2022-2023学年四川省内江市第六中学高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

2022-2023学年四川省内江市第六中学高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．命题“”的否定是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由全称命题否定：任意改存在并否定结论，即可得答案.

【详解】由全称命题的否定为特称命题，

所以，原命题的否定为.

故选：C

2．准线方程为的抛物线的标准方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据抛物线准线方程直接写出抛物线方程即可.

【详解】准线方程，则，故抛物线的标准方程是.

故选：B

3．“ ”是“双曲线 的离心率为 ”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据双曲线的方程和离心率求出，结合充要条件的定义即可得出结果.

【详解】∵双曲线的离心率为，

∴，

∵，∴．

∴“ ”是“双曲线 的离心率为 ”的充要条件．

故选C．

4．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用导数研究函数的单调区间即可.

【详解】由，故时，时，

所以时递减，时递增，

综上，的递增区间为.

故选：C

5．设，且，则 椭圆 和 椭圆具有相同的

A．顶点 B．焦点 C．离心率 D．长轴和短轴

【答案】C

【详解】试题分析：的离心率为

化为标准方程，所以离心率为，所以两椭圆离心率相同

【解析】椭圆性质

6．设曲线在点处的切线与直线垂直，则

A．2 B． C． D．

【答案】D

【详解】,直线的斜率为-a.所以a=-2, 故选D

7．已知椭圆C：（a>b>0）和双曲线E：x2－y2＝1有相同的焦点F1，F2，且离心率之积为1，P为两曲线的一个交点，则△F1PF2的形状为（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不能确定

【答案】B

【解析】根据题意可求得椭圆的方程,再根据椭圆与双曲线的定义求得|PF1|,|F1F2|和|PF2|.再判断三边的关系进行分析即可.

【详解】由题意可知,,因为,

所以a＝2,b2＝a2－c2＝2,

不妨设P与F2在y轴右侧,

则,故,,又

得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2,

所以△F1PF2为直角三角形,

故选：B

【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的焦点与离心率,同时也考查了椭圆与双曲线的定义等.属于基础题型.

8．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则a=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据黄金双曲线的定义，结合双曲线离心率公式列方程求参数a即可.

【详解】由题意，则，

所以.

故选：B

9．若双曲线的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆F与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB为菱形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据四边形OAFB为菱形，且圆的半径为，得到是正三角形，，则求解.

【详解】双曲线C的半焦距，

圆F过原点O.依题意易知是正三角形，

，

，

.

故选：D.

【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

10．已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用中点坐标公式和点差法可求得的值，结合可得出的值，进而得解.

【详解】设点、，则的中点为，

则，可得.

若直线轴，则线段的中点在轴上，不合题意；

故直线的斜率存在，且，

由于A、两点都在椭圆上，则，

两式相减得，即，

因为在直线AB上，故，故，即，

所以，解得，

所以椭圆的标准方程为.

故选：A.

11．函数在内存在极值点，则（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】B

【分析】由分离常数，通过构造函数法，结合函数的单调性求得的取值范围.

【详解】，，

令，由于，

所以，

在上递减，当时，；当时，.

由于函数在内存在极值点，

所以.

故选：B

12．已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案.

【详解】设切点为，由可得，

所以在点处的切线的斜率为，

所以在点处的切线为：，

因为切线过点，所以，

即，即这个方程有三个不等根即可，

切线的条数即为直线与图象交点的个数，

设，

则

由可得，由可得：或，

所以在和上单调递减，在上单调递增，

当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，

的图象如下图，且，

要使与的图象有三个交点，则.

则的取值范围是:.

故选：A.

二、填空题

13．已知，则_____．

【答案】

【分析】先求出，令后可得的值．

【详解】，令，

则，故．填．

【点睛】本题考查函数导数的运算，属于容易题，求导时注意为常数．

14．椭圆的焦点为、，点在该椭圆上，若，则的大小为______．

【答案】/

【分析】先利用椭圆的定义求出，再利用余弦定理求解.

【详解】解：由椭圆方程，可得，，．

根据椭圆定义可得，，

可得，解得．

在三角形中，由余弦定理得，

又因为，所以．

故答案为：

15．已知抛物线C的焦点为F，点A，B在抛物线上，过线段AB的中点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，以AB为直径的圆过点F，则的最大值为________．

【答案】/

【分析】由题设可得且，再结合基本不等式求的最大值，注意取值条件.

【详解】假设抛物线如下图示，由题设：， 则，

，，即，

以AB为直径的圆过F，所以，

所以，仅当时等号成立，故的最大值为.

