山西省晋中市2023届高三三模数学试题（含答案）

山西省晋中市2023届高三三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则=

A． B． C． D．

2．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为数学中的天桥．若复数，，则（    ）

A．-i B．i

C． D．

3．设向量与向量的夹角为，定义与的向量积：是一个向量，它的模．若，，则（    ）

A．-1 B．1 C． D．

4．田忌赛马的故事每个人都耳熟能详，众所周知，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．假设田忌与齐王有上等、中等、下等马各一匹，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P．已知．则点P可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（    ）

A． B． C． D．

6．已知，为锐角，且，，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，则的最大值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

8．设 ，则（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．下列各式中能够说明随机事件A与随机事件B相互独立的是（    ）

A． B．

C． D．

10．ChatGPT是OpenAI公司推出的一种人工智能聊天机器人，不仅能流畅对话，还能写诗、撰文、编码等．一经推出，便受到广泛关注，并产生了丰富的社会应用．某调查机构为了解美国大学生用ChatGPT代写作业的学生比例，对8所高校进行了调查，其中6所学校给出了代写作业的学生占比，将数据从小到大依次排列为：71%、75%、77%、80%、82%、85%，另外两所学校以侵犯隐私为由拒绝给出调查数据，那么这8所学校使用ChatGPT代写作业的学生比例的中位数可能是（    ）

A．76% B．77.5% C．80% D．81.5%

11．已知函数，关于x的方程，下列结论正确的是（    ）

A．存在使方程恰有2个不相等的实根

B．存在使方程恰有4个不相等的实根

C．存在使方程恰有5个不相等的实根

D．存在使方程恰有6个不相等的实根

12．已知圆，则（    ）

A．存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点

B．存在两个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等

C．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分

D．存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切

三、填空题

13．设且，则的最小值为_________．

14．从0，1，2，⋯，9这10个数字中任取三个数，使这三个数的和是3的倍数，则不同的取法有_________种．（用数字作答）

15．在中，，，D是AC边的中点，且AC=2．将沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，形成四面体A-BCD．则该四面体外接球的表面积为_________．

16．点A1，A2是双曲线的左、右顶点．若直线上存在点P，使得，则该双曲线的离心率取值范围为_________．

四、解答题

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，E是CD的中点，AE与BD交于点F，G是的重心．

(1)求证：平面PCD；

(2)若平面PAD⊥平面ABCD，为等腰直角三角形，且，求直线AG与平面PBD所成角的正弦值．

18．记为数列的前n项和，已知，且．

(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式；

(2)从下列三个条件中选一个填在横线上，并完成下列问题．

若_________，求数列的前n项和．

①；②；③．

19．锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求A；

(2)若b+c=6，求BC边上的高AD长的最大值.

20．晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源，其中有保存完好的大院人文景观（如王家大院，常家庄园等），也有风景秀丽的自然景观（如介休绵山，石膏山等）．某旅行团带游客来晋中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游览．若每位游客选择人文景观的概率是，选择自然景观的概率为，游客之间选择意愿相互独立．

(1)从游客中随机选取5人，记5人中选择人文景观的人数为X，求X的均值与方差；

(2)现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记2分，选择自然景观记1分，记已调查过的累计得分为n分的概率为，求．

21．椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于两点（其中点位于x轴上方），当垂直于轴时，．

(1)求椭圆的方程；

(2)记直线的斜率分别为，求的最小值．

22．．

(1)讨论的单调性；

(2)，若有两个极值点，且，试求的最大值．

参考答案：

1．C

2．B

3．D

4．A

5．C

6．D

7．C

8．A

9．BC

10．ABC

11．AB

12．ACD

13．

14．42

15．

16．

17．(1)证明见解析

(2)．

18．(1)证明见解析，

(2)答案见解析

19．(1)

(2)

20．(1)，

(2)

21．(1)

(2)．

22．(1)答案见解析

(2)