第一次月考模拟检测卷【范围：集合、常用逻辑用语、不等式】 -2023-2024学年度高一数学分层训练（北师大版2019必修第一册）

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第一次月考考试卷

范围：集合~不等式

（时间：120 分钟，满分：150 分）

一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）

1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，下列选项中均为A的元素的是（       ）

（1）（2）（3）（4）

A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）

【答案】B

【分析】根据元素与集合的关系判断．

【详解】集合有两个元素：和，

故选：B

2．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））已知，则的子集个数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．8

【答案】D

【分析】对集合A化简，再与集合B进行交集运算，可得到共有3个元素，再用判断子集个数公式即可.

【详解】因为所以，

则,而又因为,

所以，集合中有3个元素，所以的子集个数为：（个）.

故选：D.

3．（2022·山东潍坊·三模）已知集合，，若，，则一定有（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别分析每个选项，举出反例以否定错误选项.

【详解】对于选项A，当集合时，，故此选项错误；

对于选项B，当集合时，，故此选项错误；

对于选项C，当集合时，，故此选项错误；

对于选项D，因为，，且，所以，故此选项正确.

故选：D.

4．（2022·云南·高三阶段练习）设全集为，集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的交并补运算，即可求解.

【详解】解：，，

故选：B.

5．（2022·全国·高一课时练习）若，则的值为（       ）

A．-3 B．3 C．-12 D．12

【答案】C

【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求得P，q的值，由此可得选项.

【详解】解：因为，所以，解得，所以，

故选：C.

6．（2022·全国·高一课时练习）已知为正实数且，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．3

【答案】D

【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.

【详解】解：因为为正实数且，

所以，

所以，

因为，当且仅当时等号成立；

所以，当且仅当时等号成立；

故选：D

7．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知下列四组陈述句：

①：集合；：集合．

②：集合；：集合．

③： ；： ．

④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员．

其中p是q的必要而不充分条件的有（       ）

A．①② B．③④ C．②④ D．①③

【答案】D

【分析】根据必要而不充分条件的逻辑关系，结合集合的包含关系，一一判断各选项的推出关系，可得答案.

【详解】①∵，则可得，则

又∵，则当成立，当成立，

∴，故必要性成立，因此是的必要而不充分条件．

②若，则根据子集的性质可得，故充分性成立，反之，若，则成立，故必要性成立，因此是的充要条件；

③对于,当时，，

故 ，∴是的必要而不充分条件；

④是的充分而不必要条件；

综上，是的必要而不充分条件的有①③．

故选：D．

8．（2022·江苏·高一单元测试）设集合，则下列说法一定正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则有4个元素

D．若，则

【答案】D

【分析】首先解方程得到：或,针对a分类讨论即可.

【详解】（1）当时，，；

（2）当时，，；

（3）当时，，；

（4）当时，，；

综上可知A，B，C，不正确，D正确

故选：D

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9．已知全集，集合，，则（       ）

A．的子集有个 B． C． D．中的元素个数为

【答案】ACD

【分析】根据已知条件求出集合，利用子集的定义及集合的并集，结合补集的定义即可求解.

【详解】因为，所以，

因为中的元素个数为，所以的子集有个，故A正确；

由，，得，所以，故B不正确；

由，，所以，所以， 故C正确；

由，得中的元素个数为，故D正确.

故选：ACD.

10．（2022·重庆八中高二期末）下列说法正确的有（       ）

A．命题“”的否定是"”

B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是

C．若则“"的充要条件是“”

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】ABD

【分析】根据命题的否定即可判断A，根据恒成立转化成最值问题即可判断B,根据充要条件的判断即可求解C,根据基本不等式即可求解D.

【详解】命题“”的否定是"”,故A对，

因为命题“，”为假命题，则，解得，故B正确，

因为可得，当，时，有，所以若则“"是“”的充分不必要条件，故C错，

当“”是“”成立，当“”得“或”，故“”是“”的充

分不必要条件，D正确

故选：ABD

11．（2022·福建·福州三中高一期末）下列说法正确的是（       ）

A．知0＜x，则x（1﹣2x）的最大值为 

B．当时，的最大值是1

C．若，，则的取值范围是 

D．若，，则

【答案】AB

【分析】利用基本不等式及函数的性质计算可得.

