2022-2023学年甘肃省武威市天祝藏族自治县第一中学高二下学期第二次月考数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省武威市天祝藏族自治县第一中学高二下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．函数的导函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数的四则运算和基本初等函数的导数，即可求解.

【详解】由题意，根据导数的四则运算可知：

函数的导数为.

故选：A

2．对两个变量进行线性相关性检验，得线性相关系数，对两个变量进行线性相关性检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是（    ）

A．变量与变量正相关，变量与变量负相关，变量与变量的线性相关性更强

B．变量与变量负相关，变量与变量正相关，变量与变量的线性相关性更强

C．变量与变量正相关，变量与变量负相关，变量与变量的线性相关性更强

D．变量与变量负相关，变量与变量正相关，变量与变量的线性相关性更强

【答案】B

【分析】根据相关系数的符号的正负决定两个变量的正相关、负相关，以及相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，进而可得出结论.

【详解】由线性相关系数知与负相关，

由线性相关系数知与正相关，

又，所以变量与变量的线性相关性比变量与变量的线性相关性更强．

故选：B．

3．已知随机变量X服从两点分布，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，则，根据题意即可求解.

【详解】令，则，

因为，所以，解得.

故选：C

4．已知向量，（），且，则的值为（    ）

A．－2 B．2 C．－1 D．1

【答案】C

【分析】根据向量平行列出方程组，求出，从而求出的值.

【详解】因为，则，解得:，，故.

故选：C.

5．在如图所示的散点图中，若去掉点，则下列说法正确的是（    ）

A．样本相关系数变大

B．变量与变量的相关程度变弱

C．变量与变量呈正相关

D．变量与变量的相关程度变强

【答案】D

【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可.

【详解】由散点图知，自变量与因变量呈负相关，即，故C错误；

去掉点后，进一步接近1，所以变小，故A错误；

去掉点后，与的线性相关加强，即相关程度变强，故B错误，D正确．

故选：D．

6．琴棋书画是中国古代四大艺术，源远流长，琴棋书画之棋，指的就是围棋．已知甲、乙两人进行五局围棋比赛，甲每局获胜的概率都是，且各局的胜负相互独立，设甲获胜的局数为，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】由于甲每局获胜的概率都是，且各局的胜负相互独立，可知该试验是独立重复试验，服从二项分布，利用二项分布的方差计算公式即可求解.

【详解】因为甲每局获胜的概率都是，且各局的胜负相互独立，

所以甲获胜的局数，

则．

故选：C．

7．工厂质量监控小组从一批面粉中抽取袋测量重量，已知每袋面粉的重量（单位：千克）服从正态分布，若，则的最小值为（    ）

参考数据：若，则．

A．120 B．144 C．150 D．160

【答案】B

【分析】根据正态分布的性质及三段区间的概率计算即可.

【详解】由题意知当时，，又，所以，解得，所以的最小值为144．

故选：B．

8．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据条件中的三个数，构成函数，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性，比较函数值的大小，即可判断选项.

【详解】构造函数，，

当时，，单调递增，

所以，即．

故选：B．

二、多选题

9．设函数，都是单调函数，其导函数分别为，，令，则下列说法中一定正确的是（    ）

A．若，，则单调递增 B．若，，则单调递增

C．若，，则单调递减 D．若，，则单调递减

【答案】AD

【分析】对于AD，根据导数与单调性的关系分析判断即可，对于BC，举例判断.

【详解】，若，则单调递增，故A正确；

若，则单调递减，故D正确；

取，则满足，，显然是常函数，不单调递增，故B不一定正确；

取，，则满足，显然是常函数，不单调递减，故C不一定正确．

故选：AD．

10．如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　）

A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上

C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上

【答案】BCD

【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解

【详解】当时，，所以，

则，即P在棱上，故A错误；

同理当时，则，故P在棱上，故B正确；

当时，，所以，即，

故点P在线段上，故C正确；

当时，，故点在线段上，故D正确．

故选：BCD．

11．盒中有形状、大小都相同的7枚棋子（黑色4枚，白色3枚），现从中一次性任意取出3枚棋子，记事件：“3枚棋子中至少有一枚是白色”，事件：“3枚棋子中至少有一枚是黑色”，事件：“3枚棋子的颜色相同”，则（    ）

