2022-2023学年上海市金汇高级中学高二下学期3月月考数学试题含答案

2022-2023学年上海市金汇高级中学高二下学期3月月考数学试题

一、填空题

1．已知经过两点，的直线的斜率为1，则a的值为           .

【答案】6

【分析】根据经过两点的直线斜率计算公式即可求的参数a﹒

【详解】由题意可知，解得．

故答案为：6．

2．直线和直线的夹角大小是       

【答案】

【分析】由题意分别求出两条直线的倾斜角，即可得答案．

【详解】直线的倾斜角为，

直线的斜率为，倾斜角为，

∴直线和直线的夹角大小为，

故答案为：．

【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率，考查运算求解能力，属于基础题.

3．圆心在直线上，且过，两点的圆的标准方程为      ．

【答案】

【分析】先设圆的标准方程，结合圆心在直线y＝－x上及两点坐标列出方程组求解即可.

【详解】设所求圆的方程为( ，

因为圆心在直线上，所以，

圆的方程变

将点、代入上述方程得：

解得 ，所以圆的标准方程为.

故答案为：

4．直线与圆相交于A，B两点，则      ．

【答案】6

【分析】利用弦心距、半径与弦长的几何关系，结合点线距离公式即可求弦长.

【详解】由题设，圆心为，则圆心到直线距离为，

又圆的半径为，故.

故答案为：

5．直线与椭圆恒有两个不同的交点，则a的取值范围是        ．

【答案】

【分析】根据，则得到的范围.

【详解】椭圆长半轴长为，由题意得，则若恒有两个不同的交点，则，

故答案为：.

6．已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则      ．

【答案】11

【分析】由椭圆定义，，，结合条件数值即可求

【详解】由椭圆定义，，，，

故，又，故．

故答案为：11

7．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则       

【答案】

【分析】根据题意，结合双曲线方程，列式计算即可.

【详解】由双曲线方程可得，焦点坐标在轴上，

故可得虚轴长为，实轴长为，

又因为虚轴长是实轴长的2倍，

故可得，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查由之间的关系，求双曲线方程中参数值的问题，属基础题.

8．已知双曲线C：的两焦点分别为，，P为双曲线C上一点，若，则=           .

【答案】18或2/2或18

【分析】先由双曲线的方程求出，再利用双曲线的定义列方程求解即可

【详解】由，得，则，

因为双曲线C：的两焦点分别为，，P为双曲线C上一点，

所以，即，

所以或，

因为，

所以或都符合题意，

故答案为：18或2

9．若圆：和圆：没有公共点，则实数k的取值范围是       ．

【答案】

【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解即可．

【详解】化圆：为，

则，圆心坐标为，半径为，

圆：的圆心坐标为，半径为1，

要使圆：和圆：没有公共点，

则或，而，

所以或，

解得或，

故实数k的取值范围为.

故答案为：.

10．直线l : y=-x+m与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是       .

【答案】

【分析】曲线表示圆的右半圆，结合的几何意义，得出实数m的取值范围.

【详解】曲线表示圆的右半圆，当直线与相切时，，即，由表示直线的截距，因为直线l与曲线有两个公共点，由图可知，所以.

故答案为：.

11．已知圆C的半径为3，它与双曲线的两条渐近线均相切，且与该双曲线的右支相交，则圆C的方程为        ．

【答案】

【分析】由双曲线方程可求其渐近线方程为，由题意可设圆心，结合切线性质运算求解即可.

【详解】由双曲线可知，且焦点在x轴上，

所以渐近线方程为，即，

由题意可设圆心，

则，解得或（舍去），

所以圆C的方程为.

故答案为：.

12．已知点P为椭圆上一点，点M，N分别是圆和圆上的点，则的最大值为         ．

【答案】13

【分析】设圆和圆的圆心分别为,则根据椭圆的性质可知为定值,再根据三角形两边之和大于第三边可知的最大值为与两圆半径的和即可.

【详解】由题, 设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.

则椭圆的焦点为.又,.

故,当且仅当分别在的延长线上时取等号.

此时最大值为.

故答案为：13

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的运用以及根据三角形两边之和大于第三边求线段之和的最大值问题.属于中档题.

二、单选题

13．直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线l与圆的位置关系是（    ）

A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心

C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出直线l的方程，再求出圆心到直线l的距离判断作答.

【详解】直线过原点，斜率为，倾斜角为，依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，

因此，直线l的方程为：，又圆的圆心为，半径为，

于是得点到直线l的距离为，所以直线l与圆相切.

故选：C

14．直线y＝kx－k＋1与椭圆的位置关系为（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

【答案】A

【分析】先求得直线的恒过的点，求得该点与椭圆的位置关系，可得选项．

【详解】直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，

又，所以点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.

