2022-2023学年四川省眉山市彭山区第一中学高二下学期第二次月考数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川省眉山市彭山区第一中学高二下学期第二次月考数学（理）试题

一、单选题

1．若复数（是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用复数除法求出，根据共轭复数定义写出，然后计算出，得到虚部.

【详解】复数是虚数单位）的共轭复数是，

，，

，

则的虚部是.

故选：D

2．的展开式中的系数为（    ）

A．15 B．12 C．6 D．1

【答案】A

【分析】利用二项展开式的通项公式，确定出是第几项，进而确定出这一项的系数．

【详解】展开式的通项公式为，

令，解得，故展开式中的系数为 .

故选∶A

3．2022年三九天从农历腊月十八开始计算，也就是2023年1月9日至17日，是我国北方地区一年中最冷的时间．下图是北方某市三九天气预报气温图，则下列对这9天判断错误的是（    ）

A．昼夜温差最大为12℃ B．昼夜温差最小为4℃

C．有3天昼夜温差大于10℃ D．有3天昼夜温差小于7℃

【答案】C

【分析】直接看图求出每天的昼夜温差即可判断得解.

【详解】A. 1月11日昼夜温差最大为12℃，所以该选项正确；

B. 1月15日昼夜温差最小为4℃，所以该选项正确；

C. 1月11日、1月16日有2天昼夜温差大于10℃，所以该选项错误；

D. 1月9日、1月14日、1月15日有3天昼夜温差小于7℃，所以该选项正确.

故选：C

4．在区间内任取一个实数，使不等式的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先解不等式求出的范围，再由几何概型求解概率即可.

【详解】由可得，由几何概型可得，所求概率为.

故选：A.

5．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解.

【详解】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种；

要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，

所以数字为1，2，3时，有种；数字为1，3，5时，有种；

数字为2，3，4时，有种；数字为3，4，5时，有种；共24种.

所以该三位数能被3整除的概率为.

故选：D

6．某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数和方差分别是（     ）

A．70和50 B．70和67 C．75和50 D．75和67

【答案】B

【分析】根据平均数、方差的概念表示出更正前的平均数、方差和更正后的平均数、方差，比较其异同，然后整体代入即可求解．

【详解】设更正前甲，乙，…的成绩依次为a1，a2，…，a50，

则a1+a2+…+a50＝50×70，即60+90+a3+…+a50＝50×70，

（a1﹣70）2+（a2﹣70）2+…+（a50﹣70）2＝50×75，

即102+202+（a3﹣70）2+…+（a50﹣70）2＝50×75．

更正后平均分为＝×（80+70+a3+…+a50）＝70；

方差为s2＝×[（80﹣70）2+（70﹣70）2+（a3﹣70）2+…+（a50﹣70）2]

＝×[100+（a3﹣70）2+…+（a50﹣70）2]

＝×[100+50×75﹣102﹣202]＝67．

故选B．

【点睛】本题考查平均数与方差的概念与应用问题，是基础题．

7．如图，提供4种不同的颜色给图中，，，四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（     ）种．

A．12 B．36 C．48 D．72

【答案】C

【分析】根据使用颜色的数量进行分类计算即可.

【详解】如果只用了3种颜色，则ABD三块区域颜色必两两不同，C区域必与A相同，

则涂法有种；

如果用了全部4种颜色，则涂法有种；

所以总共有种涂法.

故选：C.

8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（ ）

A．0 B．2 C．4 D．14

【答案】B

【详解】由a=14，b=18，a＜b，

则b变为18﹣14=4，

由a＞b，则a变为14﹣4=10，

由a＞b，则a变为10﹣4=6，

由a＞b，则a变为6﹣4=2，

由a＜b，则b变为4﹣2=2，

由a=b=2，

则输出的a=2．

故选B．

9．某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（    ）

A．72 B．78 C．126 D．240

【答案】B

【分析】分组讨论结合组合排列关系计算即可.

【详解】要求每所小学至少去一位教师，则需要将5人分成4组，

则①甲，乙，丙中有2位教师去同一所学校有：

种情况，

②甲，乙，丙中有1位教师与丁去同一所学校有：

种情况，

③丁，戊两人选择同一所学校有：种情况，

所以满足题意的情况为：，

故选：B.

10．已知，，，则下列不等关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由，可得，即可判断大小关系.

【详解】由，可得.

则，故；

，故.

综上，.

故选：B.

11．已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（    ）

A． B．

C． D．有极小值点

【答案】C

【分析】求得函数的导数，得到函数的单调区间，确定函数的极小值，根据极小值小于0，判断A；根据方程，指对互化，判断B；根据极值点的位置，结合，即可判断C；根据A的判断，即可判断D.

【详解】由题意，函数，则，

当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意；

当时，令，解得，令，解得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

因为函数有两个零点且，

对A，则，且，

所以，解得，所以A正确；

对B，，且，，故，，

所以，所以B正确；

对C，由，且由A可知，，，则，但不能确定，

所以C不正确；

对D，由函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的极小值点为，所以D正确；

故选：C.

12．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．

【详解】∵，即，

（1）当时，，

当时，，

故当时，在上恒成立；

若在上恒成立，即在上恒成立，

令，则，

当函数单增，当函数单减，

故，所以．当时，在上恒成立；

综上可知，的取值范围是，

故选C．

【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．

二、填空题

13．命题“对任意，都有”的否定为          ．

【答案】存在，使得

【详解】全称命题的否定为其对应的特称命题，则：

命题“对任意，都有”的否定为存在，使得.

14．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量=      .

【答案】81

【分析】先利用分层抽样的定义求出样本中B、C型号的产品的件数，从而可得结果.

【详解】因为A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，且样本中A种型号产品有18件，所以样本中B、C型号的产品分别由27与36件，样本的容量，故答案为81.