A．事件与事件不是互斥事件 B．

C．事件与事件相互独立 D．

【答案】AD

【分析】根据互斥事件定义可判断A；求出可判断B；计算出判断与是否相等可判断C；计算出可判断D．

【详解】对于A，事件与事件可以同时发生，所以不是互斥事件，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，，

所以，事件与事件不相互独立，故C错误；

对于D，，故D正确．

故选：AD．

12．已知空间中不共面的四点，，，，则（    ）

A．直线与所成角的余弦值是 B．二面角的正弦值是

C．点D到平面的距离是 D．四面体的体积是

【答案】ACD

【分析】根据给定条件，利用空间向量求出线线角、面面角、点到平面的距离判断A，B，C，再求出四面体的体积判断D作答.

【详解】依题意，，，，

所以直线与所成角的余弦值是，A正确；

，令是平面的一个法向量，则，令，得，

令是平面的一个法向量，则，令，得，

则，二面角的正弦值是，B错误；

由选项B知，点D到平面的距离，C正确；

，则，

于是得的面积，

所以四面体的体积，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．某无人机小组有3名男生，2名女生，从中任选2名同学参加科技节无人机表演，若X表示选出女生的人数，则      .

【答案】/

【分析】由超几何分布概率公式运算即可得解.

【详解】由题意，从3名男生，2名女生中任选2名同学参加科技节无人机表演，

则选出女生的人数为1的概率.

故答案为：.

14．某工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的优质品率为70%，乙生产线的优质品率为65%，两条生产线的产品统一进入包装车间进行包装.已知甲、乙两条生产线的产品数分别占总数的60%，40%.质检部门从包装好的产品中任取一个，则取到优质品的概率是      .

【答案】/

【分析】根据全概率公式即可求解.

【详解】记任取一个产品为优质品为事件，

记产品由甲生产线生产为事件，产品由乙生产线生产为事件，

根据题意得，

因为，且互斥.

所以根据全概率公式可得，

.

故答案为：

15．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为      ．

【答案】

【分析】根据导数的性质，结合常变最分离法、反比例函数的单调性进行求解即可.

【详解】由题意得，，

则由题意可知在上，恒成立，即在上恒成立，

所以在上恒成立，

因为在上，，所以．

故答案为：

16．已知随机变量的分布列如下：

若随机变量满足，则      ．

【答案】

【分析】根据随机变量的分布列求得a，即可求得的期望，由方差公式求得，根据方差的性质即可求得答案.

【详解】由分布列的性质可知，所以，

所以，

故，

因为，所以，

故答案为：32

四、解答题

17．已知函数．

(1)求；

(2)求函数的图象在点处的切线方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导即可代入求解，

（2）根据切点处的导数值为斜率，即可由点斜式求解.

【详解】（1）对求导，得，

所以．

（2）由，得，

由，得，

所以函数的图象在点处的切线方程为，

即．

18．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.

(1)判断直线与平面的位置关系，并说明理由；

(2)求异面直线与所成角的余弦值.

【答案】(1)直线平面，理由见解析

(2)

【分析】（1）直线平面，取的中点，连接，，证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式计算可得结果.

【详解】（1）直线平面，证明如下：

取的中点，连接，，因为为的中点，所以，且，又为的中点，，，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以直线平面.

（2）因为，由已知得平面，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，

由，得，，，，.

设异面直线与所成的角为，则，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

19．盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性，只有打开才会知道自己抽到了什么.但有些经营者用盲盒清库存，损害消费者合法权益，扰乱市场.2022年7月26日，《上海市消费者权益保护条例》对盲盒等随机销售经营行为作出规范，明确经营者采取随机抽取的方式向消费者销售特定范围内商品或者提供服务的，应当按照规定以显著方式公示抽取规则、商品或者服务分布、提供数量、抽取概率等关键信息.现有一款盲盒套装，有5个不同的盲盒，其中有男孩卡通人物2个，女孩卡通人物3个，现从盲盒套装中随机取2个不同的盲盒.

