2022-2023学年江苏省南京市玄武高级中学高一下学期期中数学试题含解析

江苏省南京市玄武高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．复数的虚部为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的定义判断即可.

【详解】复数的虚部为.

故选：C.

2．已知，则（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】D

【分析】根据正切的两角差公式直接求解即可.

【详解】

故选：D

3．在中，角的对边分别是，若 ，，，则=（　　）

A． B． C．6 D．

【答案】B

【分析】由余弦定理求解即可.

【详解】解：因为，b=3，，

所以由余弦定理可得.

所以.

故选：B.

4．已知向量满足，，则=（　　）

A．-0.5 B． C．0 D．2.5

【答案】C

【分析】根据向量的模长结合数量积的运算律即可求得答案.

【详解】因为，所以，则.

故选：C.

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出的范围，再利用同角三角函数关系求出的值，利用已知角和未知角之间的关系可知，最后用两角差的正弦公式计算即可.

【详解】∵,,

∴,

∴.

故选: .

6．在ABC中，则cosC=（　　）

A． B． C．或 D．-或-

【答案】B

【分析】利用平方关系得到，再根据A+B+C=π讨论求解.

【详解】解：因为，

所以，

当时，

因为，且，

所以，

又因为，且，

所以，

所以A+B>π，所以，

所以，

，

.

故选：B.

7．设O为△ABC的外心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若b=3，c=5，则=（　　）

A．8 B． C．6 D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用数量积的定义结合圆的性质求解作答.

【详解】因为O为△ABC的外心，

则，同理，

所以.

故选：A

8．凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD中，，，，，当变化时，对角线BD的最大值为（　　）

A．4 B． C． D．

【答案】C

【分析】设，，在△ABC中，根据余弦定理表示，根据正弦定理表示，在△BCD中，由余弦定理表示，化简求得最值.

【详解】设，，，，

在△ABC中，由余弦定理，得，

由正弦定理，得，∴.

∵，，，

在△BCD中，由余弦定理，得,

∴

，

当，即时，取得最大值，为，

即BD的最大值为.

故选：C.

二、多选题

9．下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】熟练掌握二倍角公式 ，

，根据题中式子的特点，选择公式计算即可.

【详解】A.；

B. ；

C. ；

D. .

故选：BCD

10．在中，内角、、的对边分别是、、，下列结论正确的是（　　）

A．若，则为等腰三角形

B．若，则为等腰三角形

C．若，，则为等边三角形

D．若，，，则有两解

【答案】AC

【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用正弦定理、二倍角公式可判断B选项；利用余弦定理可判断C选项；利用正弦定理求出的值，可判断D选项.

【详解】对于A选项，若，由正弦定理可得，则，

所以，为等腰三角形，A对；

对于B选项，因为，由正弦定理可得，

因为、中至少有一个是锐角，则，

从而可知、均为锐角，由可得，

因为、，则、，所以，或，

所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，B错；

对于C选项，因为，，

由余弦定理可得，即，

所以，，因此，为等边三角形，C对；

对于D选项，因为，，，

由正弦定理得，所以，不存在，D错.

故选：AC.

11．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，a，b､c为三角形的三边）.现有△ABC满足，且△ABC的面积，则下列结论正确的是（    ）

A．△ABC的最短边长为4 B．△ABC的三个内角满足

C．△ABC的外接圆半径为 D．△ABC的中线CD的长为

【答案】AB

【分析】结合题意利用正余弦定理处理运算，常用向量处理△ABC的中线：．

【详解】因为，所以由正弦定理可得，设，，，因为，所以，解得，则，，，A正确；

因为，所以，，故B正确；

因为，所以，由正弦定理得，，C错误；

，所以，故，D错误.

故选：AB.

12．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形的边长为1，是正八边形边上任意一点，则（　　）

A．

B．在向量上的投影向量为

C．若则，为中点

D．若在线段（包括端点）上，且，则取值范围[1,2+]

【答案】BD

【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算性质逐项判断即可.

【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

则且，

所以，A错误；

又，，所以，即在向量上的投影向量为，B正确；

又，设，所以，

因为，则，整理可得，与八边形有两个交点，C错误；

若在线段（包括端点）上，设，，所以，，由，可得，则，所以，D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．已知是第三象限角，且，则的值是___________.

【答案】/-0.75

【分析】根据同角三角函数关系式求得的值，再根据正切二倍角公式求得的值.

【详解】因为是第三象限角，且，

所以，则，

所以.

故答案为：.

