江苏省南京师范大学苏州实验学校、常青藤实验学校2021-2022学年高二下学期期中联考数学试卷（含答案）

江苏省南京师范大学苏州实验学校、常青藤实验学校2021-2022学年高二下学期期中联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、随机抛掷一枚质地均匀硬币5次，恰好出现3次正面向上的概率为(   )

A. B. C. D.

2、如图，某市由四个县区组成，现在要给地图上的四个区域染色，有红､黄､蓝､绿四种颜色可供选择，并要求相邻区域颜色不同，则不同的染法种数有(   )

A. 64 B. 48 C. 24 D. 12

3、在物理中，经常用导数来求物体在变速运动中的瞬时速度．若某物体在一次运动中的位移时间函数为(其中位移的单位是m，时间的单位是s)，则该物体在秒时的瞬时速度为___________(   )

A. B.-3 C. 3 D. 4

4、对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(   )

A.  B.

C.  D.

5、在的展开式中，的系数是(   )

A. 2 B.-2 C. 1 D. -1

6、设随机变量，，若，则的值为(   )

A. B. C. D.

7、某城市每年6月份的平均气温t近似服从，若，则可估计该城市6月份平均气温低于26摄氏度的天数为(   )

A. 11 B. 9 C. 6 D. 5

8、若曲线在点处的切线方程为，则的最小值为(   )

A.-1 B. C. D. 1

二、多项选择题

9、已知展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是(  )

A. 偶数项的二项式系数和为256 B. 不存在常数项

C. 系数最大项为第5项 D. 含项的系数为45

10、将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是(   )

A.当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值

B.第8行中间一项是

C.（，）

D.（，）

11、有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是(   )

A.分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法；

B.分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；

C.分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；

D.分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；

答案：ABC

12、牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值r (精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值r，即为的近似值，则下列说法正确的是(   )

A.对任意，

B.若，且，则对任意，

C.当时，需要作2条切线即可确定r的值

D.无论在上取任何有理数都有

三、填空题

13、将两枚质地均匀的骰子各掷一次，向上点数之和为7时，则其中有一个点数是2的概率是______.

14、已知一组数据,,,的平均值为，删去一个数之后，平均值没有改变，方差比原来大2，则这组数据的个数___________.

15、已知能够被15整除，其中，则___________.

16、设实数，若对任意，关于x的不等式恒成立，则的最小值为___________.

四、解答题

17、甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛．在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为．

（1）甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲恰有两轮获胜的概率；

（2）在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率．

18、科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：

根据上表中的样本数据：

（1）求和；

（2）计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关关系及相关程度.

参考数据及公式：，，，，，相关系数

19、已知，且.

（1）求n的值；

（2）求的值；

（3）求的值.

20、已知函数.

（1）若函数在处取得极大值为0，求实数a的值；

（2）若，经过点与函数的图象相切的直线有3条，求实数b的取值范围.

21、江苏省无锡市特产-阳山水蜜桃，产于中国著名桃乡无锡市阳山镇；是中国国家地理标志产品，其果大色美、皮薄肉细、汁多味甜、营养丰富，该镇的某种植户为了了解自己桃园内某一品种水蜜桃生长情况，从桃园内随机摘取了该品种水蜜桃100只，统计其质量（单位：克），得到如下频数分布表．

（1）假设该桃园内这一品种水蜜桃的质量大致服从正态分布，若规定这一品种水蜜桃的质量不低于225克的为精品桃，试估计该桃园内精品桃所占比例能否超过15％？请说明理由；

（参考数据：若），则，

（2）若规定这一品种水蜜桃的质量落在内的为标准桃．从所抽样的30只标准桃中，用分层抽样的方法抽取9只，再从这9只标准桃中随机抽取4只，质量落在内的标准桃有X只，求X的概率分布和数学期望．

22、已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个零点，求a的取值范围，并证明：.

参考答案

1、答案： B

解析：抛掷一枚质地均匀的硬币1次，出现正面向上的概率为，

抛掷一枚质地均匀的硬币5次，恰好出现3次正面向上的

概率为.

故选：B.

2、答案： B

解析：先染④有4种染法，①有3种染法，

③有2种染法，②有2种染法，

所以不同的染法种数有.

故选：B

3、答案：C

解析：某物体在一次运动中的位移时间函数为,

求导可得， ，

故该物体在 秒时的瞬时速度为.

故选C.

4、答案： A

解析：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关，

囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于-1，接近1，

所以，

故选：A

5、答案： A

解析：因为，

其中展开式的通项为，

所以展开式中的系数为；

故选：A

6、答案：B

解析：因为随机变量，

所以，

解得，所以，

则.

故选：B.

7、答案： C

解析：因为平均气温t近似服从，

所以，

则估计该城市6月份平均气温低于26摄氏度的天数为.

故选：C.

