2022-2023学年四川省宜宾市叙州区第一中学校高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年四川省宜宾市叙州区第一中学校高二上学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．命题“，”的否定为

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】特称命题的否定是全称命题，并将结论否定，即可得答案.

【详解】命题“，”的否定为“，”.

故选：A.

【点睛】本题考查特称命题的否定的书写，是基础题.

2．直线在轴上的截距为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】在直线的方程中令,即可求得直线的横截距.

【详解】在直线的方程中，令,得到,解得,

故选：B.

3．下列结论正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，则

【答案】B

【解析】利用特殊值法可判断A、C、D选项的正误；利用不等式的基本性质可判断B选项的正误；

【详解】对于A选项，取，，，，则，成立，但，A选项错误；

对于B选项，若，，则，由不等式的基本性质可得，B选项正确；

对于C选项，取，，，，则，成立，但，C选项错误；

对于D选项，取，，则成立，但，D选项错误.

故选：B.

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】分别从充分性与必要性这两个方面出发即可判断.

【详解】由可得，从而，从而满足充分性；

若，当时，无意义，必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

5．设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】在坐标平面中画出不等式组对应的可行域，平移动直线后可求目标函数的最小值.

【详解】不等式组对应的可行域如图所示：

由可得，故，

将初始直线平移至时，有最小值为，

故选：D.

6．直线：和直线：（）的位置关系是（    ）

A．平行 B．垂直

C．相交但不垂直 D．重合

【答案】B

【分析】讨论和两种情况，再由斜率关系得出两直线位置关系.

【详解】当时，直线：与直线：相互垂直；

当时，直线方程可化为，直线方程可化为

因为，所以直线与直线相互垂直

故选：B

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线面出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A．36 B．72 C．108 D．216

【答案】A

【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求几何体的体积即可．

【详解】由题意可知，几何体三棱锥，如图所示，

因为正方体的棱长为6，

所以几何体的体积为．

故选：．

【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的直观图．

8．已知定点，，是圆：上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是

A．直线 B．圆

C．椭圆 D．双曲线

【答案】D

【分析】由是圆上任意—点，可得，结合已知，由垂直平分线的性质可得，从而可得为定值，由双曲线的定义可得点的轨迹是以为焦点的双曲线.

【详解】

因为N为中点，O为中点，

所以，

因为P在线段的中垂线上，所以，

因此，即点的轨迹是双曲线，故选D.

【点睛】本题主要考查定义法求轨迹方程、双曲线定义的应用，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.

9．直线与曲线有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为1的轴上方的半圆，设直线与半圆相切时，切点为，进而数形结合求解即可得答案.

【详解】解：根据题意，直线过定点，

曲线表示圆心为原点，半径为1的轴上方的半圆，

设直线与半圆相切时，切点为，如图，

在中，，

所以

所以直线与曲线有公共点时，直线的倾斜角的取值范围为.

故选：D

10．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由椭圆的离心率可得，的关系，得到椭圆方程为，设出，的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线的斜率．

【详解】解：由，得，

，则椭圆方程为，

设，，，，

则，，

把，的坐标代入椭圆方程得：，

①②得：，

．

直线的斜率为．

故选：．

【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．

11．已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由直线，，可得，，代入三角形面积计算公式，再令，换元后由二次函数的单调性和反比例函数的单调性即可得出．

【详解】由直线，，

可得，，

所以当的面积，

令，所以，

所以当，即时，取得最小值．

故选：C

【点睛】求最值问题一般步骤为：（1）先求出目标函数；（2）再求函数的最值，求最值经常用到：二次函数的最值，基本不等式或用求导的方法．

12．在三棱锥中，面，则三棱锥的外接球表面积是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先计算BD长为2，判断三角形BCD为直角三角形，将三棱锥还原为长方体，根据体对角线等于直径，计算得到答案.

【详解】三棱锥中，面

中：

在中：

即ABCD四点都在对应长方体上：体对角线为AD

答案选D

【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积，将三棱锥放在对应的长方体里面是解题的关键.

二、填空题

13．某学校高一､高二､高三年级的学生人数之比为2∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为54的样本，则应从高三年级抽取___________名学生.

【答案】24

【分析】根据分层抽样的定义按比例计算可得．

【详解】由题意应从高三年级抽取学生人数为．

故答案为：24．

14．若与直线垂直，那么__________．

【答案】

【详解】由两条直线垂直知，

得．

15．过圆的圆心且与直线平行的直线方程为___________.

