2024届四川省江油市太白中学高三上学期9月月考数学（理）试题含解析

这是一份2024届四川省江油市太白中学高三上学期9月月考数学（理）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先解不等式求出集合，，再根据交集的定义求解即可．
【详解】解：由即解得，则，
由解得，则，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，考查指数不等式的解法，属于基础题．
2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合奇函数的判断与增函数的定义，一一判断即可.
【详解】对于选项，，结合图象可得此函数既是奇函数又是单调增函数，满足题意；
对于选项B，是单调减函数，不符合题意；
对于选项C，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；
对于选项D，在定义域内不具有单调性，不符合题意.
故选：A.
3．下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】利用特殊值法可判断ABC选项，利用对数函数的单调性可判断D选项.
【详解】当，时，，则A错误.
当，时，，则B错误.
当，时，，则C错误.
由，得，则D正确.
故选：D.
4．已知||＝3，如果在上的投影是，那么为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】由题得＝﹣，化简即得解.
【详解】依题意得＝﹣，
∴＝﹣×3＝﹣.
故选：A．
【点睛】本题主要考查向量的投影，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
5．函数的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用排除法，结合函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.
【详解】因为定义域为，
且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故B，D都不正确；
对于C，时，，，
所以，所以，故C不正确；
对于选项A，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故A正确．
故选：A.
6．已知集合，那么“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
【答案】A
【分析】根据已知条件，求得命题存在，使得成立的充要条件，再根据充分必要条件的定义进行判断即可．
【详解】解：，，，，，
设，则，，
，，
，
是，的充分不必要条件，
故选：．
7．核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，那么该样本的扩增效率约为（ ）
(参考数据：，)
A．0.369B．0.415C．0.585D．0.631
【答案】C
【分析】由题意，代入，解方程即可.
【详解】由题意知，，
即，
所以，解得.
故选：C.
8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弧田面积为，且弦是矢的倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据弧田面积可求得，利用勾股定理可构造方程求得半径，并根据长度关系得到圆心角弧度数，利用扇形弧长公式可求得结果.
【详解】如图，

由题意得：，
弧田面积，解得：.
设圆半径为，则有，即，解得：，
，则在中，，，
所求弧长为.
故选：D.
9．已知定义在上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及导数等知识确定正确答案.
【详解】的定义域是，所以是奇函数.
当时，，
所以在上单调递增.，
由于，
所以，即.
故选：B
10．当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
11．已知，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由解析式及指对数的性质分析分段函数的性质，求函数时对应值，应用数形结合法判断零点个数.
【详解】由题设，当时且递减，当时且递减，
令，则，可得或，如下图示：

由图知：时有一个零点，时有两个零点，故共有3个零点.
故选：C
12．若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于的零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意得，，则，即是，从而同构函数，，利用的单调性得到，代入求解即可.
【详解】依题意得，
，即，，
，即，，
，
，

又，
同构函数：，，
则，
又，
，，，又，
，单调递增，
，
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：
（1）函数零点即为函数的取值；
（2）对的两个方程合理的变形，达到形式同一，进而同构函数，，其中应注意定义域；
（3）运用导数研究函数的单调性，进而确定；
（4）求解的值时，将替换后应注意分子的取值.
二、填空题
13．已知指数函数的图像经过点，则 ．
【答案】/0.5
【分析】设出指数函数解析式，根据条件求出解析式，然后再计算的值.
【详解】设（，且），由于其图像经过点 ，
所以，解得或（舍去），
因此，故 .
故答案为：.
14．若实数x，y满足约束条件则的最小值是 .
【答案】2
【分析】作出可行域，再将目标函数对应的直线进行平移，数形结合即可得出最值．
【详解】作出可行域，如下图：
将直线进行平移，观察直线在轴上的截距变化，
可知当直线经过点A时，直线在轴上的截距最小，此时目标函数取到最小值，
联立，解得，可得点，
即.
故答案为：2
15．函数的定义域为R，且，，若函数的图象关于对称，且，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，得到为偶函数，进而求得，得到，得出函数是周期为的周期函数，结合，即可求解.
【详解】由，
令，代入上式可得，即，
又函数的图象关于对称，可得的图象关于轴对称，
即函数为偶函数，所以，
联立，可得，
所以恒成立，所以函数是周期为的周期函数，
因为，所以.
故答案为：.
16．已知函数，函数，则下列结论正确的是 ．
①若有3个不同的零点，则a的取值范围是
②若有4个不同的零点，则a的取值范围是
③若有4个不同的零点，则
④若有4个不同的零点，则的取值范围是
【答案】②③④
【分析】根据题意，将问题转化为函数与图像的交点个数问题，进而数形结合求解即可得答案．
【详解】令，得，
即所以零点个数为函数与图像的交点个数，
作出函数图像如图，