14．已知△ABC的三个内角A、B、C，向量，，且.则角A=___________.

【答案】.

【分析】根据，由=0求解.

【详解】解：因为，，且，

则=0，

即sinA﹣cosA=0，

则tanA=，

因为A为三角形的内角，

所以A=.

故答案为：.

15．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则___________.

【答案】

【分析】将2sin18°替换t代入所求值的式子中，利用三角变换公式化简即得.

【详解】因t=2sin18°，则有

.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：含非特殊角三角函数式求值问题，合理选择诱导公式、同角三角函数基本关系、和差角的三角函数公式，二倍角公式等三角变换公式，借助通分、约分，合并等方法解决.

四、双空题

16．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边为a，b，c，若∠BAC=，D为边BC上一点，且AD=1， BD：DC=2c：b，，则tan=___________则b+2c的最小值为 ___________.

【答案】     /     /

【分析】设，则，利用面积关系可以得到，从而求得tan；再利用面积关系可以得到，再利用基本不等式的代1法即可求解.

【详解】设，则，

∵AD=1，BD：DC=2c：b，

∴，

即，

化简得，即，

故，

又，

所以，

即，

∴，

当且仅当时取等号，即2b+c的最小值为.

故答案为：.

五、解答题

17．实数m取什么值时，复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)是

（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

【答案】（1）m1=0或m2=3时， z是实数； （2）m1≠0且m2≠3时， z是虚数；（3）m=2时z是纯数；

【详解】试题分析：（1）当m2-3m=0,即m1=0或m2=3时， z是实数； 4分

（2）当m2-3m≠0，即m1≠0且m2≠3时， z是虚数； 8分

（3）当即m=2时z是纯数； 12分

考点：复数的概念．

点评：中档题，复数为实数，则虚部为0；复数为纯虚数，实部为0 ，虚部不为0.

18．已知向量，.

(1)求时，求的值；

(2)若与共线，求夹角

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入得，根据向量坐标化运算得，利用向量模的公式即可；

（2）计算得，利用向量共线得值，再利用向量夹角公式即可得到答案.

【详解】（1）∵，

当时，，∴，

∴.

（2），且与共线

∴，解得，

所以，，

所以夹角为.

19．在△ABC中，，，点D在BC上，.

（1）求AD的长；

（2）若△ABD的面积为，求AB的长；

【答案】（1）3； （2）9.

【分析】（1）先根据同角三角函数关系得再根据正弦定理求得结果，（2）先根据三角形面积公式得，再根据余弦定理得结果.

【详解】解：（1）∵,且

∴，

正弦定理有，得；

（2）∵，

，

∴，得，

又∵，

由余弦定理得，

∴．

【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

20．已知，其中

（1）求的值

（2）求的值

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由，可得，两边平方后可得所求．（2）根据题意求出，然后根据求解即可．

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

所以．

（2）因为，，

其中，，

，

所以

．

【点睛】在解决三角中的给值求值问题时，解题的关键往往是要进行角的变换，将已知条件作为整体进行求解；同时在运用平方关系求三角函数值时，要注意所得结果的符号．

21．△ABC的三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，请在①；②；③，这三个条件中任选一个，完成下列问题：

(1)求角A；

(2)若△ABC是锐角三角形，函数，求 的最大值

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）①切化弦，利用三角恒等变换化简即可；②利用正弦定理边化角化简即可；③先化为正弦式再由正弦定理角化边计算即可；

（2）先判定B的范围，再利用三角函数的性质求其范围即可.

【详解】（1）若选①：因为，

所以，

易知，因为，则，所以，

因为，所以；

若选②：因为，

由正弦定理可得，

因为，所以，

因为，则，所以，

因为，所以；

若选③：因为，

所以,

化简可得，

由正弦定理可得：，

所以由余弦定理可知，

因为，所以；

（2）因为是锐角三角形，所以，

因为，

所以，

当且仅当，即时,取得最大值为2.

22．在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，．

(1)当时，求的值；

(2)当时，求的值；

(3)求的取值范围．

【答案】(1)；

(2)；

(3)﹒

【分析】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出∠ABC和BC长度，当AE⊥BC时，求出BE长度，从而可得；

(2)设，，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得；

(3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围．

【详解】（1）在直角梯形中，易得，，

∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，

故；

（2）

，

当时，，

设，，

则，

，

∵不共线，∴，解得，即；

（3）∵，，

∴，

＝，

由题意知，，

∴当时，取到最小值＝，

当时，取到最大值，

∴的取值范围是．