2022-2023学年河南省南阳市唐河县唐河县第一高级中学高二下学期3月月考数学试题含答案

2022-2023学年河南省南阳市唐河县唐河县第一高级中学高二下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．已知数列，，，，…，则是这个数列的

A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项

【答案】B

【分析】将数列中的每一项都写成，即可判断是第几项.

【详解】可将数列改写为，，，，... ，

由此可归纳该数列的通项公式为，

又，则其为该数列的第9项.

故选：B.

【点睛】本题考查了由数列的前几项归纳出其通项公式，属于基础题.

2．在一次独立性检验中，得出2×2列联表如下：

且最后发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的可能值是（    ）

A．200 B．720 C．100 D．180

【答案】B

【分析】把列联表中所给的数据代入求的公式，建立不等式，代入验证可知a的可能值.

【详解】两个分类变量A和B没有任何关系，

，

代入选项验证可知满足条件.

故选：B

3．已知数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断

【详解】根据题意，已知数列的通项公式为，

若数列为单调递增数列，则有

（），

所以，

因为，所以，

所以当时，数列为单调递增数列，

而当数列为单调递增数列时，不一定成立，

所以“”是“数列为单调递增数列”的充分而不必要条件，

故选：A

4．相关变量的样本数据如下表，

经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，下列说法正确的是（    ）

A．x增加1时，y一定增加2.3 B．变量x与y负相关

C．当y为6.3时，x一定是8 D．a=5.2

【答案】D

【分析】根据回归直线方程的几何意义判断A、B错误；令求解判断C，计算并代入回归直线方程中，求得a的值，判断D正确.

【详解】根据回归直线方程知，x增加1时，估计y增加，故A错误；

由知，，故变量x与y正相关，故B错误；

时，，解得，估计的值应为8，故C错误;

又，，

代入回归直线方程中，则，解得，故D正确.

故选：D

5．等差数列{an}中，已知，，则的前n项和的最小值为（    ）

A．S4 B．S5 C．S6 D．S7

【答案】C

【分析】由等差数列的性质将转化为，而，可知数列是递增数，从而可求得结果.

【详解】∵等差数列中，，

∴，即,又，

∴的前项和的最小值为．

故选：C

6．正项等比数列与正项等差数列，若，则与的关系是（    ）

A． B． C． D．以上都不正确

【答案】C

【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质可将已知等式化为，由此可得结果.

【详解】设等差数列公差为，则，

又，，

均为正项数列，.

故选：C

7．已知数列:,,,…, ,…,若，那么数

列的前项和为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：由题意得，数列的通项，

所以，所以数列的前项和

，故选B.

【解析】数列的求和.

【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到等差数列的前项和公式、数列的裂项求和的方法的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据等差数列的求和公式得到，进而得到的通项公式是解答的关键.

8．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（    ）

A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1

【答案】B

【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.

【详解】设等比数列的公比为，

由可得：，

所以，

因此.

故选：B.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.

9．设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S40＝（    ）

A．620 B．630 C．640 D．650

【答案】A

【分析】当n为奇数时，an+2﹣an＝3，可得数列{an}的奇数项构成等差数列，当n为偶数时，从而分奇偶项分别求和即可得出答案.

【详解】当n为奇数时，an+2﹣an＝3，

故数列{an}的奇数项构成以1为首项，3为公差的等差数列；

所以，

当n为偶数时，a2+a4＝3，a6+a8＝3，.......a38+a40＝3，

所以：a2+a4+a6+a8+...+a38+a40＝10×3＝30；

所以S40＝（a1+a3+a5+...+a39）+（a2+a4+a6+...+a40）＝590+30＝620.

故选：A.

10．已知数列，满足.若，的值是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】根据可知数列为等比数列，将代入后将其变形可知数列为等差数列，即可解得；将，代入即可解出答案.

【详解】因为.

所以数列为以1为首项，2为公比的等比数列.

所以.

，,

所以数列为以3为首项，为公差的等差数列.

所以.

.

故选：C.

【点睛】本题考查一阶线性递推公式的通项公式.属于难题.掌握常见的一阶线性递推公式的变形是解本题的关键..

11．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（    ）

A．2192 B． C． D．

【答案】D

【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出个月的还款金额.

【详解】由题意可知：每月还本金为2000元，

设张华第个月的还款金额为元，

则，

故选：D

12．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，表示数列的前n项和．则使不等式成立的最小正整数n的值是（提示）

A．11 B．10 C．9 D．8

【答案】C

【分析】先求出，再求出，，再利用裂项相消化简求出最小正整数n的值.