【答案】

【分析】求出圆心坐标，及直线斜率，再根据给定条件直接求出直线方程作答.

【详解】圆，即的圆心，直线的斜率为，

所以过点与直线平行的直线方程为：，即.

故答案为：

16．直线与圆相交于两点A，B，点为圆心，且则___________.

【答案】1或−5##-5或1

【分析】由向量数量积的定义可得，根据余弦定理可得的长，由圆的垂经定理可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离可得答案.

【详解】如图，

由,

所以

在中,由余弦定理可得

所以

设圆心到直线的距离为，则

又，即

解得或

故答案为：或

三、解答题

17．已知命题直线与焦点在轴上的椭圆无公共点，命题方程表示双曲线．

(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；

(2)若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由椭圆的焦点在轴上，得，再将直线方程代入椭圆方程中消去，由直线与椭圆无公共点，所以，结合前面的范围可求出的取值范围，

（2）先出命题为真命题时的范围，然后由命题是命题的充分不必要条件，得或，从而可求得实数的取值范围

【详解】（1）∵椭圆的焦点在轴上，∴，

又∵直线与椭圆无公共点，

由得，

∴，解得或，

∵，∴，

所以当命题是真命题时，实数的取值范围为.

（2）方程表示双曲线，

∴解得或，

又∵命题是命题的充分不必要条件，

∴或，解得或，

即实数的取值范围或.

18．已知圆C：，直线l：.

(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可.

（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.

【详解】（1）由圆：，可得，

其圆心为，半径，

若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.

（2）由（1）知：圆心到直线的距离，

因为，即，解得：，

所以，整理得：，解得：或，

则直线为或.

19．已知圆：，直线：.

(1)证明：不论m为何值时，直线l恒过定点；

(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）化简直线方程再列方程组求解即可；

（2）根据（1）中所求定点，当直线所过定点与圆心的连线和直线l垂直时弦长最小，从而求解出直线l的斜率，进而写出直线l的方程.

【详解】（1）由得，

所以直线所过定点的坐标满足方程解得

所以直线l恒过定点（3，1）.

（2）根据（1），记直线所过的定点为，当直线l被圆C截得的弦长最小时，

根据题意，，

直线l的方程为，即

20．如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足．

(1)求证：平面；

(2)求点到平面距离．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）运用平行四边形思想得线线平行，根据线面平行判定定理证明即可；

（2）运用等体积法求点到平面距离即可.

【详解】（1）证明：取 的中点 ,连接 ,

因为 是 中点， 是 中点，

所以 ,且，

所以 ,且，

所以 ,且，

所以四边形 是平行四边形，

所以 ,

因为 平面 ， 平面，

所以平面；

（2）由题知，

所以，

设点到平面的距离为 ，

因为，

所以，

因为，

所以，

易得，

在 中，，

所以，

因为，

所以，

所以，

解得，

所以点到平面距离为.

21．已知动点P到点（0，1）的距离与到直线y＝2的距离的比值为，动点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)直线y＝kx+1与曲线C交于A，B两点，点M（0，2），证明：直线MA，MB的斜率之和为0．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意，结合两点间距离公式进行求解即可；

（2）直线y＝kx+1与曲线C方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合斜率公式进行求解即可.

【详解】（1）设点P的坐标为P（x，y），则，整理可得曲线C的轨迹方程为；

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），与直线方程联立可得：（k2+2）x2+2kx﹣1＝0，则：，

＝，

从而直线MA，MB的斜率之和为0．

22．已知过的直线l与圆O：相交于不同两点A，B，且点A，B在x轴下方，点.

(1)求直线l的斜率的取值范围；

(2)证明：；

(3)求三角形ABN面积的最大值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）故设直线l的方程为，联立方程，根据结合得到答案.

（2）设，则，计算，得到证明.

（3）设，根据根与系数的关系计算，设，利用均值不等式计算得到答案.

【详解】（1）由题知，故设直线l的方程为，

，故，，

即，故直线l的斜率k的取值范围为.

（2）设，则，

，故.

（3）设，则由（1）知，，

∴

，

设，，则，

，当且仅当，即，时取等号，

故三角形ABN面积的最大值为.