河南省南阳市第一中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题

南阳一中2023年春期高二年级第二次月考

数学学科试题

命题人：吴家宝1-16   徐香丽17-22

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气．在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如下图所示．则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（    ）

A．    B．    C．    D．

2．曲线在点处的切线方程为（    ）

A．    B．    C．    D．

3．已知等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．33    B．66    C．22    D．44

4．某同学在研究变量之间的相关关系时，得到以下数据：并采用最小二乘法得到了线性回归方程，则（    ）

A．    B．    C．    D．

5．已知数列为递减的等比数列，，且，则的公比为（    ）

A．    B．    C．    D．2

6．已知为等差数列，公差为黄金分割比（约等于0.618），前项和为，则（    ）

A．    B．    C．16    D．4

7．若数列满足：，且，则数列的前5项和为（    ）

A．7    B．10    C．19    D．22

8．对于正项数列中，定义：为数列的“匀称值”已知数列的“匀称值”为，则该数列中的（    ）

A．    B．    C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（    ）

A．        B．时，的最小值为2022

C．有最大值    D．时，的最大值为4043

10．设数列的前项和为，已知，则（    ）

A．                         B．

C．数列是等比数列             D．数列是等比数列

11．已知数列满足，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，数列是等比数列    B．当时，数列是等差数列

C．当时，                D．当时，数列存在最大值

12．设数列的前项和为，且，则（    ）

A．数列是等比数列               B．

C．     D．的前项和为

三、填空题（每题5分，共20分）

13．已知函数是它的导函数，则_______．

14．若是等比数列，则实数_______．

15．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则_______．

16．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日暑长为13.5尺，芒种日暑长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的日暑长的和为_____尺．

三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）设是等差数列，前项和为是各项均为正的等比数列，其前项和为，已知．

（1）求和；

（2）若，求正整数的值．

18．（12分）已知数列的前项和为．数列为等比数列，且，分别为数列第一项和第二项．

（1）求数列与数列的通项公式；

（2）若数列，求数列的前项和．

19．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：

（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程并预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；

（Ⅱ）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：

能否据此判断有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关?

参考公式：

（其中）

20．（12分）已知数列的前项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

21．（12分）在购买住房、轿车等商品时，一次性付款可能会超出一些买主的支付能力，贷款消费不失为一种可行的选择，但是也要量入为出，理智消费．某家庭计划在2021年元旦从某银行贷款10万元购置一辆轿车，贷款时间为18个月．该银行现提供了两种可选择的还款方案：方案一是以月利率的复利计息，每月底还款，每次还款金额相同；方案二是以季度利率的复利计息，每季度末还款，每次还款金额相同．（注：复利是指把前一期的利息与本金之和作为本金，再计算下一期的利息．）

（1）分别计算选择方案一、方案二时，该家庭每次还款金额为多少万元?（结果精确到小数点后三位，参考数据：．）

（2）从每季度还款金额较少的角度看，该家庭应选择哪种方案?说明理由．

22．（12分）已知数列对于任意的均有；数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）令为数列的前项和，且恒成立，求的最大值．

南阳一中2023年春期高二年级第二次月考数学学科答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．【答案】C

【详解】解：如图分别令所对应的点为A、，由图可知，所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；

2．【答案】A【详解】，故切点为，，即切线的斜率为3，所以切线方程为，即．故选：A

3．【答案】A由题意知：，则，则．

4．【答案】D画散点图即可

5．【答案】A为递减的等比数列，，解得：（舍）或，

的公比．

6．【答案】解：设的公差为，则

7．【答案】D根据题意：，故前5项和为．

8．【答案】D【详解】，即，故；两式相减得，所以．故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9．【答案】CD对于：由可得，故等差数列的公差，故A错误；对于B：由A得，数列为单调递减数列，且，故时，的最小值为2023，故B错误；对C：由A得，，故是关于的开口向下的二次函数，其有最大值，没有最小值，故C正确；对于D：因为数列的前2022项均为正数，且时，的最大值为4043，故D正确

10．【答案】ABD【详解】对于A，，所以，A正确；对于B，因为，所以，所以，所以，于是，B正确；对于C，，但不满足，故不是等比数列，C错误；对于D，因为，所以，即是首项为1，公比为4的等比数列，D正确．故选：ABD．

11【答案】ACD对选项A，当时，，又，所以是首项为，公比为的等比数列，故A正确；对选项B，当时，，即，所以数列是等差数列，故B错误；

对选项C，当时，，所以是等差数列，又，所以，所以，故C正确；对选项D，当时，，，所以最大值是，故D正确．故选：ACD．

12．【答案】AD由已知，当时，可得

选项A，，可得数列是为公比的等比数列，故A正确；选项B，由选项A可得解得，故B错误；选项C，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以，故C错误；选项D，

因为，故D正确．

三、填空题（每题5分，共20分）

13．【答案】由题意知，故．

14．【答案】【解】是等比数列，．

解得：．又，则．故答案为：

15．【答案】【详解】两个等差数列和的前项和分别为和，且，故设，则，，所以，故答案为：

16．【答案】84依题意，冬至日晷长为13.5尺，记为，芒种日晷长为2.5尺，记为，因相邻两个节气的日晷长变化量相同，则从冬至日晷长到芒种日晷长的各数据依次排成一列得等差数列，数列的公差，因夏至与芒种相邻，且夏至日晷长最短，则夏至的日晷长为，又大雪与冬至相邻，且冬至日晷长最长，则大雪的日晷长为，显然夏至到大雪的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首项为1.5尺，末项为12.5尺，共12项，所以一年中夏至到大雪的日晷长的和为（尺）．故答案为：84

四、解答题：本题共6小题，共70分。

17．（10分）【解】（1）设等比数列的公比为，由，可得，

．又设等差数列的公差为，由，可得；由，可得．（2），由有，解得或（舍），故的值为4．

18．（12分）【解】（1）由题意，数列的前项和为，当时，，当时，，当时也满足上式．所以数列的通项公式为．设数列的首项为，公比为，则．（2）

19．（12分）【详解】（Ⅰ）利用所给数据，计算

与之间的回归直线方程；当时，，

即预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员有66人；

（Ⅱ）由列联表中数据，计算，由此能判断有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关．

20．（12分）【答案】（1）；

（2）

【详解】（1），当时，，两式相减得：当时，，不符合上式，所以

（2）令，所以，所以，

②，所以①-②：

则，化简可得，故，

21．【解】（1）若选择方案一，设该家庭每月应还款万元，则

即，解得（万元），

若选择方案二，设该家庭每季度应还款万元，则有

即，解得（万元），

（2）因为，所以该家庭应选择第一种方案．

22．（12分）【解】（1）因为①，当时，；

当时，②．，①-②可得

，所以时．经检验，符合上式，所以．

对于，由题意可得，当，所以时，，

则，即，因为，所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．

（2）由①可得，所以，则恒成立，

等价于，化简得，即即可．令，若，则，即时，数列单调递增；又因为，所以，即，可得的最大值为10．