2022-2023学年江苏省连云港高级中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江苏省连云港高级中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知随机变量的分布列为

则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据随机变量的分布列性质概率之和为1可得.

【详解】由题意：，

可得：.

故选：D.

2．若随机变量服从正态分布，记为，则关于的密度函数及其图象，下列说法中错误的是（    ）

A．当时，正态曲线关于轴对称

B．正态曲线一定是单峰的

C．曲线的峰值为

D．当无限增大时，曲线无限接近轴

【答案】C

【分析】根据正态分布曲线的性质逐个判断即可

【详解】对A，当时，正态曲线关于，即轴对称，故A正确；

对B，根据正态曲线函数的性质可得正态曲线一定是单峰的，故B正确；

对C，曲线在处取得峰值为，故C错误；

对D，当无限增大时，曲线无限接近轴，故D正确；

故选：C

3．已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（    ）

A．11 B．10 C．12 D．13

【答案】C

【分析】当n为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大.

【详解】∵只有第7项的二项式系数最大，∴，∴．

故选：C

4．某种灯泡的使用寿命为2000小时的概率为0.85，超过2500小时的概率为0.35，若某个灯泡已经使用了2000小时，那么它能使用超过2500小时的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接根据条件概率公式即可求出．

【详解】记灯泡的使用寿命为2000小时为事件，超过2500小时为事件，

则若某个灯泡已经使用了2000小时，那么它能使用超过2500小时的概率为.

故选：B．

5．从含有7件次品的20件产品中，任意的抽取4件，表示抽取的次品个数，则表示（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据概率算式表示的意义判断即可.

【详解】因为表示从20件产品中任意选取4件的选法，

表示选取的4件产品中有3件次品，1件正品的选法

表示选取的4件产品全是次品的选法.

所以

故选:D.

6．在某个单位迎新晚会上有A、B、C、D、E、F6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C必须安排在第三位，节目D、F必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（    ）种

A．36 B．48 C．60 D．72

【答案】A

【分析】根据D、F在一二位或四五位、五六位先安排D、F两个节目，C是固定的，然后其他三个节目任意排列，由此可得．

【详解】由题意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三个节目任意排列，因此方法数为．

故选：A．

7．在以下命题中，真命题的是（    ）．

A．是、共线的充要条件

B．若，则存在唯一的实数，使

C．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面

D．若、、是不共面的向量，则、、的线性组合可以表示空间中的所有向量

【答案】D

【分析】根据模的性质、向量共线定理、空间向量共面定理、空间向量基本定理判断各选项．

【详解】A．若则、一定共线，若、共线，当、同向时，，即不一定成立，所以是、共线的充分不充要条件，A错；

B．若，当时，不存在唯一的实数，使，B错；

C．因为A、B、C三点不共线，则不共线，

若四点共面，则存在唯一的一组实数使得，

即，变形得，

而当由时，，所以不共面，C错；

D．若、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量，

否则若、、共面，则存在实数，使得，

即，中至少有一个不等于0，

若，则 ，因此、、共面，与已知矛盾，或同样得出矛盾，所以、、也不共面，由空间向量基本定理，可能用它们表示出空间任意向量．D正确．

故选：D．

8．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（    ）

A．2004 B．2005 C．2025 D．2026

【答案】D

【分析】由二项式定理可得，结合算法新定义判断满足对应b值.

【详解】若，

由二项式定理得，则，

因为能被5整除，所以a除以5余，

又因为，选项中2026除以5余1．

故选：D．

二、多选题

9．在正方体中，设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】结合图象，利用去表示4个选项中所涉及到的向量，且两两垂直，借助数量积的运算法则得到答案.

【详解】

A项：，正确；

B项：，连，则，故，正确；

C项：，错误；

D项：，正确．

故选：ABD

10．下列说法中正确的是（    ）

A．已知随机变量X服从二项分布，则

B．“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件

C．已知随机变量X的方差为，则

D．已知随机变量X服从正态分布且，则

【答案】BD

【分析】根据二项分布的期望公式判断A；根据对立事件与互斥事件的关系判断B；

根据方差公式判断C；根据正态分布的对称性判断D.

【详解】对于A：随机变量X服从二项分布，则，故A错误；

对于B：“A与B是互斥事件”不能推出“A与B互为对立事件”，“A与B互为对立事件”能推出“A与B是互斥事件”，故“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件，故B正确；

对于C：随机变量X的方差为，则，故C错误；

对于D：因为随机变量X服从正态分布且，根据对称性可知，，所以，故D正确．

故选：BD．

11．袋中有6个大小相同的小球，4个红球，2个黑球，则（　　）

A．从袋中随机摸出一个球是黑球的概率为

B．从袋中随机一次摸出2个球，则2个球都是黑球的概率为

C．从袋中随机一个一个不放回地摸出2个球，则2个球都是黑球的概率为

D．从袋中随机一个一个有放回地摸出2个球，则2个球都是黑球的概率为

【答案】BCD

【分析】利用组合的定义结合古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】对于A选项：设“从袋中随机摸出一个球是黑球” ，则，

所以A选项错误；

对于B选项： 设“从袋中随机一次摸出2个球，2个球都是黑球”，

则，所以B选项正确；

对于C选项：设“从袋中随机一个一个不放回地摸出2个球，2个球都是黑球”，

则，所以C选项正确；

对于D选项：设“从袋中随机一个一个有放回地摸出2个球，2个球都是黑球”，

则，所以D选项正确；

故选：BCD.

