广西民族高中2021-2022学年高二下学期段考试题数学（理科）试题（含答案）

广西民族高中2021-2022学年度下学期段考试题

高二数学（理科）    命题人：潘克照

一、选择题（每题5分，共60分.）

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

2．设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．“”是“”的（       ）

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件  C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知，，则（       ）．

A．          B．        C．        D．

5．某品牌为了研究旗下某产品在淘宝、抖音两个平台的销售状况，统计了2021年7月到12月淘宝和抖音官方平台的月营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．下列说法错误的是（       ）

A．抖音平台的月营业额的平均值在内

B．淘宝平台的月营业额总体呈上升趋势

C．10、11、12月份的总营业额淘宝平台比抖音平台少

D．抖音平台的月营业额极差比淘宝平台的月营业额极差小

6．从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（       ）.

A．9个 B．24个 C．36个 D．54个

7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人第一天走的路程是（       ）

A．86里 B．172里 C．192里 D．96里

8．从位女生、位男生中选人参加辩论赛，则既有男生又有女生的概率为（       ）

A． B． C． D．

9．已知O为坐标原点，点M的坐标为，点N的坐标满足，则的最小值为（     ）

A． B． C． D．

10．在中，角，，所对的边为，，，且，．又点，，都在球的球面上，且点到平面的距离为，则球的体积为（    ）

A． B． C． D．

11．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点在的一条渐近线上，且（点为坐标原点），直线与轴交于点．若直线过线段的中点，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

12．已知，，，则以下不等式正确的是（       ）

A． B．    C．   D．

二、填空题（每题5分，共20分）

13．已知向量，且，则=_________．

14．在的展开式中，常数项为________.（用数字作答）

15．点是曲线上任意一点，则点P到直线的最短距离为___________.

16．已知数列满足，且，则数列|的前n项和为           ．

三、解答题（17-21题，每题12分，22题10分，共70分）

17．已知① ； ②，从①②中选取一个作为条件，补充在下面的划线处，并解决该问题。

已知的内角的对边分别为，，，若                ．

（1）求角．

（2）若，，求的面积．

18．某科技公司研发了一项新产品，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价（千元）和销售量（千件）之间的一组数据如下表所示：

（1）试根据1至5月份的数据，建立关于的回归直线方程；

（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？

参考公式：回归直线方程，其中.参考数据：，.

19．如图，在正方体中，为的中点.

(1)过点作出一条与平面平行的直线，并说明理由；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

20．已知椭圆的离心率为，且焦距为4.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线的倾斜角为，且与交于两点，点为坐标原点，求面积的最大值 .

21．已知函数，.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)证明：

(3)若对于任意的都成立，求的最大值

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求和的直角坐标方程；

（2）设点，直线交曲线于两点，求的值.

参考答案：

选择题：ADABC  DCBDB  CA

13．        14．     15．     16．

17． （1）若选①

由正弦定理，，又，

，即，由，得.

若选②

由余弦定理得，，由，得.

（2）由余弦定理知：，

∴，解得，

.

18．（1）因为，，

所以，

得，

于是关于的回归直线方程为；

（2）当时，，

则，

故可以认为所得到的回归直线方程是理想的.

19．  (1)取的中点，连结，如下所示：

因为为正方体，为的中点，为的中点，所以//，

又因为平面，平面，所以//平面，

故过点可以作出与平面平行，也可以做出其它直线，答案不唯一.

(2)

因为是正方体，设其棱长为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

如下所示：

则有，，，，

所以，，，

设为平面的一个法向量，则，

所以有，令，可得，所以，

所以=，

设直线与平面所成的角为，则，

即直线与平面所成的角的正弦值为.

20．解：依题意可知，解得，，，故的方程为.

(2)依题意可设直线的方程为，

联立，整理得，

则，解得.

设，，则，，

，

原点到直线的距离，

则的面积，

当且仅当，即时，的面积有最大值，且最大值为

21．(1)当时，，得，则，，

所以在处的切线方程为，即.

(2)令.

，

令，，可得：函数在上单调递增，

又，，

因此存在唯一，使得，即，

函数在上单调递减，在上单调递增；

∴函数在处取得极小值即最小值，

，因此.

(3)当且时，

由于，

构造函数得，

所以在上单调递增，，

由于对任意的都成立，又，，再结合的单调性知道：

对于任意的都成立，即对于任意的都成立.

令，得，，，

则在上单调递减，在上单调递增，故，

故，所以的最大值为.

22．（1）由已知得的直角坐标方程分别为，

由，则，得.

（2）将直线的参数方程代入直角方程得：，

不妨设对应的参数分别为，则恒成立，，

又因为，所以由参数的几何意义得：

，.