吉林省长春市第七中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

长春七中2022－2023学年度上学期期中考试

高二数学试卷

出题人：杨爽

一、单选题（本大题共10小题，共50分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知是等比数列，，，则公比等于（）

A. B.－2 C.2 D.

2.在，轴上的截距分别是－3，4的直线方程是（）

A. B. C. D.

3.数列中，，，则（）

A.32 B.62 C.63 D.64

4.设是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）

A. 1 B.2 C.4 D.6

5.点到双曲线的一条渐近线的距离为（）

A. B. C. D.

6.记为等比数列的前项和.若，，则（）

A.7 B.8 C.9 D. 10

7.设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为（）

A. B.  C.  D.

8.在数列中，，，则（）

A.985 B. 1035 C.2020 D.2070

9.已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，，则的面积等于（）

A.24 B.26 C. D.

10.设，，若是与的等比中项，则的最小值为（）

A.4 B. C. 1 D.8

二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）

11.已知等差数列是递增数列，其前项和为，且满足，则下列结论正确的是（）

A.  B.

C.当时，最小  D.当时，的最小值为8

12.过抛物线的焦点作轴的垂线，交抛物线于，两点，为抛物线的顶点，则下列说法正确的是（）

A.点坐标为  B.准线方程为

C.  D.

13.已知抛物线焦点与双曲线点的一个焦点重合，点在抛物线上，则（）

A.双曲线的离心率为2  B.双曲线的渐近线为

C.  D.点到抛物线焦点的距离为6

14.下列命题为真命题的是（）

A.“，，成等差数列”的充要条件是“”

B.“，，成等比数列”的充要条件是“”

C.“”是“方程表示平行于轴的直线”的充分不必要条件

D.已知直线过点，则“直线的斜率为”是“直线与圆相切”的充分不必要条件

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

15.若实数1，，，4成等差数列，－2，，，，－8成等比数列，则_________.

16.已知直线：与：之间的距离为，则_________.

17.若数列的前项和为，则数列的通项公式是_________.

18.已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_________.

四、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（本小题12分）

已知等差数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求取得最小值时的取值.

20.（本小题12分）

已知点，直线：，圆：.

（1）若连接点与圆心的直线与直线垂直，求实数的值；

（2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求实数的值.

21.（本小题12分）

已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项；

（2）令，求数列的前项和.

22.（本小题12分）

已知抛物线上一点到其焦点的距离为2.

（1）求抛物线方程；

（2）直线与拋物线相交于，两点，求的长.

23.（本小题12分）

已知数列的前项和，且.

（1）求数列的通项.

（2）若，求数列的前项和.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查的是等比数列的通项公式.

由题意即可得出公比值.

【解答】

解：∵，，

∴，即，解得，

故选D.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查直线的截距式方程以及一般方程，属于基础题.

由直线在坐标轴上截距直接写出截距式，然后化为一般式即可.

【解答】

解：根据直线方程的截距式写出直线方程，化简得.

故选B.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查由数列的递推关系求数列的通项公式，属于基础题.

由，得，则是2为首项，2为公比的等比数列，求出通项，进而求.

【解答】

解：因为，，

所以，，

则是2为首项，2为公比的等比数列，

所以，

所以，

所以.

故选C.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的性质以及通项公式，设的前三项为，，，则由等差数列的性质，可得，从而求出，由题意得，解出和的值，根据是递增的等差数列，即可求解.

【解答】

解：设的前三项为，，，则由等差数列的性质，可得，

所以，解得，

由题意得，解得或，因为是递增的等差数列，

所以，.

故选B.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线距离公式等知识，属于基础题.

首先求得渐近线方程，然后利用点到直线距离公式，求得点到一条渐近线的距离即可.

【解答】

解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即，

结合对称性，不妨考虑点到直线的距离，

则点到双曲线一条渐近线的距离.

故选：A.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的性质，考查方程思想和运算求解能力，是基础题.

由等比数列的性质得，，成等比数列，从而得到关于的方程，再求出.

【解答】

解：∵为等比数列的前项和，，，

由等比数列的性质，可知，，成等比数列，

∴4，2，成等比数列，

∴，解得.

故选：A.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查.

利用已知条件转化求解、坐标，通过，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标.

【解答】

解：将代入抛物线，可得，，可得，

即，解得，

所以抛物线方程为：，它的焦点坐标.

故选：B.

8.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查数列的递推关系，累加法，属于基础题.

由数列的递推关系，结合累加法，即可求解.

【解答】

解：因为，所以，，，…，，

累加可得.

9.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆定义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

由椭圆的定义可得，，，由勾股定理可得，即可求得三角形面积.

【解答】

解：由题意，椭圆，所以，所以，

又，所以，，

因为，所以，

所以，

故的面积.

故选：A.

10.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的性质、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题.

由于，，是与的等比中项，可得，可得.利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.

【解答】

解：∵，，是与的等比中项，

∴，化为，

∴，

则，

当且仅当时取等号，

∴的最小值是4.

故选A.

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题主要考查了等差数列的通项公式及其前项和公式以及等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.由等差数列是递增数列，可得公差，由，得，从而，，由，得，则，，可得时的最小值为8.

