2022-2023学年河南省新乡市高二上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年河南省新乡市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知直线，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据两直线垂直，列出方程，求出a的值即可.

【详解】由直线，，

可得，解得．

故选：D.

2．已知数列满足，且，则（    ）

A．1 B．3 C．9 D．

【答案】B

【分析】利用递推关系式逐项计算后可求，也可以利用累乘求的值.

【详解】解法一：．

解法二：由，可得．

故选：B.

3．下列条件能使点与点一定共面的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.

【详解】设，若，则点共面．

对于A，，由于，故A错误；

对于B，，由于，故B错误；

对于C, ，由于，故C错误；

对于D，，由于，得共面，故D正确.

故选：D.

4．已知等差数列的公差不为，其前项和为，且，，当取得最小值时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设等差数列的公差为，由可得出，然后解不等式，可得出当取得最小值时对应的的值.

【详解】设等差数列的公差为，由可得，

整理可得，所以，，

令，即，解得，

因此，当取最小值时，.

故选：C.

5．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（    ）

A．4 B．5 C．6 D．8

【答案】C

【分析】连接，将待求表达式转化进行运算简化.

【详解】

连接，由棱柱性质，侧棱平面，平面，则，

故，又，

.

故选：C

6．已知为等比数列的前项和，与分别为方程的两个根，则（    ）

A．5 B．8 C．15 D．

【答案】A

【分析】先求出方程的两个根，然后进行分类讨论即可

【详解】设等比数列的公比为

由可得两个实数根为，

因为与分别为方程的两个根，

所以该方程组无实数解；

或者，解得，

所以

故选：A

7．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，

因为是的中点，，

所以，

所以，．

设是平面的法向量，

则，令，得．

故点到平面的距离为．

故选：B

8．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由双曲线可得到渐近线方程，，然后利用点到直线的距离公式求得，接着在利用余弦定理即可求出答案

【详解】由双曲线可得，渐近线方程为，离心率为，

不妨取渐近线即，所以到渐近线的距离为，

在中，，所以，，即，

在中，即，

所以，

所以

故选：D

二、多选题

9．已知数列的前5项依次如图所示，则的通项公式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据选项中的通项对前五项一一验证即可.

【详解】对于选项A：时，，，，，，满足题意，故A正确；

对于选项B：时，，，，，，满足题意，故B正确；

对于选项C：时，，，，，，满足题意，故C正确；

对于选项D：时，，不满足题意，故D错误；

故选：ABC.

10．如图，在正方体中，、、分别为、、的中点，则（    ）

A．平面

B．平面

C．

D．直线与直线所成角的余弦值为

【答案】BD

【分析】以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，

则、、、、、，

所以，，，，，

设平面的法向量为，则，

令，得．

对于A选项，因为与不平行，所以与平面不垂直，A错；

对于B选项，因为，所以，且平面，所以平面，B对；

对于CD选项，，

所以，异面直线与直线所成角的余弦值为，C错D对.

故选：BD.

11．若圆和圆的交点为、，则（    ）

A．公共弦所在直线的方程为

B．线段的中垂线方程为

C．公共弦的长为

D．与和都相切的两条直线交于点

【答案】ABD

【分析】将两圆方程作差可得出公共弦的方程，可判断A选项；分析可知直线垂直平分线段，求出直线的方程，可判断B选项；求出，可判断C选项；利用三角形相似求出两圆公切线的交点的坐标，可判断D选项.

【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

则，所以，，

所以，圆、相交，

对于A选项，将两圆方程作差可得，即公共弦所在直线的方程为，A对；

对于B选项，由圆的几何性质可知，直线垂直平分线段，

所以，线段的中垂线所在直线的方程为，B对；

对于C选项，圆心到直线的距离为，

所以，，C错；

对于D选项，设两切线交于点，由圆的对称性可知，点在直线上，

设两切线分别切圆于、两点，分别切圆于点、，

连接、，由切线的几何性质可知，，

又因为，故，

设点，则，所以，，解得，即点，

因此，与和都相切的两条直线交于点，D对.

故选：ABD.

12．已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（    ）

A．四边形面积的最大值为2 B．四边形周长的最大值为

C．为定值 D．四边形面积的最小值为8

【答案】AB

【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，确定四边形形状，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出弦长即可计算判断C，D.

【详解】依题意，，解得，即抛物线：，焦点，直线，与坐标轴不垂直，

因为，，则四边形为矩形，则，

由，得，当且仅当时，等号成立，

所以四边形面积的最大值为2，故A正确．

由，当且仅当时，等号成立，得，

所以四边形周长的最大值为，故B正确．

设直线的方程为，，，，

联立消得，则

则，

同理，所以，故C不正确．

，所以，当且仅当时，等号成立，此时，故D不正确．

故选：AB.

三、填空题

13．椭圆的长轴长为      .

【答案】8

【分析】根据椭圆长轴长定义求解即可.

