2022-2023学年四川省江油市太白中学高二下学期3月月考数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川省江油市太白中学高二下学期3月月考数学（理）试题

一、单选题

1．的展开式的第3项的系数为（    ）

A．－40 B．40 C．－80 D．80

【答案】B

【分析】根据二项展开式的通项即可求解.

【详解】由二项式展开式的通项得：，

所以第3项的系数为40.

故选：B．

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二项分布的知识求得正确答案.

【详解】因为，所以．

故选：B

3．小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是，小智连续两盘都获胜的概率是，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】记事件小智第一盘获胜，事件小智第二盘获胜，根据题意可得出、，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】记事件小智第一盘获胜，事件小智第二盘获胜，则，，

因此，小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是.

故选：B.

4．如图，在四面体中，是的中点，是上靠近点的四等分点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．

【详解】解：是的中点，是上靠近点的四等分点，

则．

故选：B．

5．投掷一枚均匀的骰子，记事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，则下列说法正确的是（    ）

A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B对立

C．事件A与事件B相互独立 D．

【答案】C

【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A与事件B的基本事件可判断A，B；根据独立事件的概率公式可判断C；求出事件的概率可判断D.

【详解】对于A，B，事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，

这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A与事件B不互斥，也不对立，A，B错误；

对于C，投掷一枚均匀的骰子，共有基本事件6个，

事件A：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为,

B：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为,

事件包含的基本事件个数有1个，其概率为,

由于,故事件A与事件B相互独立，C正确；

对于D，事件包含的基本事件个数有朝上的点数为共4个，

故，D错误，

故选：C

6．随机变量X服从正态分布，且，则下列说法一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正态分布的性质可求出，而方差无法确定，从而可得出答案．

【详解】因为，

由正态分布的对称性可得，故B正确，A错误，

而正态分布的方差无法确定，故C，D均错误.

故选：B．

7．在某班举行的成人典礼上，甲､乙､丙三名同学中的一人获得了礼物.甲说：“礼物不在我这”；乙说：“礼物在我这”；丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中恰有二人说慌，请问___________获得了礼物.（    ）

A．甲 B．乙 C．丁 D．不确定

【答案】A

【分析】通过推理分析即可求解.

【详解】假设乙说的是对的，那么甲说的也对，所以假设不成立，即乙说的不对，所以礼物不在乙处，易知丙说对了，甲说的就应该是假的，即礼物在甲那里.

故选：A.

8．若二项式的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ）

A． B． C．1792 D．1120

【答案】D

【分析】由二项式系数的性质求得，然后二项展开式通项公式求得结论．

【详解】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以.

通项为，

令，得，所以展开式中项的系数为．

故选：D．

9．已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据奇数项二项式系数和公式求出，再利用展开式求.

【详解】的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，

，即；

则的通项公式为，

令，则，所以.

故选：B

10．杭州亚运会共设个竞赛大项，包括个奥运项目和个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区、现需从名管理者中选取人分别到温州、金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且人中甲、乙两人不去温州赛区，则不同的选择方案共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】B

【分析】利用排列组合的知识分别求解甲、乙都没有被选派、甲、乙有且仅有一人被选派和甲、乙均被选派三种情况下的方案数，加和即可求得结果.

【详解】若甲、乙都没有被选派，则共有种方案；

若甲、乙有且仅有一人被选派，则共有种方案；

若甲、乙均被选派，则共有种方案；

综上所述：不同的选择方案有种.

故选：B.

11．如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案.

【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为，

，

，

，

故选：A.

12．国际排球比赛的规则如下：每场比赛采用“5局3胜制”(即有一支球队先胜3局就获胜，比赛结束).比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取的球队积3分，负队积0分；以取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为，甲、乙两队比赛1场后，设甲队的积分为X，乙队的积分为Y，则的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先将分为种情况，再利用事件的相互独立性的概率乘法公式求解即可.

【详解】乙两队比赛1场后，包含以下种情况，

①甲队以取胜，概率为，

②甲队以取胜，即前三局比赛中甲胜负，第四局甲胜，概率为，

③甲队以取胜，即前四局比赛中甲胜负，第五局甲胜，概率为，

甲、乙两队比赛1场后，的概率为，

故选：D.

二、填空题

13．设随机变量，则        ．

【答案】10

【分析】利用二项分布的方差公式求出，然后再利用其性质可求出.

【详解】因为随机变量，

所以，

所以，

故答案为：10.

14．的展开式中，常数项为           

【答案】

【分析】写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解.

【详解】的展开式通项为，其中，

因为，

在中，由，可得，

在中，得，

所以，展开式中，常数项为.

故答案为：.

