2022-2023学年山东省滕州市第一中学高二上学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年山东省滕州市第一中学高二上学期期末数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省滕州市第一中学高二上学期期末数学试题

一、单选题
1．已知三棱锥中，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量线性运算计算即可.
【详解】

.
故选：D.
2．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.
【详解】建立空间直角坐标系如图所示：

则，，，，，，设平面的法向量为，则，即，则平面的一个法向量为，
则点A到平面的距离.
故选：C
3．已知是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若是圆：上任意一点，则的最小值是（    ）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】画出抛物线 的焦点和准线，利用抛物线的几何性质将 转化为C，P，F之间的距离之和，根据三点共线求得最小值.
【详解】抛物线 的焦点是 ，准线方程是 ，PH与准线的交点是 ，
圆C的半径为 ，圆心为 ，
依题意作下图：

由图可知： ， ，
当C，P，F三点共线时 最小 ，
的最小值是6；
故选：D.
4．数列满足：首项，，则下列说法正确的是（ ）
A．该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列
B．该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列
C．该数列的奇数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列
D．该数列的偶数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列
【答案】D
【分析】根据题意写出数列的前6项，根据数列等差中项和等比中项的性质，即可判断ABC，令，然后通过题意可证明为一个定值，即可判断D
【详解】已知数列满足，
则，，，，，
对于A，，即，所以该数列的奇数项成等比数列不成立，
，即，所以该数列的偶数项成等差数列不成立，A选项错误；
对于B，，即，所以该数列的奇数项成等差数列不成立，
，即，所以该数列的偶数项成等比数列不成立，B选项错误；
对于C，，，
，所以该数列的奇数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列不成立，C选项错误；
对于D，令，
由可得，
所以，所以即是公比为2的等比数列，
则该数列的偶数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列，D选项正确；
故选：D.
5．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.令，则数列的前50项和（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，，成等比数列结合公差为2，求得，得到，再利用裂项相消法求解.
【详解】因为，，，
由题意得，
解得，
所以，
则，
则.
故选：D
【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．已知圆与圆，则两圆的位置关系是（    ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】D
【分析】分别将两圆化成标准方程，求出圆心距并和两半径差与和相比较即可求解.
【详解】因为圆可化为：，
圆心坐标为，半径；
圆可化为：，
圆心坐标为，半径；
圆心距，因为，
所以圆与圆内切，
故选：.
7．已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】计算，再考虑和两种情况，得到倾斜角范围.
【详解】，则，
设直线的倾斜角为，故，
所以当时，直线的倾斜角；
当时，直线的倾斜角；
综上所述：直线的倾斜角
故选：B
8．设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】联立与求出，进而的正切可求，得出的关系，从而进一步解出答案.
【详解】依题意得, 以线段 为直径的圆的方程为 ,
双曲线 的一条渐近线的方程为 .
由 以及
解得 或
不妨取 , 则 .
因为 ,
所以 ,
又 ,
所以 ,
所以 ,
所以该双曲线的离心率 .
故选：D.

二、多选题
9．设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S7＜S8，S8＝S9＞S10，则下列结论正确的是（    ）
A．d＜0 B．a9＝0 C．S11＞S7 D．S8、S9均为Sn的最大值
【答案】ABD
【分析】由题意可得数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，各个选项验证可得答案．
【详解】解：∵S7＜S8，∴a8>0,
∵S8＝S9，∴a9＝0,
则a9-a8＝d＜0，
故选项A，B正确；
S11－S7＝
＝11a1＋55d－7a1－21d＝4a1+34d＜0，
∵a9＝a1+8d＝0，∴a1＝－8d
∴4a1+34d＝－32d+34d＝2d＜0
∴S11＜S7，故C错误．
易知数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，故选项D正确；
故选：ABD.
10．已知曲线的方程为．（    ）
A．当时，曲线是半径为2的圆
B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
C．存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线
D．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件
【答案】ABD
【解析】A.由得到曲线方程判断；B.由得到曲线方程判断；C.根据曲线为离心率为的双曲线，则由判断；D. 利用充分和必要条件的定义判断.
【详解】A.当时，曲线方程为，所以是半径为2的圆，故正确；
B.当时，曲线方程为，所以是双曲线，且其渐近线方程为，故正确；
C.若曲线为离心率为的双曲线，则，方程无解，故错误；
D. 当时，，曲线为焦点在y轴上的椭圆，故不充分，当曲线为焦点在轴上的椭圆时，则，解得，故必要，故正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查曲线与方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
11．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（    ）

