2022-2023学年陕西省宝鸡市金台区高二下学期期中数学（理）试题含解析

2022-2023学年陕西省宝鸡市金台区高二下学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．下列求导数运算正确的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据导数公式与运算法则判断即可.

【详解】对于选项A：，故A不正确；

对于选项B：，故B不正确；

对于选项C：，故C不正确；

对于选项D：，故D正确.

故选：D

2．利用反证法证明“若，则”时，应假设为（    ）

A．且 B．且x，y都不为0

C．且x，y不都为0 D．或

【答案】D

【分析】利用反证法证明规则即可得到应假设或.

【详解】利用反证法证明, 应先假设结论不成立，本题应假设或

故选：D

3．一物体在力（x的单位：m，F的单位：N）的作用，沿着于力F相同的方向，从处运动到处，力F(x)所做的功是（    ）

A．16N B．64N C．40N D．52N

【答案】C

【分析】直接应用定积分在物理中的应用公式求解．

【详解】由题可得（N）.

故选：C.

4．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（    ）

A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；

C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；

D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．

【答案】D

【分析】根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A选项，根据图象可知，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确.

B选项，根据图象以及导数的知识可知，在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同，

B选项结论正确.

C选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，

C选项结论正确.

D选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于

在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率

D选项结论错误.

故选：D

5．函数f（x）=x2-lnx的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由函数f（x）=x2-lnx，可以求出函数的导函数的解析式，进而判断出函数的单调性，进而得出当x=时，函数取最小值．

【详解】∵函数f（x）=x2-lnx，∴f′（x）=2x- （x＞0）

令f′（x）=2x-=0

解得x=

∵当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0

故在区间（0，）上，函数f（x）为减函数，在区间（，+∞）上，函数f（x）为增函数，

则当x=时，函数取最小值 ．

故选C．

【点睛】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，其中求出函数的导函数，进而分析函数的单调性及函数的最小值点是解答本题的关键．

6．在复数范围内（为虚数单位），下列假命题的个数是（    ）

①；

②若，则；

③若复数，，，在复平面内对应的向量分别为，（ 为坐标原点），则；

④若，则.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据虚数不能比较大小，可判定①不正确；㓟，可判定②不正确；根据共轭复数的概念，求得，，求得，可判定③不正确；设复数，根据，求得，可判定D正确.

【详解】对于①中，根据虚数不能比较大小，所以①不正确；

对于②中，因为，例如，此时，所以②不正确；

对于③中，由复数，，可得，，

可得，在复平面内对应的向量分别为，，

所以，则，所以③不正确；

对于④中，设，由，可得，可得，

所以，所以④正确.

故选：C.

7．若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.

【详解】设与直线平行的直线的方程为，

∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，

设切点， ，所以，

，，，

点，直线的方程为，

两点间距离的最小值为平行线和间的距离，

两点间距离的最小值为.

故选：.

8．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据定积分的几何意义求解即可

【详解】，其中的几何意义为区间之间与轴围成的面积，即半圆与轴围成的面积，为，又中为奇函数，区间关于原点对称，故，故

故选：C

9．已知函数，则不等式的解集是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.

【详解】因为，所以等价于，

在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，

不等式的解为或.

所以不等式的解集为：.

故选：D.

【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.

10．若为正实数，且，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由，可判定A不正确；根据在上单调递增，可判定B不正确；令，求得，得到函数，可判定C不正确；令，求得，进而可判定D正确.

【详解】由为正实数，且，

对于A中，由，可得，所以A不正确；

对于B中，由函数在上单调递增，所以，

即，所以B不正确；

对于C中，令，可得，令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以与，无法比较大小，所以C不正确；

对于D中，令，可得，则函数单调递减，

所以，即，即，所以D正确.

故选：D.

11．设的三边长分别为，的面积为，内切圆半径为，则.类比这个结论，设四面体的四个面的面积分别为，内切球半径为，四面体的体积为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】用四面体的内切球球心将四面体分为四个三棱锥，利用等体积法求解即可.

【详解】设四面体的内切球球心为，则球心到四个面的距离为内切球半径，所以四面体的体积等于以为顶点，分别以四个面为底面的四个三棱锥体积的和，则四面体的体积为，所以.

