2022-2023学年四川省绵阳市江油市太白中学高二下学期期中数学（文）试题含解析

2022-2023学年四川省绵阳市江油市太白中学高二下学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．的虚部为（    ）

A．9 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的乘法运算，将化为 形式，即可得答案.

【详解】,

所以的虚部为-7，

故选：B

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题考查集合的交集，易错点在于集合A元素是自然数，集合B的元素是实数．

【详解】∵，，∴．

故选：．

3．已知函数，那么（    ）

A．8 B．7 C．6 D．5

【答案】A

【分析】由分段函数解析式代入求解即可．

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：A．

4．命题，，则是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题，分析即可得到答案．

【详解】由题意，命题，，

由全称命题的否定为存在命题，可得：

为，，

故选：D．

5．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.

【详解】解：函数在上单调递减，

又，，，

所以，则有唯一零点，且在区间内.

故选：C

6．已知函数的导函数为，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导得，从而，即可求出，进而求出即可.

【详解】∵，∴，

令，则，解得，

∴，

∴.

故选：B.

7．甲､乙､丙､丁四人参加一项有奖活动，他们猜测谁能获奖，对话如下：甲：“如果我能获奖，那么乙也能获奖.”乙：“如果我能获奖，那么丙也能获奖.”丙：“如果丁没获奖，那么我也不能获奖.”实际上，他们之中只有一个人没有获奖，且甲乙丙说的都是正确的，那么没能获奖的是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】A

【分析】根据丙的话进行分析得丁一定获奖，进而根据甲获奖，可以推出矛盾，因此可得结论.

【详解】根据甲乙丙说的都是正确的，且只有一个人没有获奖，首先根据丙说的话可以推断：丁一定获奖，否则丁没有获奖丙也没有获奖，这与只有一个人没有获奖矛盾；其次，考虑甲是否获奖，若甲能获奖，那么根据甲说的话可以推断乙也能获奖，根据乙说的话又可以推断丙也获奖，这样四个人都获奖，不可能，故甲不能获奖.因此没有获奖的人是甲.

故选:A

8．如图所示的程序框图，运行后输出的结果为

A．4 B．8

C．16 D．32

【答案】C

【详解】执行如图程序框图：当n=2，b=1，当n=3，b=2，当n=4，b=4，当n=5，b=16，当n=5则输出b故选C

9．命题“”的一个充分不必要条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先解不等式，不等式成立的一个充分不必要条件，对应的范围应该是其解集的真子集，即可得到答案.

【详解】由可得，解得.

则不等式的解集为，

因此，不等式成立的一个充分不必要条件，对应的范围应该是集合的真子集，只有选项D满足.

故选：D

10．下列判断正确的是（    ）

A．若，则的最小值是5

B．若，则

C．若，则的最小值是

D．若，则

【答案】A

【分析】根据均值不等式计算得到A正确，根据函数单调性得到C错误，举反例得到BD错误，得到答案.

【详解】对选项A：，当且仅当，即时等号成立，正确；

对选项B：取，满足，不成立，错误；

对选项C：，则，在上单调递减，故的最小值为，错误；

对选项D：取，满足，不成立，错误；

故选：A

11．若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用导数求出与直线平行的直线与曲线的切点，再由点到直线的距离公式求解．

【详解】解：设与直线平行的直线与曲线切于，

由定义域为，得，则，

由，解得（舍去负值）．

，则点到直线的最小距离是．

故选：C．

12．函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则＝ （    ）

A． B．－ C． D．

【答案】B

【分析】由，代入整理变形可得.构造函数，求出导函数，根据导函数得出在上单调递增.即可得出，则，代入即可得出答案.

【详解】由已知可得，，即，

即.

令，则，

当且仅当，即时等号成立.

所以恒成立，所以在上单调递增.

所以有可得，，则，

所以.

故选：B.

【点睛】思路点睛：由得出后，进行同构变形得到然后构造函数，根据导函数得出函数的单调性，得到关于的关系式，即可得出答案.

二、填空题

13．不等式的解集是______．

【答案】

【分析】根据绝对值的几何意义，运算求解.

【详解】∵，则，

∴，

故不等式的解集是.

故答案为：.

14．函数的单调增区间为________．

【答案】

【分析】先对函数求导，再由，即可求出结果.

【详解】因为，

所以，

由得：，因为，所以，

解得，

所以单调递增区间为.

故答案为

【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，通过解导函数所对应的不等式求单调区间，属于基础题型.

15．民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿也深受广大旅游爱好者的喜爱.对于民宿的改造，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为240平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的3倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为__________平方米.

【答案】80

【分析】设改造前的窗户面积为平方米，将改造后的窗户面积与地板面积之比表达出，采用作差法，列出不等式，求出的范围，得到答案.

【详解】设改造前的民宿窗户面积为平方米，改造后的民宿窗户增加的面积为平方米，则地板增加的面积为平方米，.