A．点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6
B．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7
C．若，P是半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为
【答案】ABD
【分析】选项A，易得，，从而判断；选项B根据椭圆的性质解决椭圆中两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；选项D中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程．
【详解】解：对于A，因为点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，
则，，
则，
当位于椭圆的下顶点时取等号，
所以△OAB面积的最大值为6，故A正确；
对于B，半圆上的点到点的距离都是，
半椭圆上的点到点的距离的最小值为，最大值为，
所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B正确；
对于C，是椭圆的两个焦点，
在△PAB中，，由余弦定理知：

，
当且仅当时取等号，
所以cos∠APB的最小值为，故C错误；
对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为，
该点在蒙日圆上，半径为
此时蒙日圆方程为：，故D正确．
故选：ABD．
12．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，在堑堵中，是的中点，，若平面α过点P，且与平行，则（    ）

A．异面直线与所成角的余弦值为
B．三棱锥的体积是该“堑堵”体积的
C．当平面α截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于
D．当平面α截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于
【答案】ABC
【分析】利用坐标法及线线角的向量求法可判断A，根据锥体的体积公式可判断B，作出平面α截棱柱的截面图形结合条件可得截面的面积判断CD.
【详解】对于A，由题可知两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则

，
所以，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故A正确；
对于B，，，所以B正确；
对于C，如图，，，分别为的中点，
则，，，，，
所以，共面，又，平面，平面，
所以平面，
则四边形为平面α截棱柱的截面图形，

所以四边形是等腰梯形，且高为，
当不是中点时，不平行平面，
则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，，所以C正确；
对于D，如图，分别为的中点，

则，，，，
所以，
同理可得四边形为平面α截棱柱的截面图形，
由题可知平面，平面，
所以平面，所以平面，又平面，
所以，
故四边形是直角梯形，当不是中点时，不平行平面，
则四边形不是梯形，直角梯形有且仅有一个，其面积为，故D错误.
故选：ABC.

三、填空题
13．若数列为等比数列，且，则 .（其中为正整数）
【答案】
【分析】求出新等比数列的公比代入求和公式即可.
【详解】因为数列为等比数列，，所以.
则.
故答案为：4.
14．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则的重心到直线BN的距离为 .

【答案】/
【分析】以为轴建立空间直角坐标系，由重心坐标公式求得的重心的坐标，用空间向量法求点到直线的距离．
【详解】以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，设的重心是，
则，，，即，
，，
，，，
，
则 是锐角，，
所以到直线的距离为．
故答案为：．

15．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 .
【答案】
【分析】根据投影向量的定义，应用空间向量夹角的坐标运算求夹角余弦值，进而求即可.
【详解】，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：
16．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的最大值为 .
【答案】/
【分析】利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，则，再根椭圆的定义，由离心率的公式得到，即可求解答案.
【详解】已知椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B、F为其右焦点，
设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为长方形，

根据椭圆的定义，且，则，
所以，
又由离心率的公式得，
由，则，
所以，即椭圆的离心率的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：把椭圆的离心率转化为的三角函数，利用三角函数的值域求解是解答的关键.

四、解答题
17．已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且是等比数列的前3项．
(1)求；
(2)设，求的前n项和．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）利用等差数列的通项公式与等比中项公式求得基本量，从而利用公式法依次求得；
（2）结合（1）中结论，利用分组求和法与裂项相消法即可得解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，前项和为，则，
因为，则，即，
又因为成等比数列，所以，即，整理得，
又因为，所以，
联立，解得，
所以，
又，，是等比数列，
所以，则.
（2）由（1）得，
所以
，
所以数列的前n项和.
18．如图，在三棱锥中，底面. 点分别为棱的中点，是线段的中点，.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面的夹角的正弦值；
(3)求点A到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)

【分析】（1）由线线平行证MF平面、NF平面，即可依次证平面MNF平面、平面；
（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，由向量法求线面角；
（3）由向量法求与平面的夹角的正弦值，则点A到平面的距离为.
【详解】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，
∵是线段的中点，∴，∵平面，平面，∴MF平面.
∵点分别为棱的中点，∴，∵平面，平面，∴NF平面.
∵，∴平面MNF，∴平面MNF平面，
∵平面MNF，∴平面.
（2）∵底面，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则有，，
设平面的法向量为，则，令，则有，
设与平面所成角为，则直线与平面的夹角的正弦值为.
（3）由（2）得，，设与平面所成角为，
则点A到平面的距离为.