12．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（    ）

A．若G为线段AE的中点，则平面CEF

B．

C．的最小值为48

D．点B到平面CEF的距离为

【答案】ABD

【分析】根据面面垂直的性质可得平面ABCD，由线面垂直的性质可得，，又，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线、线面的位置关系和求解点到平面的距离，结合空间向量线性运算的坐标表示求出，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】因为BDEF是矩形，所以，

又矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD相交于BD，

且平面BDEF，所以平面ABCD，

而AD，平面ABCD，所以，，

而ABCD是正方形，所以，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

对于A，，，

当G为线段AE的中点时，，得，

设平面CEF的一个法向量为，

有，

因为，平面CEF，则平面CEF，故A正确；

对于B，，，

所以，故B正确；

对于C，设，则，

得有最小值44，故C错误；

对于D，，，

所以点B到平面CEF的距离为，故D正确.

故选：ABD..

.

三、填空题

13．的展开式各项系数的和是，则          .

【答案】

【分析】采用赋值法，令，根据展开式各项系数的和即可求得答案.

【详解】由题意令，则的展开式各项系数的和是，

故答案为：

14．已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是      .

【答案】

【分析】先求得，再根据投影向量的模的公式求解即可

【详解】由题，，故在上的投影向量的模

故答案为：.

15．甲袋中装有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中装有4个红球，3个白球和3个黑球，且所有球的大小和质地均相同.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出一球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是            .

【答案】

【分析】设从甲袋取出红球为事件A，再从乙袋取出红球为事件B，求解，再计算，从而得.

【详解】设从甲袋取出红球为事件A，再从乙袋取出红球为事件B，

则，.

，，

所以.

故答案为：

16．在正方体中，，，P，F分别是线段，的中点，则点P到直线EF的距离是           .

【答案】

【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解点P到直线EF的距离.

【详解】解：如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

因为，所以，，，所以，，

所以点P到直线EF的距离.

故答案为：.

四、解答题

17．平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，；

(1)用向量，，表示向量；

(2)求线段的长度．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据空间向量基本定理利用向量的加减法法则求解即可，

（2）先根据题意可得，，，然后对平方化简可求得结果.

【详解】（1）因为为中点，为中点， ，，，

所以

；

（2）因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，

所以，，，

所以

所以，即线段PM长为

18．如图，在正方体中，E，F分别为，的中点．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；

（2）建系，利用空间向量求线面夹角.

【详解】（1）作的中点G，连接EG，AG，如下图所示，

∵分别为的中点，则，，

且，，则，，

∴四边形ADEG是平行四边形，则，

∵分别为的中点，则，，

∴四边形是平行四边形，则，

故，且平面，平面，

∴平面．

（2）以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则，，，，

则，，，

设平面的一个法向量，则，

令，则，故平面的一个法向量，

设直线与平面所成角的大小为，

则，

故直线与平面所成角的正弦值为.

19．已知对任意给定的实数，都有.求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用赋值法求解，令可得结果；

（2）利用赋值法求解，令可得结果；

【详解】（1）因为，

令，则；

（2）令，则，

由（1）知，

两式相减可得.

20．为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．

(1)求甲班在项目A中获胜的概率；

(2)设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，利用独立事件的乘法公式求解即可；

（2）先算出“甲班在项目B中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望

【详解】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，

则，

所以甲班在项目A中获胜的概率为

（2）记“甲班在项目B中获胜”为事件B，

则，

X的可能取值为0，1，2，

则，

，

．

所以X的分布列为

．

所以甲班获胜的项目个数的数学期望为

21．如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．

(1)求二面角的正弦值；

(2)线段上是否存在，使得它到平面的距离为? 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，.

【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；

（2）设线段上存在，根据向量的距离公式，求得得到的坐标，进而的值．

【详解】（1）解：由底面为直角梯形，其中，，且，

所以，又由平面，

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则平面的法向量，且，

可得，

设平面的法向量，则，

取，可得，所以，

设二面角夹角为，则，则，所以二面角的正弦值为.

（2）解：设线段上存在，使得它到平面的距离为，

由，可得到平面的距离，

解得或(舍去)，所以，则．

22．新冠疫情不断反弹，各大商超多措并举确保市民生活货品不断档，超市员工加班加点工作.某大型超市为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，拟在年会后，通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有5种面值奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．

(1)若箱子中所装的5种面值的奖券中有2张面值为100元，其余3张均为50元，试比较员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率的大小；

(2)公司对奖励总额的预算是7万元，预定箱子中所装的5种面值的奖券有两种方案：第一方案是3张面值30元和2张面值130元；第二方案是3张面值50元和2张面值100元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．

【答案】(1)员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率

(2)应选择第二种方案，理由见解析

【分析】（1）根据超几何分布求出员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率，比较大小即可得出答案；

（2）分别求出选择方案一和方案二的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，比较方差和期望的大小即可得出答案.

【详解】（1）用表示员工所获得的奖励额．

因为，，

所以，

故员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率．

（2）第一种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为

所以的数学期望为，

的方差为；

第二种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为

所以的数学期望为，

的方差为，

又因为（元），

所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，

故应选择第二种方案．