故答案为：

16．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是________．

【答案】

【分析】构造函数，则由题意分析可知是区间上的单调递减函数，又，这可根据确定的正负确定的正负，再结合奇偶性分析成立的的取值范围.

【详解】构造函数，令，则，

由可得，

则是区间上的单调递减函数，

且，

当时，，又，

所以，则;

当时，，又，

所以，则.

又因为是奇函数，

故当时，，，

∴当时，，．

综上所述，使得成立的的取值范围是．

故答案为：.

【点睛】本题考查构造函数法在研究导数与函数单调性中的应用，难度一般. 关键在于构造函数及单调性的讨论，从所构造的函数入手分析原函数的性质.

三、解答题

17．已知

(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

(2)若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据是的充分条件列不等式，由此求得的取值范围.

（2）判断的真假性，由此求得的取值范围.

【详解】（1）解得，

由于是的充分条件，

所以.

（2）当时，，而，

设，

由于“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，

所以假真，，

即的取值范围是.

18．已知曲线．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）求曲线过原点的切线方程．

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；

（2）设切点为，可得切线的斜率和方程，代入原点，可得的值，即可得到所求切线方程．

【详解】解：（1）的导数为，

可得曲线在处的切线斜率为，

切点为，可得切线方程为，

即为；

（2）设切点为，

可得切线的斜率为，

即有切线方程为，

代入，可得，

解得或，

当时，可得切线方程为；

当时，可得切线方程为．

综上可得所求切线方程为或．

【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，注意切点的确定，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

19．如图（1），已知边长为2的菱形ABCD中，沿对角线BD将其翻折，使，设此时AC的中点为O，如图（2）．

(1)求证：点O是点D在平面上的射影；

(2)求点A到平面BCD的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接DO，BO，利用勾股定理证明，再证明平面，即可得证；

（2）利用等体积法求解即可.

【详解】（1）连接DO，因为，O为AC的中点，所以，

设菱形ABCD的边长为2，

又因为，所以，连接BO，则，

又因为，，所以，所以，

所以，

又，所以，所以，

又，平面，平面，所以平面，

所以点O是点D在平面上的射影；

（2）设点A到平面BCD的距离为h，

由菱形ABCD的边长为2，且，

则的面积为，

则，的面积为，

由（1）知，平面，，

所以，

由得，，所以，

即点A到平面BCD的距离为．

20．已知点，直线交y轴于点H，点M是l上的动点，过点M且垂直于l的直线与线段MF的垂直平分线交于点P．

(1)求点P的轨迹C的方程：

(2)若A、B为轨迹C上的两个动点，且，证明直线AB必过定点，并求出该定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析，定点

【分析】（1）根据抛物线定义写出点P轨迹C的方程；

（2）设，联立抛物线应用韦达定理，根据向量数量积的坐标表示列方程求参数b，即可证直线过定点及其坐标.

【详解】（1）由题意，则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，

所以轨迹方程.

（2）设直线，

联立，而①，

∴，则，

由，即满足①式，

∴直线：必过点.

21．已知函数

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，函数在上的最大值为M，若存在，使得成立，求实数b的取值范围．

【答案】(1)递增区间为，,，递减区间为

(2),

【分析】（1）对函数求导，在上研究的符号判断单调区间；

（2）由（1）确定在上的单调性并求最值，问题化为在上最大值大于等于求参数范围.

【详解】（1）由题设，

由，则，当变化时、随的变化情况如下表：

所以，函数的递增区间为，，递减区间为；

（2）由（1）知，时，在上递增，在上递减，所以，

存在使，只需在上的最大值大于等于，

所以有，解得，

所以b的取值范围是．

22．已知图图经过两点，M，N是椭圆E上异于T的两动点，且，若直线AM，AN的斜率均存在，并分别记为．

(1)求椭圆E的方程；

(2)求证：；

(3)求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）由椭圆所过的点求椭圆方程；

（2）设直线的倾斜角分别为，由已知可得，根据两点式求得，进而由证明结论；

（3）设，为为联立椭圆求关于k的表达式，再应用三角形面积公式得到，再利用换元法、基本不等式求面积最大值，注意取值条件.

【详解】（1）椭圆经过，，

代入，解得，所以椭圆方程为.

（2）设直线的倾斜角分别为，

因为，所以，即，故，

因为，，所以，所以，

所以，则，得证.

（3）设，，由（1）得：，

则为则，为则，

联立，消得，则，同理，

则

，

令，则，

当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.