【解答】

解：由等差数列是递增数列，得公差，故A选项正确；

∵，

∴，

，即，得，

∵，∴，故B选项正确；

可知或最小，故C选项错误；

由，得，则，，

所以时的最小值为8，故D选项正确；

故选ABD.

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题.

利用抛物线的几何性质逐一判断即可.

【解答】

解：抛物线的焦点为，准线方程为，

当时，，

∴，.

故选ACD.

13.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查抛物线与双曲线的基本性质，考查运算求解能力，是基础题.由双曲线方程求得，，的值，得双曲线的离心率判断A；求出双曲线的渐近线方程判断B；由抛物线与双曲线有共同焦点求得值判断C；由抛物线焦半径公式求出点到抛物线焦点的距离判断D.

【解答】

解：由双曲线方程可得，，，

离心率为，A正确；

双曲线的渐近线为，B错误；

抛物线与的一个焦点重合，

可得，即，C正确；

由，可得抛物线的准线方程为，

则点到抛物线的准线的距离为，

到焦点的距离也为4，D错误.

故选：AC.

14.【答案】AD

【解析】

【分析】

本题主要考查的是充分必要条件的判断，属于基础题.

结合充分必要条件的定义依次判断即可.

【解答】

解：选项A，因为，，成等差数列，故正确；

选项B，当，时，成立，但，，不成等比数列，故错误；

选项C，由且得，所以是充要条件，即C错；

选项D，过点，则“直线的斜率为的直线方程为，即，

圆的圆心为，半径为2，

因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，

即“直线的斜率为”是“直线与圆相切”的充分条件，

又过点的直线也与圆相切，

所以“直线的斜率为”不是“直线与圆相切”的必要条件，

所以D正确.

故选AD.

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查等差数列、等比数列的定义，考查学生的计算能力，求时，容易错误得出两个解，需要谨慎判断.

根据等差数列的定义，可以确定，利用等比数列的定义，可以得出，故可以求出.

【解答】

解：∵1，，，4成等差数列，

∴，

∴，

∵－2，，，，－8五个实数成等比数列，

∴，

∴，（舍去，等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同），

∴.

故答案为：.

16.【答案】11或1

【解析】

【分析】

本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中，的系数化为相同的，然后才能用两平行直线间的距离公式，属于基础题.

由题意，利用两平行线间的距离公式，求得的值.

【解答】

解：∵直线：与：平行，

将直线化为，

则它们之间的距离为，，

即，

则或，

故答案为：11或1.

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查数列通项的求法，属于基础题.

直接利用与的关系即可求解此题.

【解答】

解：当时，，解得，

当时，

，

即，

所以是首项为1，公比为－2的等比数列，

所以.

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆与双曲线的简单几何性质及双曲线的标准方程，由椭圆得焦点坐标，由椭圆的离心率得双曲线的离心率，利用已知即可求解.

【解答】

解：因为椭圆的焦点坐标为，，离心率为.

由于双曲线与椭圆有相同的焦点，

因此，

又双曲线的离心率，

所以，

所以，，

故双曲线的方程为.

故答案为.

19.【答案】解：（1）设等差数列的首项为1，公差为，

由，，得，即.

∴；

（2），

∴当或7时，取得最小值.

【解析】（1）设出等差数列的首项和公差，由题意列式求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求；

（2）写出等差数列的前项和，利用配方法求得的最小值并求得使取得最小值时的取值.

本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前项和，是基础题.

20.【答案】解：（1）圆：，∴，

∴，，∵，∴，∴；

（2）圆半径为，设圆心到直线的距离为，则，

又由点到直线距离公式得：，∴，

化简得：，

解得：或，

所以实数的值为1和9.

【解析】本题考查两直线垂直的判定与应用，以及直线与圆的位置关系与应用，属于基础题.

（1）由直线垂直，斜率乘积为－1可得值；

（2）求出点到直线的距离，由勾股定理求弦长，从而可得参数值.

21.【答案】解：（1）由题设知公差，

由，，，成等比数列，得，

解得或（舍去），

故的通项.

（2）由（1）知，∴，

由等比数列前项和公式，得：

.

（3）令，

.

【解析】（1）由，，，成等比数列，求得即可；

（2）由等比数列前项和公式求解；

（3）利用，累加即可.

本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的前项和公式，考查了裂项求和等，属于中档题.

22.【答案】解：（1）因为抛物线上一点到其焦点的距离为2，

所以到其准线的距离为2，

所以，解得，

所以抛物线的方程为.

（2）设，，则，整理得，

解得或，所以，或，.

所以，

所以所求线段的长为.

【解析】本题考查求抛物线方程，直线与抛物线相交，求弦长，属于基础题.

（1）由抛物线的方程，得出，求出，即可得出结果；

（2）联立直线与抛物线的方程，求交点坐标，利用两点间的距离公式即可求出结果.

23.【答案】解：（1）∵，

∴当时，，

当时，，

经检验，满足，

∴；

（2）可得.

.

，

两式相减可得

，

∴.

【解析】本题考查了数列的递推式、通项公式与错位相减法求和，考查计算能力，属于基础题.

（1）当时，，当时，，即可求解；

（2）利用错位相减法求和