2022-2023学年河南省南阳市第一中学校高二下学期7月月考数学试题含答案

2022-2023学年河南省南阳市第一中学校高二下学期7月月考数学试题

一、单选题

1．设数集，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时， M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是，故选C．

【解析】新定义；集合运算

2．已知为锐角，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由求出，从而可求得，然后再利用正切的二倍角公式求出，再利用两角差的正切公式可求得结果.

【详解】因为为锐角，所以.

由可得，

则，

又，

故

，

故选：A.

3．已知向量，且，则实数=

A． B．0 C．3 D．

【答案】C

【详解】试题分析：由题意得，，因为，所以，解得，故选C.

【解析】向量的坐标运算.

4．若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（    ）

A．1 B． C．i D．

【答案】C

【分析】由题意求得，利用复数除法即可.

【详解】因为，且复数，在复平面内对应的点关于轴对称，

所以，

所以，

故选：C.

5．已知棱长为2的正方体，是过顶点圆上的一点，为中点，则与面所成角余弦值的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】确定P点轨迹，结合母线与平面位置关系确定最值取法，即可确定取值范围.

【详解】  

连结，交于点，连结,则面，为圆锥底面圆上一点，底面圆半径为为圆锥母线，

显然当母线与面平行时（即图中），母线与面所成角最小，即与面所成角最小为，此时与面所成角余弦值取最大值1，

当母线所在轴截面与面垂直时（即图中），母线与面所成角最大，即与面所成角最大为，此时与面所成角余弦值取最小值为

，∴与面所成角余弦值的取值范围是，

故选:C．

6．设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则的方程为

A．y=x-1或y=-x+1

B．y=（X-1）或y=（x-1）

C．y=（x-1）或y=（x-1）

D．y=（x-1）或y=（x-1）

【答案】C

【详解】设A(x1,y1),B(x2,y2),

又F(1,0),

则=(1-x1,-y1),=(x2-1,y2),

由题意知=3,

因此

即

又由A、B均在抛物线上知

解得

直线l的斜率为=±,

因此直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).

故选C.

7．若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（    ）

A．e B． C． D．

【答案】C

【分析】根据导数的几何意义得出实数k的值.

【详解】设直线与曲线相切于点，函数的导函数为，

则，解得.

故选：C

8．某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（    ）

A．30 B．14 C．33 D．90

【答案】D

【分析】根据备有6种素菜，5种荤菜，3种汤，则素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法，然后再利用分步计数原理求解

【详解】因为备有6种素菜，5种荤菜，3种汤，

所以素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法，

所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有种

故选：D

二、多选题

9．若正实数a，b满足则下列说法正确的是（    ）

A．ab有最大值  B．有最大值

C．有最小值2 D．有最大值

【答案】AB

【解析】对A,根据基本不等式求的最大值；

对B,对平方再利用基本不等式求最大值；

对C,根据再展开求解最小值；

对D,对平方再根据基本不等式求最值.

【详解】对A,,当且仅当时取等号.故A正确.

对B, ,故,当且仅当时取等号.故B正确.

对C, .当且仅当时取等号.所以有最小值4.故C错误.

对D, ,即,故有最小值.故D错误.

故选：AB

【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题.

10．在中，下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．存在满足

C．若，则为钝角三角形

D．若，则

【答案】ACD

【解析】A项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；

B项，由和余弦函数在递减可判断；

C项，显然，分和两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；

D项，根据和正弦函数的单调性得出和，再由放缩法可判断.

【详解】解：对于A选项，若，则，则，即，故A选项正确；

对于B选项，由，则，且，在上递减，于是，即，故B选项错误﹔

对于C选项，由，得，在上递减，

此时：若，则，则，于是；

若，则，则，

于是，故C选项正确；

对于D选项，由，则，则，在递增，于是， 即，同理，

此时，

所以D选项正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.