【详解】把代入），得，

故，

则，

则不等式成立，

代入计算可得，当不等式成立时．n的最小值为9．

故选C．

【点睛】本题主要考查数列通项的计算，考查等比数列的前n项和，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

二、填空题

13．已知1、、、9成等差数列，1、、、、9成等比数列，且、、、、都是实数，则        ．

【答案】

【分析】本题首先可根据等差数列的相关性质得出，然后根据等比数列的相关性质得出，最后通过计算即可得出结果．

【详解】因为1、、、9成等差数列，所以，

因为1、、、、9成等比数列，

所以且，，

所以，答案为

【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的相关性质，考查等差数列的定义以及等比中项，考查计算能力，体现了基础性，是简单题．

14．若等比数列的各项均为正数，且，则           .

【答案】2022

【分析】根据等比数列的性质化简得到，由对数的运算即可求解.

【详解】因为是等比数列，

所以，

即，

所以

故答案为：2022

15．已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是        ．

【答案】

【分析】分段函数型数列是递增数列，需要每段是递增函数，且分段端点满足后一项大于前一项，联立不等式解出实数即可.

【详解】数列是递增数列，

又，，且，解得或，故实数的取值范围是．

故答案为：．

16．设数列的前项和为，且.若存在正整数，使得不等式成立，则实数的取值范围是      .

【答案】

【分析】首先根据关系式转化为，并求得数列的通项公式，不等式转化为，判断数列的单调性，求得最大值，以及的取值范围.

【详解】由①，可得②.由②-①可得，即，由可得，，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，即，所以，设，则，当 ，即时，递增，当，即时，递减，故的最大值为.

若存在正整数，使得不等式成立，则

故，故实数的取值范围.

故答案为：

【点睛】本题考查数列与函数的综合应用、数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题型，本题的关键是根据与的关系求数列的通项公式.

三、解答题

17．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次

参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，

统计结果如下表所示．

若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成下面的2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为“环保关注者”与性别有关?

附表及公式：，

【答案】表格见解析，不能

【分析】按照表格即可得到列联表，再计算卡方值，对照表格即可得到答案.

【详解】由图中表格可得2×2列联表如下：

将2×2列联表中的数据代入公式计算得：

，

所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为是否为“环保关注者”与性别有关．

18．已知数列的首项，且满足．

(1)求证：数列为等差数列；

(2)若，求数列前n项和．

【答案】(1)证明见解析；

(2)，.

【分析】（1）由题设可得，利用等差数列的定义判断是否为等差数列即可.

（2）由（1）有，应用裂项相消法求即可.

【详解】（1）由题设，，则，

所以为常数，又，

∴是以1为首项，1为公差的等差数列．

（2）由（1）得：，所以，

所以， ，．

19．已知是等比数列，前n项和为，且.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【详解】试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由，解得，分别代入，得，；（Ⅱ）先根据等差中项得，再利用分组求和法求和：.

试题解析：（Ⅰ）解：设数列的公比为，由已知，有，解得.又由，知，所以，得，所以.

（Ⅱ）解：由题意，得，即是首项为，公差为的等差数列.

设数列的前项和为，则.

【解析】等差数列、等比数列及其前项和公式

【名师点睛】分组转化法求和的常见类型：

（1）若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．

（2）通项公式为的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．

20．已知数列{an}，{bn}满足，，，．

(1)求证：为等差数列，并求{an}通项公式；

(2)若，记前n项和为Tn，求Tn.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）由递推关系式可得，再由等差数列的定义及通项公式求解；

（2）根据累乘法求出，再由错位相减法求和.

【详解】（1）∵，，

两边同除以得：，

从而，又，

∴是首项为1，公差为1的等差数列，

∴，∴；

（2）由，，

∴，

∴，

∴，

∴，

．

两式相减得，，

∴

.

21．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：

并计算得．

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

附：相关系数．

【答案】(1)；

(2)

(3)

【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；

（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．

【详解】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值

样本中10棵这种树木的材积量的平均值

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，

平均一棵的材积量为

（2）

则

（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，

可得，解之得．

则该林区这种树木的总材积量估计为

22．设数列的前项和为，且，

（1）证明：数列是等比数列

（2）设，若数列是递增数列，求的取值范围

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）根据递推公式，得到，与原式两式作差整理，得到，再验证也满足该式，即可证明结论成立；

（2）先由（1）得到，根据其单调性，得到，讨论为奇数和为偶数两种情况，分别求解，即可得出结果.

【详解】（1）证明：因为，所以，

所以，即，则，

即，

当时，，所以，因此满足上式；

故数列是以为首项，为公比的等比数列；

（2）由（1）可得，则，

因此，

所以，

则，

因为数列是递增数列，所以，

即，

当为奇数时，，即，

易知单调递减，所以，

因此只需；

当为偶数时，，即

易知单调递增，所以

所以只需；

综上，的取值范围为.

【点睛】思路点睛：

已知数列单调性求参数时，一般需要根据数列单调性，列出对应的不等式（若数列单调递增，则；若数列单调递减，则），再利用分离参数的方法，即可求解.