19．已知直线与圆交于两点．
(1)求出直线恒过定点的坐标；
(2)用点斜式写出直线方程，并求直线的斜率k的取值范围；
(3)若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；；
(3)为定值.

【分析】（1）将直线方程整理后可得方程组，解方程组可求得定点坐标.
（2）由（1）结合直线的点斜式写出方程，再利用圆心到直线距离小于半径求解即可.
（3）设出直线的方程，与圆方程联立，结合韦达定理及斜率坐标公式求解作答.
【详解】（1）将直线方程整理为：，
令，解得：，所以直线恒过定点.
（2）直线斜率为，由（1）得，直线的点斜式方程为：，即，
圆：的圆心，半径，
因为直线与圆交于两点，则圆心到直线距离，即，解得：，
所以直线斜率的取值范围为.
（3）设，，当时，与圆仅有一个交点，不合题意，即有，
则直线，令直线方程为，
由得：，由（2）知：，，，
因此，
所以为定值.
20．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，点在线段上， 平面.

(1)求证：为的中点；
(2)求二面角的大小；
(3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)详见解析；
(2)；
(3)存在，或.

【分析】（1）设，根据线面平行的性质可得，进而即得；
（2）取的中点，根据线面垂直的判定定理可得平面，然后利用坐标法利用面面角的向量求法即得；
（3）设，利用线面角的向量求法结合条件即得.
【详解】（1）设，连接，

因为侧面为正方形，
所以为的中点，
因为平面，平面，平面平面，
所以，又为的中点，
所以为的中点；
（2）因为，
所以，又平面，平面，
所以平面，
取的中点，则，
由平面，平面，可得，
又平面，平面，
所以平面，
如图以为原点建立空间直角坐标系，

则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
又平面的法向量可取，
所以，
所以二面角的大小为；
（3）假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为，
设，因为，
所以，，又，
所以，又平面的一个法向量为，
所以，
整理可得，
解得或，
所以在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为， 的值为或.
21．已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)根据题意求出,再由即可写出的通项公式；
(2)根据的通项公式，找到其正负临界的值，去掉绝对值符号再求和.
【详解】（1）设等差数列的首项为,公差为，
则，所以
当时，
又也符合上式，
故数列的通项公式为.
（2）当时，，数列的前n项和；
当时，，
数列的前n项和

，
.
综上所述：
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，动点在椭圆上，的周长为6．

（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆的另一个交点为，过分别作直线的垂线，垂足为与轴的交点为．若四边形的面积是面积的3倍，求直线斜率的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦点三角形的周长建立方程求出a，c的值即可；
（2）先设出直线PQ的方程为x=my+1，联立方程组得出根与系数关系，利用四边形PMNQ的面积是△PQT面积的3倍，得出t关于m的表达式，由t＞2建立不等式，解出m的取值范围，进而根据 得出k的取值范围．
【详解】（1）因为P是E上的点，且F1，F2为E的左、右焦点，所以|PF1|+|PF2|=2a，
又因为|F1F2|=2c，△PF1F2的周长为6，所以2a+2c=6，
又因为椭圆的离心率为，所以，解得a=2，c=1．所以，
E的方程为．
（2）依题意，直线PQ与x轴不重合，故可设直线PQ的方程为x=my+1，
由，消去x得：（3m2+4）y2+6my-9=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2）则有△＞0且．
设四边形PMNQ的面积和△PQT面积的分别为S1，S2，
则S1=3S2，又因为，S2=．
所以，
即3（t-1）=2t-（x1+x2），得t=3-（x1+x2），
又x1=my1+1，x2=my2+1，于是t=3-（my1+my2+2）=1-m（y1+y2），
所以，由t＞2得，解得，
设直线PQ的斜率为k，则，所以，
解得，
所以直线PQ斜率的取值范围是．
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质与方程，以及椭圆与直线的综合问题，属于中档题，有一定难度．