故选：B

12．设有三个不同的零点，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，画出图形，利用导数求解切线方程，进而可得切线斜率，结合图象关系即可求解．

【详解】如图，由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，

画出函数的图象，直线过定点，

当时，设过的直线与的切点为,，

由，得，，故切线方程为，

把定点代入得：，即．

，

即直线的斜率为．

则使有三个不同的零点的的取值范围是．

故选：D

二、填空题

13．设，则___________.

【答案】

【分析】由导数的定义计算即可.

【详解】由，

所以，即.

故答案为：

14．已知直线l为曲线的一条切线，写出满足下列两个条件的函数______.①原点为切点：②切线l的方程为.

【答案】（答案不唯一）

【分析】可取函数，再利用导数的几何意义验证即可.

【详解】函数满足条件，

因为，所以，且，

所以切线的斜率为，

所以曲线在原点处的切线方程为.

故答案为：.（本题答案不唯一，合理即可，如也满足题意）

15．若，则的最大值为___________.

【答案】/

【分析】将问题化为求原点到以为圆心，1为半径的圆周上点距离的最大值即可.

【详解】令且，则等价于，

所以对应点在以为圆心，1为半径的圆周上，

而表示圆上点到原点的距离，故的最大值.

故答案为：

16．曲线和所围成的平面图形的面积为___________.

【答案】

【分析】利用定积分求平面图形的面积.

【详解】曲线和所围成的平面图形的面积为：

.

故答案为: .

三、解答题

17．已知是虚数单位，复数．

(1)若是纯虚数，求的值；

(2)若复数对应的点位于第二象限，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据为是纯虚数列方程组，化简求得的值.

（2）根据对应点在第二象限列不等式组，从而求得的取值范围.

【详解】（1）是纯虚数，

．

（2）复数对应的点位于第二象限

18．设．

(1)若，证明：；

(2)已知，且，用分析法证明：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由，求得，结合基本不等式，即可得证；

（2）要证：，利用分析法，转化为证明，进而转化为，结合基本不等式，即可求解.

【详解】（1）证明：由，因为，可得，所以，

又由基本不等式，可得，

当且仅当时等号成立，所以.

（2）证明：因为，，要证：，

只需证：，即，

即证：，

又因为，即证：，

即证：，，

即证：.                  

因为显然成立，故原不等式成立.

19．设正三棱柱的体积为16，求其表面积最小时，底面边长的值.

【答案】

【分析】设底面边长为，高为，求得，得到其表面积，求得，得出函数的单调性，即可求解.

【详解】解：设正三棱柱的底面边长为，高为，可得，所以，  

其表面积，

可得，令，得 ，

当时，，在区间上单调递减；

当时，，在区间上单调递增，   

所以当时，取得极小值，即为最小值，即底面边长为4时，表面积最小.

20．设数列满足，．

(1)计算，猜想的通项公式；

(2)用数学归纳法证明上述猜想，并求前项和．

【答案】(1)，，

(2)证明见解析，

【分析】（1）根据已知条件，结合递推关系求出，从而可猜想出通项公式，

（2）利用数学归纳法的步骤证明即可，判断数列为等差数列，然后根据等差数的求和公式可求得结果.

【详解】（1）因为数列满足，，

所以，

，

由此可猜想

（2）证明：①当时，显然成立，

②假设当时，成立，即，则

当时，

，

所以时也成立，

综合①②可得，

因为，

所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，

所以

21．已知函数，.

(1)若，求函数的极值；

(2)若对任意，都有成立，求的取值范围.

【答案】(1)极大值为，函数无极小值

(2)

【分析】（1）求出导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；

（2）参变分离可得对任意恒成立，令，，利用导数求出函数的单调性，即可求出参数的取值范围.

【详解】（1）依题意，    

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

∴的极大值为，函数无极小值.

（2）若对任意，都有成立，

则对任意恒成立，  

令，，则，

∴在上单调递减，故，故，即的取值范围是.

22．已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.

【答案】(1)单调增区间；减区间

(2)

【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间；

（2）由可得，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，

，

令可得，列表如下：

所以，函数在上单调递增，在上单调递减；

（2）由，可得，则直线与函数的图象有两个交点，

函数的定义域为，，

由，可得，列表如下：

所以，函数的极大值为，

且当时，，

当时，和函数相比，一次函数呈爆炸性增长，所以，

且，，

又，

根据以上信息，作出其图象如下：

当时，直线与函数的图象有两个交点，

因此，实数的取值范围是.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．