11．如图，在正方体中，点E在棱上，且是线段上一动点，则下列结论正确的有（    ）

A．

B．存在一点F使得

C．三棱锥的体积与点F的位置无关

D．直线与平面所成角的正弦值的最小值为

【答案】ABC

【分析】连接，推出，判断A；在上取一点，使得，连接，转化证明，判断B；设，通过三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，推出三棱锥的体积与正方体的棱长有关，与点的位置无关，判断C；建立如图所示的空间直角坐标系，用夹角向量坐标公式即可判断D．

【详解】如图，连接.易证平面，则，故A正确；

在上取一点H，使得，连接，

易证四边形为平行四边形，则，若，

易证四边形为平行四边形，则，

从而，故四边形为平行四边形，

于是，故B正确；

设，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，

则，

即三棱锥的体积与正方体的棱长有关，与点F的位置无关，故C正确；

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，

从而，，

设平面的法向量，

则令，得，

从而，

即直线与平面所成角的正弦值为，

因为，所以，

所以，故D错误．

故选：ABC

【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：

（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；

（2）、用空间向量坐标公式求解.

12．已知函数，，是其导函数，恒有，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据题意，构造函数，，然后求导得到其单调性，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】因为，所以，又，

所以．构造函数，，

则，所以在上为增函数，因为，

所以，所以，即，故A正确；

因为，所以，所以，即，故B错误；

因为，所以，所以，即，故C错误；

因为，所以，所以，即，故D正确.

故选：AD．

三、填空题

13．函数的图象恒过定点             .

【答案】（1,3）

【分析】根据指数函数的性质，即可得答案.

【详解】令，可得，

所以，即图象恒过定点（1,3）.

故答案为：（1,3）

14．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，．若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为          ．

【答案】36π

【详解】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB===，

故R=3，则球O的表面积为4πR2=36π，

故答案为36π．

15．若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，且，则=      .

【答案】6

【分析】将截距式方程化为斜截式方程和一般式方程再对比即可求解.

【详解】由，得，得，

∴，，即，解得或.

∵，∴，，∴.

故答案为：6.

16．已知双曲线，的两个焦点分别为，，过轴上方的焦点的直线与双曲线上支交于，两点，以为直径的圆经过点，若，，成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为      .

【答案】

【分析】首先根据双曲线的概念结合题意得到，设，结合勾股定理得到，，从而得到，再求离心率即可.

【详解】如图所示：

由双曲线的定义，，

所以.

因为，，成等差数列，

所以，即，.

令，在中，，

所以，即，

解得，即，，

又在中，，，

又，所以，即，.

故答案为：

四、解答题

17．已知数列为等差数列，其前n项和为，且，，数列.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及求和公式，建立方程组，可得答案；

（2）利用分组求和方法，可得答案.

【详解】（1）数列为等差数列，其前n项和为，且，，

设数列的首项为，公差为d，则，

解得，，所以.

（2）数列.

当时，，所以.

当时，，所以

，

18．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；

（2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值.

【详解】（1）证明：

在正方形中，，因为平面，平面，

所以平面，又因为平面，平面平面，

所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以

因为，所以平面．

（2）［方法一］【最优解】：通性通法

因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：

因为，设，

设，则有，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，所以平面的一个法向量为，则

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.

［方法二］：定义法

如图2，因为平面，，所以平面．

在平面中，设．

在平面中，过P点作，交于F，连接．

因为平面平面，所以．

又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，从而即为与平面所成角．

设，在中，易求．

由与相似，得，可得．

所以，当且仅当时等号成立．

［方法三］：等体积法

如图3，延长至G，使得，连接，，则，过G点作平面，交平面于M，连接，则即为所求．

设，在三棱锥中，．

在三棱锥中，．

由得，

解得，

当且仅当时等号成立．

在中，易求，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为．

【整体点评】（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为平面的法向量与向量的夹角的余弦值的绝对值，即，再根据基本不等式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；

方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB与平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；

方法三：巧妙利用，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．

19．为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

(1)求a的值；

(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数；

(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在与内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）

参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．

【答案】(1)

(2)4093

(3)在内的教职工平均人数为1，在内的教职工平均人数2

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，计算即可得答案.