【详解】由题知：，所以长轴长为.

故答案为：8

14．已知空间三点，则点到直线的距离为             ．

【答案】

【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.

【详解】易知，

则，，

故点到直线的距离为．

故答案为：.

15．已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为              ．

【答案】

【分析】直线过定点，曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆，数形结合可求实数的取值范围.

【详解】直线，得，可知直线过定点，

如图，曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆．

当直线与半圆相切时，，解得．

曲线与轴负半轴交于点．

因为直线与曲线有两个交点，所以．

故答案为：.

四、双空题

16．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则      ；数列的前100项和为      .

【答案】         

【分析】当时，,当时，,联立可得，利用累加法可得，从而可求得，即可得到，根据，即可得到.

【详解】令且，

当时，①；

当时，②，

由①②联立得.

所以，

累加可得.

令(且为奇数)，得.

当时满足上式，

所以当为奇数时，.

当为奇数时，，

所以，其中为偶数.

所以，所以.

因为，

所以的前2n项和

，

所以

故答案为：，

五、解答题

17．已知椭圆的离心率为，且过点．

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆交于两点，求两点的横坐标之积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用椭圆经过的点和离心率列方程求解；

（2）联立直线和椭圆，利用韦达定理求解.

【详解】（1）由题意可得，解得

故椭圆的方程为．

（2）不妨设，

联立消去，得，

易得，则由韦达定理，故．

18．已知为正项等比数列，.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知条件结合等比数列通项的性质，求出公比，即可得数列通项；

（2）根据数列特征，用错位相减法求数列前项和.

【详解】（1）因为为正项等比数列，且，所以.

设等比数列的公比为，则 ， 解得.

故

（2）依题意有

所以，

则，

两式相减，

可得

故

19．如图，在直四棱柱中，，为棱的中点，点在线段上，且．

(1)证明：．

(2)若二面角的余弦值为，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标表示证明即可；

（2）求出平面，平面的法向量，利用向量夹角公式列出关于的方程，求解即可．

【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则．

因为，

所以，

所以，故．

（2）因为，

所以．

设平面的法向量为，

则，令，得．

易得平面的一个法向量为．

，解得（舍去）．

故的值为．

20．如图，正三棱锥P－ABC的所有侧面都是直角三角形，过点P作PD⊥平面ABC，垂足为，过点作平面，垂足为，连接并延长交于点．

(1)证明：起的中点．

(2)求直线与平面夹角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）连接，根据题意证得平面，得到，结合，即可得到是的中点；

（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，把直线与平面的夹角即直线与平面的夹角，求得平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】（1）证明：连接，因为平面，平面，所以，

因为平面平面，所以，

因为，且平面，所以平面，

又因为平面，所以，

因为，所以是的中点．

（2）解：因为正三棱锥的所有侧面都是直角三角形，可得两两垂直，

以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

不妨设，则，

由，且，平面，

所以平面，因为平面，所以，

直线与平面的夹角即直线与平面的夹角，且，

连接，由正三棱锥性质可知，点是的重心，所以，故，

则，

设平面的法向量为，则，

令可得，所以．

因为，

所以直线与平面夹角的正弦值为．

21．已知正项数列的前项和为，且.

(1)证明：是等差数列.

(2)设数列的前项和为，若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先利用题意得到，继而得到，两式相减可得即可证明；

（2）由（1）可得，，所以，然后利用裂项相消法可求出，继而分析的单调性即可求解

【详解】（1）由可得，

当时，

两式相减可得

，

又由可得解得

是以为首项，为公差的等差数列，

（2）由（1）可得，，

所以，

所以

因为在内单调递增，所以，单调递增，

因为，，所以满足不等式的正整数的个数为3，的取值范围为

22．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，点关于轴对称的点为.当时，.

(1)求双曲线的方程；

(2)若的外心为，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)设双曲线的半焦距为，由条件列关于的方程，解方程求可得双曲线方程；

(2)设直线的方程为，利用设而不求法求点的坐标，利用表示，再求其范围.

【详解】（1）设双曲线的半焦距为，

因为双曲线的右焦点为，所以，

因为点和点关于轴对称，

所以当时，直线的方程为，

联立可得，又，

所以，又，

所以，

故双曲线方程为；

（2）若直线的斜率为0，则直线与双曲线右支只有一个交点，与已知矛盾，

所以可设直线的方程为，

联立，消，得，

方程的判别式，

设，

则，

，

由已知，所以，

所以线段的中点坐标为，

所以线段的垂直平分线方程为，

又线段的垂直平分线方程为，

所以点的坐标为，

所以，

所以，

所以，，

因为，所以，

所以，

所以

所以的取值范围为.

【点睛】直线与双曲线的综合问题，一般利用设而不求法解决；其中范围或最值问题，一般利用设而不求法求出变量的解析式，再结合函数方法求其范围或最值.