2022-2023学年山东省济南市莱芜区莱芜第一中学高二上学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年山东省济南市莱芜区莱芜第一中学高二上学期期末数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市莱芜区莱芜第一中学高二上学期期末数学试题 一、单选题1．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，设的倾斜角为，，所以.故选：A.2．已知空间向量，，，若，则（    ）A．2 B． C．14 D．【答案】C【分析】利用空间向量平行的性质即可.【详解】因为空间向量，，，如果，则，所以，解得，所以，故选：C.3．各项为正的等比数列中，，，则的前项和（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等比数列性质和通项公式可求得公比，代入等比数列求和公式即可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，，，又，，解得：，.故选：A.4．圆与圆的位置关系是（    ）A．相交 B．外切 C．内切 D．相离【答案】C【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解．【详解】由与圆，可得圆心，半径，则，且，所以，所以两圆相内切．故选：C．5．在棱长为的正方体中，是底面的中点，，分别是，的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，分别用坐标表示出，然后计算出向量夹角的余弦值，由此可求解出异面直线和所成的角的余弦值.【详解】建立空间直角坐标系如图所示：所以，所以，所以异面直线和所成的角的余弦值为，故选：B.【点睛】本题考查利用向量方法求解异面直线所成角的余弦值，难度一般.异面直线所成角的向量求解方法：根据直线方向向量夹角的余弦值求解出异面直线所成角的余弦值，从而异面直线所成角可求.6．已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据共渐近线双曲线系的形式可假设双曲线方程为，代入点的坐标即可求得结果.【详解】根据渐近线方程可设双曲线方程为：，双曲线过点，，双曲线的标准方程为：.故选：A.7．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由切线的性质，可得，，再结合椭圆定义，即得解【详解】因为过点的直线圆的切线，，，所以．由椭圆定义可得，可得椭圆的离心率．故选：A8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ）A．103 B．107 C．109 D．105【答案】B【分析】由题意可将问题转化为既是3的倍数，也是7的倍数，也即是21的倍数，即可得出，求得答案.【详解】由题意可将问题转化为既是3的倍数，也是7的倍数，也即是21的倍数，即，则，∴，故选：B 二、多选题9．已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（    ）A． B．C． D．的坐标为【答案】AC【分析】根据抛物线的定义和几何性质求解即可.【详解】由题可知,由，，所以，.故选：AC．10．已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】将圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，转化为圆心到直线的距离，根据圆心到直线距离公式计算即可.【详解】由题知，圆，圆心为，半径为，因为圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，所以圆心到直线的距离，对于A，圆心为到直线的距离，故A错误；对于B，圆心为到直线的距离，故B正确；对于C，圆心为到直线的距离，故C正确；对于D，圆心为到直线的距离，故D正确；故选：BCD11．如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，的中点，以下说法正确的是（    ）A．三棱锥的体积为1 B．平面EFGC．平面EFG D．平面EGF与平面ABCD夹角的余弦值为【答案】AB【分析】根据锥体体积公式求得三棱锥的体积.建立空间直角坐标系，利用向量法判断BCD选项的正确性.【详解】A选项，，所以，A选项正确.建立如图所示空间直角坐标系，，,，所以，由于平面，所以平面，B选项正确.平面的一个法向量为，，所以与平面不平行，C选项错误.平面的法向量为，设平面于平面的夹角为，则，D选项错误.故选：AB12．设首项为1的数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（　　）A．数列为等比数列B．数列的通项公式为C．数列为等比数列D．数列的前n项和为【答案】AD【分析】由条件找到可判断A正确，由A可求得的通项公式，利用分组求和可得D正确，由的通项公式可求得的通项公式，进而可确定CD错误.【详解】 又数列是首项公比都为的等比数列，故选项A正确.又 所以数列的前和为，故选项D正确.又因为，当，当，，故选项B错误.所以数列不是等比数列.故选项C错误.综上，故选：A D 三、填空题13．过点作圆的切线，则切线方程为          .【答案】或【分析】当斜率不存在时，检验即可；当斜率存在时，设出直线，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】圆的圆心为，半径过点的直线，当斜率不存在时，直线方程为，符合与圆相切；当斜率存在时，设直线方程为，即，则，解得，此时直线方程为.故答案为：或.14．数列中，，，若数列是等差数列，则          ．【答案】【分析】先设等差数列的公差为，由题中条件求出公差，进而求出等差数列的通项公式，得到的通项，从而得出结果.【详解】设数列的公差为，因为，则，所以，所以，因此，解得.故答案为:15．已知椭圆：（）中，，为椭圆的左、右焦点，，为椭圆的上、下顶点，若四边形是一个正方形，则椭圆的离心率为          .