15．现有7人排队接种新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且丙丁相邻，则有      种不同的排队方法.（用数字作答）

【答案】240

【分析】丙丁捆绑作为一个人，7个人7个位置变成6个位置，从中选3个安置甲乙丙（丁），其他3个任意排列，由此可得结论．

【详解】丙丁捆绑作为一个人，7个人7个位置变成6个位置，从中选3个安置甲乙丙（丁），其他3个任意排列，方法数为．

故答案为：240．

16．从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点，则这4个点在同一个平面的概率为      ．

【答案】

【分析】由正方体性质，结合组合数求出所有共面的4个点的选法，而所有可能情况有种，应用古典概型的概率求法求概率.

【详解】如下图，选正方体6个侧面上的顶点，共有6种共面的情况；

过中心的平面共有6个平面，每个平面含9个点中的5个，则共有种；

所有可能情况有种，

所以这4个点在同一个平面的概率为.

故答案为：

三、解答题

17．若．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用赋值法求得正确答案.

（2）求得，从而求得正确答案.

【详解】（1）依题意，，

令得，

令得，

所以

（2）由，

令得①，

由（1）得②，

由①②得，

所以.

18．某校计划从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“中学数学建模”比赛，经过层层选拔，甲、乙两个班级最后进入决赛．规定通过回答1道题目作为最后参赛的依据．现每个班级出4名选手，再从4名选手中各随机抽取2人回答这个题目．已知甲班的4人中有3人可以正确回答这道题目，乙班的4人能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两班每个人对题目的回答都是相互独立、互不影响的．

(1)分别从甲、乙两个班级的选手中抽取2人，求这4人都能正确回答的概率；

(2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X，Y，求随机变量X，Y的期望，.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式结合题意求解即可，

（2）由题意可得的可能取值为1，2，利用超几何分布的概率公式可求出相应的概率，从而可求出，的可能取值为0，1，2，利用二项分布的期望公式可求得结果.

【详解】（1）由题意得分别从甲、乙两个班级的选手中抽取2人，这4人都能正确回答的概率为

（2）由题意可得的可能取值为1，2，则

，，

所以，

由题意可知的可能取值为0，1，2，

因为乙班的4人能正确回答这道题目的概率均为，所以，

所以.

19．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:

(1)平面AEC;

(2)平面AEC⊥平面PBD．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明;

(2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.

【详解】（1）设,连接,如图所示:

因为O,E分别为,的中点,所以,

又因为平面,平面,

所以平面．

（2）连接,如图所示:

因为,为的中点,所以,

又因为四边形为菱形,所以,

因为平面,平面,且,

所以平面,又因为平面,

所以平面平面．

20．某市质监部门严把食品质量关，根据质量管理考核指标对本地的600家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家企业，统计其考核成绩（单位：分）并制成如图所示的频率分布直方图．

(1)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取3家考核成绩不低于92分的企业代表发言，记抽到的企业中考核成绩在区间的企业数为，求的分布列与数学期望；

(2)若该市食品生产企业的考核成绩服从正态分布，其中近似为这50家食品生产企业考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），近似为样本方差，经计算，得，利用该正态分布，估计该市600家食品生产企业中质量管理考核成绩高于95.4分的有多少家？（结果保留整数）

参考数据与公式：，若，则，，．

【答案】(1)分布列见解析；期望为.

(2)家.

【分析】（1）根据频率分布直方图求得考核成绩不低于92分的企业有家，不低于96分的企业有2家，得到的所有可能取值为0，1，2，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解；

（2）求得这50家食品生产企业的考核成绩的平均数，得出随机变量，求得，结合，即可求解.

【详解】（1）解：这50家食品生产企业中考核成绩不低于92分的企业有家，

其中考核成绩不低于96分的企业有2家，所以的所有可能取值为0，1，2，

可得，，，

所以的分布列为

所以期望为.

（2）解：这50家食品生产企业的考核成绩的平均数为：

由题意得考核成绩服从正态分布，所以，

所以，可得，

所以估计该市600家食品生产企业中质量管理考核成绩高于分的有家.

21．如图，平行六面体中，，，，点满足

(1)求的长度

(2)求

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由线段的空间位置关系可得，应用向量数量积的运算律求即可；

（2）由，结合（1）并应用向量数量积的运算律求值.

【详解】（1）如下图，，又，

所以，

故.

（2）如下图，，

所以.

22．学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛.

(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；

(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分.现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，比赛共进行二轮.

（i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；

（ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值.

【答案】(1)

(2)（i）分布列见解析（ii）分布列见解析，均值为0

【分析】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，由条件概率公式结合全概率公式求解；

（2）（i）的可能取值为－2，0，2，计算出相应概率，即得分布列；（ii）的可能取值为－4，－2，0，2，4，计算出相应概率，即得分布列和均值；

【详解】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，

B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”

由全概率公式得

（2）（i）设在一轮比赛中得分为，则的可能取值为－2，0，2，则

得分为的分布列用表格表示

（ii）设在二轮比赛中得分为，则的可能取值为－4，－2，0，2，4，则

得分为的分布列用表格表示为