，得（舍去）或，

所以当时，单调递减，

当时，单调递增，

故函数有极小值，无极大值.

（2）因为，

即，，

则，

令得或（舍去），

所以当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以，当趋向正无穷时，趋向正无穷.

所以的值域为.

根据题意知，，解得.

故实数的取值范围是.