2022-2023学年广东省珠海市田家炳中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年广东省珠海市田家炳中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．书架上层放有5本不同的语文书，下层放有4本不同的数学书，从书架上任取1本书的取法种数为（    ）

A．9 B．4 C．5 D．20

【答案】A

【分析】根据分类加数计数原理直接求解即可.

【详解】根据分类计数原理可知，不同的取法有种,

故选：A.

2．已知等差数列满足，若为的前n项和，则（    ）

A．45 B．54 C．63 D．90

【答案】A

【分析】由等差数列的性质，求和公式进行计算.

【详解】由等差数列的性质可知：，

所以.

故选：A

3．在等比数列中，已知，，则的值为（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】B

【分析】利用等比中项性质列式求解

【详解】等比数列中，.

故选：B.

4．已知，则等于

A．-2 B．0 C．2 D．4

【答案】A

【分析】对函数的解析式求导，得到其导函数，把代入导函数中，列出关于的方程，进而得到的值.

【详解】，

，

令，得到，

解得.

故选：A.

【点睛】在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．

5．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（    ）

A．24 B．48 C．60 D．72

【答案】B

【分析】先考虑个位数的排法，再考虑其余位置的元素的排法，利用乘法原理可得所求的偶数的个数.

【详解】个位数只能为2或4，因此个位数有2种排法，

其余4个位置可排余下4个不同的元素，共有种排法，

由乘法原理可得共有不同的偶数的个数为种.

故选：B.

【点睛】本题考虑排列的应用，对于排数问题，注意特殊元素、特殊位置优先考虑，本题属于基础题.

6．在的二项展开式中，常数项的值为（    ）

A．8 B．20 C．120 D．160

【答案】D

【分析】直接可观察出常数项为展开式的第四项，求出即可.

【详解】在的二项展开式中，常数项的值为

故选：D

7．已知等比数列的前项和，则数列的前12项和等于（   ）

A．66 B．55 C．45 D．65

【答案】A

【详解】已知，，两式子做差得到，

又时也满足，所以

故，

故是等差数列，首项为0，公差为1，则前12项和为66.

故答案为选择：A．

8．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】转化问题为在上恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式求解即可.

【详解】因为函数在上是增函数，

所以在上恒成立，即，即恒成立，

又，当且仅当时，等号成立，

所以，

故选：B

二、多选题

9．若，则m的值可以是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】BC

【分析】利用组合数的计算即可求解

【详解】因为，

所以或，解得或5．

故选：BC．

10．若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（    ）

A． B．（其中且）

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据给定条件，利用等比数列定义直接判断作答.

【详解】因为等比数列，设其公比为，则有，

对于A，是常数，数列是等比数列，A是；

对于B，且，是常数，数列是等比数列，B是；

对于C，是常数，是等比数列，C是；

对于D，显然，为等比数列，而，数列不是等比数列，D不是.

故选：ABC

11．如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（    ）

A．在上是增函数

B．在上是减函数

C．当时，取得极小值

D．当时，取得极大值

【答案】BC

【分析】根据导数与原函数关系解决.

【详解】从导函数图像可以看出函数在上为单调减函数；

在上为增函数，故A错B对，C对D错.

故选：BC

12．过点的直线与函数的图象相切于点，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据过函数图象上一点处的切线与导数之间的关系求解.

【详解】因为，所以，

由题意得直线的斜率，

即，解得或

故选:AD.

三、填空题

13．已知函数为的导函数，则          .

【答案】

【分析】根据复合函数的求导法则，求出函数的导数，代入，即得答案.

【详解】，

故答案为：1

14．从A，B等5名学生中随机选3名参加数学竞赛，则A和B至多有一个入选的方法有      种．

【答案】7

【分析】间接法：求出任选3人的方法数，以及A和B都入选的方法数，相减即可得出答案.

【详解】从5名学生中任选3名参加数学竞赛，方法有种，

A和B都入选的方法有种，

所以，A和B至多有一个入选的方法有种.

故答案为：7.

15．若是函数的极值点，则实数        ．

【答案】0

【分析】根据极值点处导函数等于零求解.

【详解】，由题意知，解得．

经检验，时，，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以是函数的极小值点，满足题意，

故答案为：0.

16．若数列，都等差数列，且有，则          ．

【答案】

【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】设等差数列、的前项和分别为

由

故答案为:

四、解答题

17．已知对任意给定的实数，都有.求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用赋值法求解，令可得结果；

（2）利用赋值法求解，令可得结果；

【详解】（1）因为，

令，则；

（2）令，则，

由（1）知，

两式相减可得.

18．等比数列的公比为2，且成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)运用等差中项求出 ，再根据等比数列的通项公式求出 ；

(2)根据条件求出 的通项公式，再分组求和.

【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，

， ， 解得，

；

（2），

.

；

综上，

19．已知等差数列的前项和满足.

(1)求的通项公式；

(2)，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等差数列的前项和公式求出即可求解；（2）利用裂项相消求和.

【详解】（1）设公差为，则，

所以解得，

所以，

（2），所以，

所以.

.

20．已知函数

(1)若，求函数在区间上的最大值；

(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围．

【答案】(1)8；

(2).

【分析】（1）先对函数求导，根据求出，则，在区间上单调递增，即可得到答案.

（2）根据题意知，分参得，即可得到答案.

【详解】（1），因为，所以，所以

在上恒成立，所以函数在区间上单调递增

所以

（2）因为函数在区间上为增函数，

所以在上恒成立

所以在上恒成立，所以

21．已知数列满足

(1)求证：数列是等比数列；

(2)设，求的前项和

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）根据题干条件构造出，结合等比数列定义证明结论；

（2）先求出的通项，利用分组求和法和错位相减法求出结果.

【详解】（1）因为，

所以，又，

所以，

∴数列是首项为，公比为的等比数列.

（2）由（1）知，，∴，

∵，∴，

∴

令

两式相减，

所以

所以，

又，

∴

22．已知函数．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义即可求解.

（2）求出导函数，分情况求解不等式和即可得解.

【详解】（1）当时，，，

，所以，又，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

（2），

当，令得，由得，由得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为

当，令得，

当时，由得或，由得，

所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；

当时，，所以的单调增区间为，无单调减区间；

当时，由得或，由得，

所以的单调增区间为和，单调递减区间为.