（2）先求得平均数，可得值，根据值，结合所给公式及数据，代入计算，可得的值，根据总人数，即可得答案.

（3）根据分层抽样，可得内的人数分别为2，3，设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为X，可得X所有取值，进而可得各个取值对应的概率，即可求得期望，进而可得内人数的期望值，即可得答案

【详解】（1）由题意得，

解得．

（2）由题意知样本的平均数为，

所以．

又，所以．

则，

所以估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为4093．

（3）对应的频率比为，即为2:3，

所以抽取的5人中学习时间在内的人数分别为2，3，

设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为X，

则X的所有可能取值为0，1，2，

，，，

所以．

则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为1．

设从这5人中抽取的3人中学习时间在内的人数为Y，

则，

所以．

则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为2．

20．如图，已知圆心坐标为（，1）的圆M与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点．

（1）求圆M和圆N的方程；

（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度

【答案】（1），（2）

【详解】试题分析：（1）圆M的圆心已知，且其与x轴及直线分别相切于A，B两点，故半径易知，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线分别相切于C、D两点，由相似性易得其圆心坐标与半径，依定义写出两圆的方程即可；（2）本题研究的是直线与圆相交的问题，由于B点位置不特殊，故可以由对称性转化为求过A点且与线MN平行的线被圆截得弦的长度，下易解

试题解析：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半

径，则M在∠BOA的平分线上，  

同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA  

的平分线，  

∵M的坐标为（，1），∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1，

则⊙M的方程为，

设⊙N的半径为r，其与x轴的切点为C，连接MA，NC，  

由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，  

即得r=3，

则OC=，则⊙N的方程为；

（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙N截得的弦的长度，

此弦的方程是，即：x﹣﹣=0，

圆心N到该直线的距离d=，则弦长=2．

【解析】直线与圆的位置关系以及直线与圆相交的性质

21．某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路，余下的外围是抛物线的一段，的中垂线恰是该抛物线的对称轴，是的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形区域种植草坪，其中均在该抛物线上.经测量，直路段长为60米，抛物线的顶点到直路的距离为40米.以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.

(1)求该段抛物线的方程；

(2)当长为多少米时，等腰梯形草坪的面积最大？

【答案】(1)

(2)20米

【分析】(1)，把两点坐标代入求解即可；

(2)，由梯形的面积公式，可得梯形的面积为，构造函数，求导可知当时，该函数有唯一的极大值点，则改点也是函数的最大值点，即可求解.

【详解】（1）设该抛物线的方程为，由条件知，，

所以，解得，

故该段抛物线的方程为.

（2）由（1）可设，所以梯形的面积，

设，

则，令，解得，

当时，在上是增函数；

当时，在上是减函数.

所以当时，取得极大值，也是最大值.

故当长为20米时，等腰梯形草坪的面积最大.

22．已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，点.

（1）求的最小值，并求出取最小值时点的坐标；

（2）求点到点的距离与到直线的距离之和的最小值.

【答案】（1），；（2）2.

【分析】(1)根据抛物线定义，转化为点A到准线距离即为所求最小值，再求出点P坐标即得；

(2)根据抛物线定义，转化为点B到焦点距离即为所求最小值即可作答.

【详解】（1）将代入得，而，即点A在抛物线内部，

过点作垂直于抛物线的准线于点，由抛物线的定义，知，

当，，三点共线时，取得最小值，即的最小值为，

此时点的纵坐标为2，代入，得，即点的坐标为，

所以的最小值为，点的坐标为；

（2）显然点在抛物线外部，设抛物线上点到准线的距离为，

由抛物线的定义，得，当，，三点共线(在线段上)时取等号，

又，，

所以所求最小值为2.