【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于中基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.

15．关于圆周率的近似值，数学发展史上出现过很多有创意的求法，其中可以通过随机数实验来估计的近似值.为此，李老师组织名同学进行数学实验教学，要求每位同学随机写下一个实数对，其中，，经统计数字、与可以构成钝角三角形三边的实数对为个，由此估计的近似值是       （用分数表示）.

【答案】

【分析】设表示“实数对满足且能与构成钝角三角形”，先计算发生的频率，再利用几何概型的概率的计算方法可求的概率，从而可得的近似值.

【详解】实数对落在区域的频率为，

又设表示“实数对满足且能与构成钝角三角形”，

则中对应的基本事件如图阴影部分所示：

其面积为，故，所以，填.

【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．

16．已知，，则实数的取值范围为         ．

【答案】

【分析】构造函数，求导根据函数的单调性参变分离，再次构造函数，求导根据函数的单调性求得的最大值.

【详解】因为，设，则

又因为，，

时，，单调递增；时，，单调递减；

因此当时，有最小值，所以在R上单调递增，

∴，

设，则，令，解得.

当时，，函数单调递增，当时，函数单调递减.

∴，.

故实数的取值范围为：.

故答案为：.

三、解答题

17．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，

（1）若从甲校和乙校报名的教师中各选1名，求选出的两名教师性别相同的概率

（2）若从报名的6名教师中任选2名，求选出的两名教师来自同一学校的概率

【答案】（1）（2）

【详解】（1）利用古典概型概率公式可知

（2）从报名的6名教师中任选2名，求选出的两名教师来自同一学校的情况为，则

18．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

①展开式中第4项与第7项的二项式系数相等；②偶数项的二项式系数和为256；③前三项的二项式系数之和为46.

已知在的展开式中，__________.

(1)求含项的系数；

(2)求展开式中系数绝对值最大的项.

【答案】(1)-144

(2)

【分析】（1）若选填条件①②，由二项式系数的性质可得；若选填条件③，由组合数的计算可得.结合二项式展开式的通项公式计算即可求解；

（2）由（1），设第项系数绝对值最大，则，利用组合数的计算公式可解得，求解r即可求解.

【详解】（1）若选填条件①，，由二项式系数的性质可得，；

若选填条件②，偶数项的二项式系数和为256，即，可得，；

若选填条件③，，

即，解得或，因为，所以

二项式展开式的通项：.

由，得.

展开式中含项的系数为.

（2）假设第项系数绝对值最大，则，

所以，

所以，因为，所以，

所以展开式中系数绝对值最大的项为.

19．某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得一些数据如下表所示：

作出这组数的散点图如下

(1)请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第196天这株幼苗的高度（结果保留整数）．

附：，    参考数据：

【答案】(1)更适宜

(2)；预测第196天幼苗的高度大约为29cm

【分析】（1）根据散点图，可直接判断出结果；

（2）先令，根据题中数据，得到与的数据对，根据新的数据对，求出，，再由最小二乘法求出，即可得出回归方程，从而可求出预测值.

【详解】（1）根据散点图，更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型；

（2）令，则构造新的成对数据，如下表所示：

容易计算，，．通过上表计算可得：

因此

∵回归直线过点，∴，

故y关于的回归直线方程为

从而可得：y关于x的回归方程为

令，则，所以预测第196天幼苗的高度大约为29cm．

20．函数.

(1)若是函数的极值点，求a的值，并判断是极大值点还是极小值点；

(2)求函数的单调区间.

【答案】(1)，极小值点；

(2)当时，函数在R上单调递增；

当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.

【分析】（1）利用，求得，再根据在两侧的正负，可确定是极大值点还是极小值点；

（2）由题意可得，分、和三种情况讨论的正负，从而即可确定函数单调区间.

【详解】（1）解：因为，

∵是函数的极值点，

∴，

解得，

当时，，∴在上递减，

当时，，∴在上递增，

∴是函数的极小值点；

（2）解：∵，

①当时，在R上恒成立，

所以函数在R上单调递增，

②当时，令，解得或，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

③当时，令，解得或，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

综上，当时，函数在R上单调递增，

当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，

当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.

21．已知函数，，当时，与的图象在处的切线相同.

（1）求的值；

（2）令，若存在零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）4（2）

【详解】(1) 当时，

，则，又，所以在处的切线方程为，又因为和的图像在处的切线相同，

所以.

(2) 因为有零点

所以

即有实根.

令

令

则恒成立，而，

所以当时，，当时，.

所以当时，，当时，.

故在上为减函数，在上为增函数，即.

当时，，当时，.

根据函数的大致图像可知.

22．设函数，，且存在两个极值点、，其中.

（1）求实数的取值范围；

（2）求的最小值；

（3）证明不等式：.

【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析

【分析】（1）存在两个极值点，等价于其导函数有两个相异零点；

（2）先找出的取值范围，再利用的导函数可找出最小值；

（3）适当构造函数，并注意与的关系，转化为函数求最大值问题，证明相关不等式．

【详解】（1）由题：

∵存在两个极值点、，其中 .

∴关于的方程即在内有不等两实根

令 , ，则

由图像可得 ∴实数的取值范围是

（2）由（1）可知 ∴

∴ 由得

∴当 时， ，即在(-2,-1)单调递减；当 时， ，即在单调递增

∴ .

（3）由（1）知

∴ 令 ，则 且 令 ，则

∴

∵ ∴ 即在上是减函数∴

∴在上是增函数

∴,即 即.

【方法点睛】利用导数求函数的极值的一般方法：求函数的极值的方法：（1）求导数； （2）求方程的根（临界点）；（3）如果在根附近的左侧，右侧，那么是的极大值；如果在根附近的左侧，右侧，那么是的极小值.