2022-2023学年重庆市缙云教育联盟高二上学期期末质量检测数学试题（含答案）

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重庆市2022-2023学年（上）期末质量检测

高二数学

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；

4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.  如果，，三点共线，那么(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是(    )

A.  B.  C. 或 D. 不确定

3.  已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则(    )

A.       B.
C.       D.

5.  抛物线：的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为(    )

A.    B.     C.    D.

6.  如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是(    )

A.  B. 平面
C. 直线与平面所成的角为定值 D. 异面直线，所成的角为定值

7.  设是双曲线右支上任意一点，，分别是双曲线的左、右焦点，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  直线：与曲线：只有一个公共点，则实数范围是(    )

A.  B.
C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9.  设是椭圆上的动点，则(    )

A. 点到该椭圆的两个焦点的距离之和为
B. 点到该椭圆的两个焦点的距离之和为
C. 点到左焦点距离的最大值为
D. 点到左焦点距离的最大值为

10.  在棱长为的正方体中，、、分别为、，的中点、则下列选项正确的是(    )

A. 若点在平面内、则必存在实数、使得
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 点到直线的距离为
D. 存在实数、使得

11.  已知圆：与圆：的一个交点为，动点的轨迹是曲线，则下列说法正确的是(    )

A. 曲线的方程是
B. 曲线的方程是
C. 过点且垂直于轴的直线与曲线相交所得弦长为
D. 曲线上的点到直线的最短距离为

12.  在直角坐标系中，抛物线：与直线：交于，两点，且抛物线的准线与轴交于点，是以为圆心，为半径的圆上的一点非原点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则(    )

A.  B. 直线的方程为
C.  D. 面积的最大值是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.  求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程______．

14.  已知正方体的棱长为，异面直线与的距离为______．

15.  已知动圆与直线相切，且与定圆：外切，动圆圆心的轨迹方程是______．

16.  已知为椭圆的右焦点，为坐标原点，为线段垂直平分线与椭圆的一个交点，若，则椭圆的离心率为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.
椭圆．
点是椭圆上任意一点，求点与点两点之间距离的最大值和最小值；
和分别为椭圆的右顶点和上顶点．为椭圆上第三象限点．直线与轴交于点，直线与轴交于点求．

18.
已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上．
求圆心为的圆的一般方程；
已知，为圆上的点，求的最大值和最小值．

19.
已知正四棱柱中，，，点为棱的中点．
求二面角的余弦值；
连接，若点为直线上一动点，求当点到直线距离最短时，线段的长度．

20.
如图，在底面半径为，高为的圆锥中，是底面圆心，为圆锥顶点，，是底面圆周上的两点，，为母线的中点．
求该圆锥的表面积；
求在该圆锥的侧面上，从到的最短路径的长．

21.
已知双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点．
若点的坐标为，求的坐标；
若，求该双曲线的离心率．

22.
已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为．
求双曲线的标准方程；
过点的直线与双曲线在轴右侧相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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高二数学答案及评分标准

1.    2.    3.    4.    5. 

6. 【解析】解：对于，平面，又平面，故A正确．对于，平面，又、在直线上运动，平面故B正确．对于，直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，故为定值．故C正确．对于，当点在处，为的中点时，异面直线，所成的角是，当在上底面的中心时，在的位置，异面直线，所成的角是显然两个角不相等，故D不正确．故选：．

7. 【解析】解：双曲线方程为：，，，，又是双曲线右支上任意一点，，分别是双曲线的左、右焦点，，故选：．

8. 【解析】解：曲线可化为：，，
又直线：过，斜率为，作出两图形，当与半圆弧相切时，圆心到直线的距离，，解得，
，又，，，，
数形结合可得满足题意的的范围为：故选：．
 

9. 

10. 

11. 【解析】解：由题意知，，，所以，所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且，，即，，所以，所以曲线的方程为，即选项A错误，选项B正确；过点，且垂直于轴的直线为，它与曲线相交于两点，，所以弦长为，即选项C正确；由曲线的方程为，知曲线上的点可设为，该点到直线的距离，即选项D正确．故选：．

12. 【解析】解：依题意可设，，则，因为，所以，
所以，故，又，所以，故抛物线的方程为，A错误；不妨设在第一象限，在第四象限，由可得，，
所以直线的斜率为，则直线的方程为，整理可得；同理可求的方程为，因为点在直线，上，所以，又，的坐标都满足，故可得直线的方程为，B正确；由的分析可知抛物线的准线方程为，故，所以以为圆心，为半径的圆的方程为，由于为圆上动点非原点，故，C正确；联立方程组，整理得，，则，，故，点到直线的距离，故的面积，由题可知，，，则圆的方程为，故，因为，所以，所以故面积的最大值为，D错误；故选：．
 

13. 

14. 

15. 

16. 

17.解：设，，则，
，
当时，，当时，．
如图所示，过点作轴于，过点作轴于，设，

． 

18.解：，，，弦的垂直平分线的斜率为，
又弦的中点坐标为，弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线：联立，解得：，，
圆心坐标为，圆的半径，则圆的方程为；
由知圆的方程为，，在圆外，的最大值为，最小值为． 
 

19.解：如图所示．以、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，
设平面的法向量为，
则，取，，又由图知所求角为锐角，二面角的余弦值为；
设，，又，
，令，设点到直线的距离为，
则，
当时，取最小值，． 
 

20.解：圆锥的底面半径为，高为，则母线长，因此将圆锥侧面展开得到一个半圆，
因此圆锥的侧面积为：，圆锥的底面圆面积为：，所以圆锥的表面积为：．
在底面圆中，，侧面展开图中，如图，联结，即线段的长为最短路径，

设圆心角为，，，，即到的最短路径长为． 
 

21.解：将代入抛物线，即，解得，即抛物线的方程为，所以抛物线的焦点坐标为；
解：设，，由抛物线的定义可得，
又由，所以，联立方程组，可得，可得，所以，可得，解得，可得，即双曲线的离心率为． 
 

22.解：由题意得：，，，
解得：，，，双曲线的标准方程为．
由题意可知，直线的斜率一定存在，且不为，设直线的方程为，，，
联立方程组，消去整理得，
则，整理得，
，，
线段的垂直平分线的方程为：，
令得：，即，
．
，是定值，且该定值为．