【答案】【分析】四边形是个正方形，则其对角线与相等，即，由此结合，，的关系，即可求出离心率.【详解】∵四边形是一个正方形，∴正方形的对角线相等，，∵焦距，短轴长，∴即，∴，∴离心率.故答案为：. 四、双空题16．已知双曲线，（，）的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则直线的斜率是           ，双曲线的渐近线方程为           .【答案】          【分析】由题意，不妨设直线与圆相切于点，由可得，代入双曲线方程，可得，因此，即得解【详解】如图所示，不妨设直线与圆相切于点，，由于代入进入，可得，渐近线方程为故答案为：， 五、解答题17．已知等差数列的前三项分别为(1)求的通项公式(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知条件求出的值，可得数列首项和公差，可求的通项公式；（2）由数列的通项公式，利用分组求和法，求前项和.【详解】（1）设等差数列公差为，由已知，所以，解得，则，所以公差，所以.（2）由题意可得，所以.18．已知圆，圆.(1)求圆与圆的公共弦长；(2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入中可求出，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为，然后列方程组可求出，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即，化简得，所以圆的圆心到直线的距离为，则，解得，所以公共弦长为.（2）解法一：设过两圆的交点的圆为，则；由圆心在直线上，则，解得，所求圆的方程为，即.解法二：由（1）得，代入圆，化简可得，解得；当时，；当时，；设所求圆的圆心坐标为，则，解得；所以；所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为19．如图，在三棱柱中，平面 .(1)求证:;(2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由平面 ，得到，再由，证得，进而证得平面，即可证得.（2）以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明: 因为平面 ，平面，所以，因为， 四边形是平行四边形， 所以四边形是菱形，所以，又因为，平面，平面，所以平面，因为平面， 所以.（2）解： 因为与平面所成角为平面，所以，因为， 所以是正三角形，设， 则，以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，则，所以 ，设平面的一个法向量为，则，取，可得，所以，设平面的一个法向量为，则，取，可得，所以，设二面角的大小为，因为，所以，所以二面角的正弦值为.20．已知椭圆：的离心率为，点在上．(1)求的方程；(2)直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为．证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值，并求出该定值．【答案】(1)；(2)证明见解析，定值. 【分析】(1)根据给定条件列出关于a，b的方程，再联立求解即得.(2)设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，求出点M坐标，借助斜率坐标公式计算作答.【详解】（1）因椭圆：的离心率为，则，即，又点在上，则有，联立解得，所以椭圆的方程为.（2）因直线不过原点且不平行于坐标轴，则设直线：，，，将代入得，，即，，于是得，，因此，直线的斜率，则有，所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.21．在数列中，， ，且，，成等比数列．(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；(2)设数列满足，其前n项和为，证明：．【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析 【分析】（1）由两边取倒数，化简即可得出，根据已知与等差数列的定义证明数列是等差数列，即可求出通项公式，结合，，成等比数列，转化求解即可；（2）根据已知结合小问1化简通项，即可利用裂项相消法，求解数列之和，即可根据函数值域证明结论.【详解】（1），，，，，数列是首项为1，公差为的等差数列，，即，，，成等比数列，，，解得或（舍），故；（2）由小问1可得，，，，，，，，.22．已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为，F到渐近线的距离为．(1)求C的方程；(2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是否存在实数t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）根据F到渐近线的距离为，可求得b，再根据渐近线方程可求得a,，即得双曲线方程；（2）假设存在，设直线的方程，并和双曲线方程联立，得到根与系数的关系式，然后表示出点M，N的坐标，进而得到向量的坐标，利用其数量积为零，将根与系数的关系式代入，看能否解出参数t的值，即可得答案.【详解】（1）双曲线一条渐近线方程为 ，焦点 ，则焦点到渐进线的距离 ，由F到渐近线的距离为可知： ，由渐近线方程为知： ，故 ，所以双曲线方程为： ；（2）设直线l的方程为 ，联立 ，整理得： ，设 ，而 ,则 ，所以 ， ，假设存在实数t，使得，则 ,故由方程： ,令得 ，同理方程： ,令得，所以，即 ，则 ，即 ，解得 ，故存在实数，使得.【点睛】本题考查了直线和双曲线的相交问题，涉及到求双曲线方程性质以及和直线的交点等问题，还渗透了向量的应用，比较复杂，这类问题的一般解决思路，是设直线方程，然后联立圆锥曲线方程，得到根与系数的关系，然后利用所给条件得到一个关系式，将根与系数的关系代入整理化简，其中关于字母的运算量大，需要细心耐心对待.