故选：A．

【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键得出直线的恒过点，是比较巧的方法，属于基础题．

15．已知点，，又是曲线上的点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，曲线 表示的图形是以椭圆的顶点围成的菱形，结合椭圆定义即可..

【详解】由曲线 ，可联想椭圆的方程 ，

方程 对应的曲线表示条件线段围成的四边形，

四个顶点坐标分别为,

椭圆 四个顶点坐标分别为,

所以方程 对应的曲线为连接椭圆的四个顶点围成的四边形，

当点P在椭圆上时， ，

若点P椭圆的内部时，则|，

所以，

故选：C．

三、多选题

16．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论正确的是（    ）

A．卫星向径的取值范围是

B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间

C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁

D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小

【答案】ABD

【解析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案.

【详解】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是，正确；

当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，正确；

，当比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，错误.

根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，正确.

故选：.

【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，意在考查学生的理解能力和应用能力.

四、解答题

17．已知直线, ,求m的值，使得：

(1) 与相交；

(2) ;

(3) ；

(4) ，重合.

【答案】（1），且；（2）；（3）；（4）

【分析】利用两直线相交、平行、垂直、重合的结论一一求解．

【详解】（1）当和相交时，．

令，得，解得或．

所以当，且时，和相交．

（2）当时，，解得．所以当时，．

（3）因为时，不平行于，所以，所以，且，解得．

（4）因为时，与不重合，所以当与重合时，有且，解得．

【点睛】本题考查了两直线结论---（1）直线：与直线重合．

（2）直线：与直线平行．

（3）直线：与直线垂直

（4）直线：与直线相交

18．解答下列问题．

(1)求经过点且与相切的直线的方程；

(2)求经过点且与圆相切的直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）分析可知点在圆上，根据切线性质运算求解；

（2）分析可知点在圆外，分类讨论斜率是否存在，结合切线性质运算求解.

【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径，

因为，即点在圆上，

且，可知切线的斜率，

所以切线的方程为，即.

（2）由题意可知：圆的圆心为，半径，

因为，即点在圆外，

当直线斜率不存在时，则直线方程为，

此时圆心到直线的距离，

即直线与圆相切，符合题意；

当直线斜率存在时，设为，

则直线方程为，即，

可得，解答，

所以直线方程为；

综上所述：切线方程为或.

19．在相距2000m的两个观察站A，B先后听到远处传来的爆炸声，已知A站听到的时间比B站早4s，声速是340m/s．建立适当的平面直角坐标系，判断爆炸点可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程．

【答案】爆炸点在以为焦点的双曲线上（左半支），轨迹方程为

【分析】根据题意结合双曲线的定义与方程分析求解.

【详解】如图，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，

设爆炸点为，

由题意可得：，

所以爆炸点在以为焦点的双曲线上（左半支），

设双曲线的焦距为，实轴长为，虚轴长为，

可得，则，

所以爆炸点的轨迹方程为.

20．已知离心率的椭圆C：的一个焦点为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，且，求直线l的方程．

(3)设M是椭圆C上的点，，为椭圆的焦点，，求的面积．

【答案】(1)

(2)直线方程或.

(3)

【分析】（1）根据焦点坐标和离心率即可解出椭圆方程；

（2）设直线方程为，联立椭圆方程再利用弦长公式即可求出直线方程；

（3）利用椭圆定义结合余弦定理和三角形面积公式即可得到答案.

【详解】（1）由题知，，

椭圆.

（2）设直线方程为，点，，

由方程组，

化简得：，

，可得.

，

，解得，

直线方程或.

（3）由题意得，设，

则根据椭圆定义知，

在中利用余弦定理知，

即，

解得，所以.

21．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线：．

(1)求出双曲线的渐近线方程；

(2)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；

(3)设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：．

【答案】(1)

(2)

(3)证明见详解

【分析】（1）根据双曲线方程可得，且焦点在x轴上，进而可求渐近线方程；

（2）根据对称性不妨令过且与渐近线的平行的直线方程为，联立方程求交点坐标，进而可求结果；

（3）设直线l的方程为，根据切线可得，利用韦达定理结合数量积的坐标运算分析证明.

【详解】（1）由双曲线：，即，

可知，且焦点在x轴上，

所以渐近线方程为，即.

（2）由（1）可知：的左顶点为，

不妨令过且与渐近线的平行的直线方程为，

联立方程，解答，

即直线与的交点坐标为，

所以围成的三角形的面积.

（3）圆的圆心为，半径，

设直线l的方程为，即，且，

则，可得，即，

联立方程，消去y可得，

可得，且，

又因为，

则，

所以，即.

【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法

在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．