(1)求取出的2个盲盒中，至少有1个男孩卡通人物的概率；

(2)在取出的2个盲盒中，女孩卡通人物的个数设为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率求出没有男孩卡通人物的概率，再利用对立事件概率公式求解作答.

（2）求出X的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.

【详解】（1）从盲盒套装中随机取2个不同的盲盒的试验有个基本事件，

其中至少有1个男孩卡通人物的事件，其对立事件有个基本事件，

所以至少有1个男孩卡通人物的概率.

（2）依题意，X的可能值为0，1，2，

，

所以随机变量X的分布列为

数学期望为.

20．如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是的中点，.

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明，根据面面垂直的性质定理证明⊥平面，再由面面垂直判定定理证明平面平面；

（2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角公式求直线与平面夹角.

【详解】（1）因为，点是的中点，所以，

又平面平面，平面平面，

平面，

所以⊥平面ABCD，又平面，

所以平面平面；

（2）取的中点，连结，

因为四边形为矩形，且，

所以四边形为正方形，，

以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，

则，

所以，

设平面的法向量，

则 有，即，

令，则，

所以平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，

则

直线与平面所成角正弦值为.

21．中医是中华民族的瑰宝，是中国古代人民智慧的结晶，中医离不开中药，中药主要包括植物药、动物药、矿物药．某植物药材的存放年份X的取值为3，4，，8，其中 为一等品，为二等品．已知中药厂按照两种方式出售此植物药材，精品药材（只含一等品）的售价为10元/株；混装药材（含一等品与二等品）的售价为6元/株．某药店需要购买一批此植物药材．

(1)已知中药厂库存中精品药材的年份X的分布列如下表所示，且X的数学期望，求X的方差；

(2)为分析中药厂库存中混装药材的年份Y，从混装药材中随机抽取20株，相应的年份组成一个样本，数据如下：3，5，3，3，8，5，5，6，3，4，6，3，4，7，5，3，4，8，4，7．用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求混装药材的年份Y的数学期望；

(3)在（1）（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪种药材更具可购买性？并说明理由．

注：①药材的“性价比”；②“性价比”大的药材更具可购买性．

【答案】(1)

(2)

(3)混装药材更具可购买性，理由见解析

【分析】（1）根据分布列的性质结合数学期望可求得，利用方差公式即可求得答案；

（2）根据已知数据可得Y的分布列，由期望公式即可求得答案.

（3）计算两种药材的性价比，比较大小，可得结论.

【详解】（1）由的分布列，得，即．

因为，所以，即．

由解得，

所以．

（2）由题意，可得年份的频数分布表为：

因此可得的概率分布列为

所以，

即混装药材的年份的数学期望为4.8．

（3）混装药材更具可购买性．

理由如下：因为精品药材的年份的数学期望为6.5，售价为10元/株，

所以其“性价比”为；

混装药材的年份的数学期望为4.8，售价为6元/株，所以其“性价比”为，

因为，所以混装药材更具可购买性．

22．已知函数.

(1)当时，求函数的极值；

(2)讨论的单调性.

【答案】(1)的极大值为，无极小值．

(2)见解析

【分析】（1）当时，，求导分析单调性，极值，即可得出答案．

（2）求导得，令，，分五种情况：当时，当时，当时，当时，当时，分析的符号，的单调性，即可得出答案．

【详解】（1）当时，，

，

令得，

所以当上，在单调递增，

在上，在单调递减，

所以当时，，无极小值．

（2），

令，，

当时，，

在上，，单调递增，

在上，，单调递减，

当时，令得或2，

若，即时，在上，，单调递增，

若，即时，在上，，单调递增，

在上，，单调递减，

在，上，，单调递增，

若，即时，在上，，单调递增，

在，上，，单调递减，

在上，，单调递增，

当时，令得或2，

在上，，单调递增，

在上，，单调递减，

综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减，

当时，在上单调递增，在上单调递减，在,上单调递增，

当时，在上单调递增，

当时，在上单调递增，在,上单调递减，在上单调递增．