8、答案：D

解析：，因为切点在直线上，所以①，

，结合导数的几何意义有②，

因为，所以，

联立①②消去得，所以，，

令，则，

令，解得；令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因此，故最小值为 1．

故选：D．

9、答案： BD

解析：因为第4项与第8项的二项式系数相等，所以展开式共11项，故；

令，得，又，所以；

对于A选项，偶数项的二项式系数和为，说法错误；

通项公式为

不存在整数k使得成立，所以B选项说法正确；

当时，最大，所以系数最大项为第6项，所以C选项说法错误；

令，解得，所以系数为，所以D选项说法正确．

故选：BD．

10、答案：BCD

解析：对于A，根据杨辉三角的特点，当n为偶数时，中间的一项取得最大值，当n为奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，所以当每一项取倒数时，再乘以一个常数，可得当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，所以A错误，

对于B，第8行共有9个数，中间的项为第5项，即为，所以B正确，

对于C，每一行距离首末距离相等的两项相等，即（，），所以C正确，

对于D，由莱布尼茨三角形的特点可知，每个数均等于其“脚下”两个数之和，即（，），所以D正确，

故选：BCD.

11、答案： ABC

解析：对A，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法.所以不同的分配方法有种，故正确；

对B，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的分配方法有种，故B正确；

对C，6本不同书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法.所以不同的分配方法有种，故C正确；

对D，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法；

再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有种，故错误.

故选：ABC.

12、答案： BCD

解析：A，因为，则，

设，则切线方程为，

切线与轴的交点横坐标为，所以，故A错误；

B，处的切线方程为，

所以与轴的交点横坐标为，故B正确；

C，因为，，

所以两条切线可以确定的值，故C正确；

D，由选项C可知，，所以无论在上取

任何有理数都有，故D正确.

故选：BCD

13、答案：

解析：由题意知：向上点数之和为7的点数组合情况有，,其中一个点数为2的有，

向上点数之和为7其中有一个点数是2的概率是.

故答案为：

14、答案：17

解析：一组数据 ，，， 的平均值为 ， ，

删去一个数之后，平均值没有改变，方差比原来大2,设这组数据的个数为n,

则 ，

解得.

故答案为 : 17 .

15、答案： 14

解析：

，

所以，

因为是的整数倍，

所以能够被15整除，

要使能够被15整除，

只需要能够被15整除即可，

因为，

所以.

故答案为：14.

16、答案：

解析：对任意，关于x的不等式恒成立

则在上恒成立

设，即在上恒成立

由，，则

由在上恒成立

所以在上单调递增.

所以, ，即

设，则在上恒成立

所以在上单调递减，则

所以，故的最小值为

故答案为：

17、答案： （1）；

（2）.

解析：（1）设“甲恰有两轮获胜”为事件A，则．

（2）设“选中甲与机器人比赛”为事件，“选中乙与机器人比赛”为事件，“战胜机器人”为事件B，根据题意得

,,．

由全概率公式，得

．

所以战胜机器人的概率为．

18、答案： （1），   

（2）0.98，人体脂肪含量和年龄的相关程度很强，理由见解析.

解析：（1），

（2）因为，，

所以，

由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强.

19、答案： （1）   

（2）-2   

（3）-30

解析：（1）因为，则且，所以，，

整理可得，解得.

（2）由已知可得，令，

所以，.

（3）因为，

则，

因此，.

20、答案：（1）；

（2）

解析：（1）函数导函数为，

则，解得或，

当时，则，由，

则恒成立，函数单调递减，舍去；

当时，则，由，则，

则，令得，

当时取得极大值，符合题意；

故；

（2）设切点为，则的导函数为，

则切线斜率，

在切点处切线方程为，

又点在切线上，则，又，

则可得，即.

令，，

令解得或1，

当时，，当或时，，

则当时，取得极小值，，

当时，取得极大值，，

由三次函数的图像可知b的取值范围为.

21、答案： （1）该桃园内精品桃所占比例能否超过15％，理由见解析；

（2）分布列见解析，期望为．

解析：（1）由已知，，

，

所以，

所以该桃园内精品桃所占比例能否超过15％．

（2）根据频数分布表，质量落在和桃子的数量比为，因此分层抽样得出9只标准桃中，质量落在上的有3只，在上的有6只，从9只中抽取4只，随机变量X的可能值分别为0,1,2,3，

，，

，，

随机变量X的概率分布列为：

数学期望是．

22、答案：（1）当时，在上单调递增；当时，在上递减，在上递增，   

（2），证明见解析

解析：（1）由，得，

当时，，所以在上单调递增，

当时，当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

综上，当时，在上单调递增，

当时，在上递减，在上递增，

（2）由（1）知，当时，在上单调递增，则至多只有1个零点，不符合题意，

所以当时，可能存在两个零点，

由（1）知，当时，在上递减，在上递增，

所以，得，此时，

①当时，，此时，则

在和上分别存在一个零点，

②当时，，

令，则，

，

所以在上单调递增，则，

所以在上单调递减，

所以，即，

此时，则在和上分别存在一个零点，

综上，有两个零点，则

下面证明，不妨设，则由，得

两式相减得，，

两式相加得，，

所以要证，只要证，

即证，

即证，

令，则，

所以在上单调递增，

所以，

因为，所以，

所以