由图可知，有3个不同的零点，
则的取值范围是，，故①错误；
有4个不同的零点，则的取值范围是，故②正确；
有4个不同的零点，，，，
此时，关于直线对称，所以，故③正确；
由③可知，所以，
由于有4个不同的零点，的取值范围是，
故，
所以，故④选项正确．
故答案为：②③④．
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将问题转化为函数与图像的交点个数问题，数形结合得出答案，考查等价转化的思想.
三、解答题
17．已知是第四象限角，.
(1)化简；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简求得.
（2）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】（1）
.
（2），即，
又是第四象限角，，
.
18．已知是定义在上的偶函数，且时，.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）当时，可将代入解析式，结合偶函数定义可得此时的解析式，由此可得解析式；
（2）由复合函数单调性判断方法判断函数在上的单调性，结合偶函数性质利用单调性化简不等式求得结果.
【详解】（1）因为是定义在上的偶函数，
所以，
令，则
时，，
则.
（2）因为时，，
又函数，由函数，与函数，复合而成，
函数在上单调递增，
函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
故函数在上单调递减，
是定义在上的偶函数，所以，
所以不等式，可化为
，
或.
19．受新冠疫情影响全球海运受到极大影响，为此各相关企业在积极拓展市场的同时，也积极进行企业内部细化管理，某集装箱码头在货物装卸与运输上进行大力改进，改进后单次装箱的成本单位：万元与货物量（单位：吨）满足函数关系式，单次装箱收入单位：万元与货物量的函数关系式已知单次装箱的利润，且当时，．
(1)求的值；
(2)当单次装箱货物为多少吨时，单次装箱利润可以达到最大，并求出最大值．
【答案】(1)
(2)每日产量为吨时，日利润最大万元
【分析】（1）先求得每日利润与日产量的函数关系式，然后根据时，求得.
（2）利用函数的单调性和基本不等式求得利润的最大值.
【详解】（1）由题意得，每日利润与日产量的函数关系式为:
，
当时，，即：，
解得.
（2）当时，为单调递减函数，
故当时，的最大值为，
当时，，
当且仅当，
即时，的最大值为，
综合上述情况，当每日产量为吨时，日利润最大万元.
20．已知函数，当时，有极大值，且.
(1)求函数的解析式；
(2)在（1）的条件下，讨论函数在上的最大值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，可求得，再结合，即可求解；
（2）分、和三种情况结合单调性讨论即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
因为时，有极大值
所以：，即，即.
当时，，
令，即；令，即或，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调
递增，
故在处取得极大值，符合题目条件.
又，所以，
所以.
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
①当时，函数在上单调递增，；
②当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以；
③当是，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以，
综上所述，当或时，；
当时，.
21．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)存在满足题意，理由见解析.
(3).
【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可；
(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
函数在处的切线方程为，
即.
（2）令，
函数的定义域满足，即函数的定义域为，
定义域关于直线对称，由题意可得，
由对称性可知，
取可得，
即，则，解得，
经检验满足题意，故.
即存在满足题意.
（3）由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故，即(取等条件为)，
所以，
，且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线交于两点，当时，求直线的普通方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式求解即可；
（2）根据题意，结合直线参数方程的几何意义及弦长公式求解得直线的倾斜角，再求普通方程即可.
【详解】（1）解：由得，
因为，
所以，即.
（2）解：将（为参数，代入，
整理得．
设所对应的参数分别为，，
则，．
所以，
解得，所以或，
故直线的参数方程为（为参数）或（为参数），
所以直线的直角坐标方程为或
23．函数，设恒成立时m的最大值为n．
(1)求n的值；
(2)若a，b，c为正数，且满足，证明：．
【答案】(1)4
(2)证明见解析
【分析】（1）零点分段讨论，去掉绝对值，通过单调性得最小值解决恒成立问题，可求n的值；
（2）利用柯西不等式证明结论.
【详解】（1），
，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，由恒成立，则有，得.
（2）由（1）可知
若a，b，c为正数，由柯西不等式，
得，当且仅当时等号成立，
由，有，所以.