【详解】解：因为，

所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确．

对于B：当时，，，

所以，

当且仅当即时等号成立，所以有最大值1，故B正确；

对于C：因为，所以；

又因为，所以，

所以．

故答案为：，故C错误；

对于D：因为，，

所以，

∴，故D错误；

故选：AB

12．（2021·河北·石家庄市第四十四中学高一阶段练习）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合，，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（       ）

A．已知，，则

B．已知或，，则或

C．如果，那么

D．已知全集､集合､集合关系如上图中所示，则

【答案】BCD

【分析】由题意可知即先求，的交集，然后求其以为全集的补集，结合差集定义依次判断各个选项即可．

【详解】由题意可知，即先求，的交集，然后求其以为全集的补集．

对于A：根据差集的定义可知：若，，则，故选项A不正确；

对于B：或，，

则或，

故或，故选项B正确；

对于C：如果，则，故，故选项C正确；

对于D：因为，故选项D正确．

故选：BCD

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．（2022·全国·高一课时练习）设集合，，，则集合C=______．

【答案】

【分析】计算出可得答案.

【详解】，时；，时；

，时；，时；

，时；，时；

，时；，时；

所以．

故答案为：.

14．（2022·浙江·杭十四中高一期末）“”是“”的               条件.

【答案】必要不充分

【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可.

【详解】若，如，则，故充分性不成立；

若，则，则，故必要性成立，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分条件.

15．（2022·全国·高一课时练习）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】由充分条件的定义可得实数的取值范围

【详解】由“”是“”的充分条件，知，故实数的取值范围为．

故答案为：

16．（2021·吉林油田高级中学高一开学考试）若“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据基本不等式求出，，根据不等式“，不等式恒成立”可得答案.

【详解】由基本不等式可知，（当且仅当x＝1时取“＝”），

因为“，不等式恒成立”，故,

故答案为：

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，或．求，；

【答案】或；

【分析】由并集、补集和交集定义直接求解即可.

【详解】由并集定义知：或；

，.

18．（2022·全国·高一课时练习）已知全集，集合，．

(1)求；

(2)若且，求实数的值；

(3)设集合，若的真子集共有个，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）解出集合、，利用补集的定义可求得；

（2）由已知可得出关于的等式，结合可求得实数的值；

（3）分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的真子集个数可求得实数的值.

（1）

解：因为，，

因此，.

（2）

解：若，则或，解得或．

又，所以．

（3）

解：，，

当时，，此时集合共有个真子集，不符合题意，

当时，，此时集合共有个真子集，符合题意，

综上所述，.

19．（2021·辽宁·大连市第十五中学高一阶段练习）已知集合，，若，求实数的取值集合.

【答案】

【分析】由，得，然后分和的两种情况求解

【详解】，

由，得，

当时，满足，此时，

当时，由，可得或，

所以或，得或，

综上实数的取值集合为

20．（2020·云南省玉溪第一中学高一阶段练习）已知集合．

（1）若时，求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由交集和并集运算可直接求得结果；

（2）利用补集定义可求得，由包含关系可得到结果.

【详解】（1）当时， ，，

.

（2）或，，

因为，所以，

即实数的取值范围为.

21．（2022·河南师大附中高二阶段练习（理））（1）已知a，b，c，为不全相等的正数，求证：．

（2）已知a，b，为正数且，求证：．

【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；

【分析】（1）根据式子左边的结构特点分析，对其分解、组合变形可利用基本不等式证明；

（2）根据“1”的代换，再利用基本不等式证明即可.

【详解】证明：（1）a，b，c为不全相等的正数，

即：，，且a，b，c不全相等，

由基本不等式得：

（2），，且

当且仅当即时，等号成立.

22．（2022·全国·高一单元测试）已知集合，.

(1)若，求实数t的取值范围；

(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数t的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先求出集合，再对与两种情况讨论，分别得到不等式，解得即可；

（2）依题意可得集合，分与两种情况讨论，分别到不等式，解得即可；

(1)

解：由得解，所以，又

若，分类讨论：

当，即解得，满足题意；

当，即，解得时，

若满足，则必有或；

解得.

综上，若，则实数t的取值范围为.

(2)

解：由“”是“”的必要不充分条件，则集合，

若，即，解得，

若，即，即，则必有，解得，

综上可得,，

综上所述，当“”是“”的必要不充分条件时，即为所求．