依题意得，即，解得：，

故改造前的窗户面积最大为80平方米，

故答案为：80

16．已知，对，且，恒有，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据对条件 做出的解释构造函数，利用函数的单调性求解.

【详解】对，且，恒有，即 ，所以函数 是增函数，

设 ，则在上单调递增，故 恒成立，

即，设 ，

当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减；

故，即；

故答案为： .

三、解答题

17．已知，．

(1)若命题为真命题，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）记，，根据为真，由求解；

（2）根据p是q必要不充分条件，由求解.

【详解】（1）解：记集合，，

当时，，

∵为真，

∴；

（2）∵p是q必要不充分条件，

∴，

∴，

∴.

18．设函数.

(1)对于任意实数x，恒成立，求m的最大值；

(2)若方程有且仅有一个实根，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对求导，得到为二次函数，因为恒成立，所以有，利用二次函数性质，求的最小值即可；

（2）方程只有一个实根，说明三次函数只有一个零点，即函数极小值大于0或极大值小于0，利用导函数确定函数单调性，求出极值点，从而确定参数的取值范围．

【详解】（1）解：已知函数，，则，

因为对于任意实数x，恒成立，则，

对称轴，所以，

可得，即的最大值为.

（2）（2）令，即，解得或，

当时，；当时，；当时，.

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

当时，取极大值；当时，取极小值，

故当或时，方程仅有一个实根，

解得或，所以a的取值范围为.

19．已知，曲线在点处的切线斜率为5．

(1)求a的值；

(2)求函数的极值．

【答案】(1)

(2)极大值为－3，无极小值

【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；

（2）根据（1）的结论及利用导数法求函数的极值的步骤即可求解.

【详解】（1）因为，

所以.

因为曲线在点处的切线斜率为5．

所以，解得,

故a的值为.

（2）由（1）知，,所以，

由题意可知，的定义域为，

所以.

令，则，解得或，

当变化时，，的变化情况如下:

由此表可知，当时，取得极大值为,无极小值.

20．“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点出发，沿着助滑道曲线滑到台端点起跳，然后在空中沿抛物线飞行一段时间后在点着陆，线段的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知在区间上的最大值为，最小值为．

(1)求实数，的值及助滑道曲线的长度．

(2)若运动员某次比赛中着陆点与起滑门点的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米，）．

【答案】(1)，，助滑道曲线的长度为米

(2)米

【分析】（1）令，即可得到，，即可得到的几何意义，根据二次函数的性质得到，，即可求出、的值，从而求出曲线的长度；

（2）由（1）可得的解析式，依题意可得，代入解析式中解出，即可求出点坐标，根据两点间的距离公式计算可得；

【详解】（1）解：因为，令，则，，

所以表示以为圆心，半径的圆弧，

因为由图象可知函数开口向下，

所以，又对称轴为，又，

所以当时，，

解得，所以，

即，，助滑道曲线的长度为米

（2）解：依题意可得，，，

由（1）可得，

令，即，解得，（舍去）；

所以，所以，

即该运动员飞行距离约为米；

21．已知函数，

(1)讨论的单调性；

(2)若不等式对任意恒成立，求的最大值．

【答案】(1)单调性见解析；

(2)

【分析】（1）求出导函数，通过，时，求解导函数的正负，判断导函数的符号，求解函数的单调区间即可．（2）对任意恒成立，等价于 恒成立. 构造函数求出导数，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后转化求解即可．

【详解】（1）解：，

当时，恒成立， 在上单调递增；

当时，令得，令得，在上单调递增，在上单调递减；

综上所述：当时， 在上单调递增；

当时， 在上单调递增，在上单调递减；

（2）依题意得：对任意恒成立，等价于恒成立.

令，则，则当时，，当时，，又，

在上单调递减，在上单调递增，

，

，即的最大值为.

【点睛】思路点睛：函数中恒成立或有解问题，可分离变量，转化为或来求.

22．在平面直角坐标系中，直线过定点，倾斜角为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；

(2)设直线与曲线相交于两点，设，若，求直线的方程.

【答案】(1)曲线，直线（为参数）

(2)

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则可直接得到曲线的直角坐标方程；根据直线所过定点和倾斜角，可直接得到直线的参数方程；

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义和韦达定理可构造方程求得，由此可得直线方程.

【详解】（1）过定点，倾斜角为，的参数方程为：（为参数）；

由得：，

，即曲线的直角坐标方程为.

（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得：，

即，

设对应的参数分别为，则，，

，

，又，，

，解得：，满足，

直线的斜率，

直线的方程为，即.

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若关于x的不等式有解，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式即可；

（2）关于x的不等式有解，只需即可，再利用绝对值的意义求得的最小值，进而即可求得实数m的取值范围．

【详解】（1）当时，，

则求不等式的解集即为求不等式的解集．

当时，得，得；

当时，得，不等式恒成立；

当时，得，得，

综上，不等式的解集为．

（2）依题意，关于x的不等式有解，即．

因为，所以．

由，得，解得．

所以实数m的取值范围为．