甘肃省武威市天祝藏族自治县第一中学2023-2024学年高二上学期第一次月考（9月）数学试题

天祝一中2023~2024学年度高二第一学期第一次月考

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。

4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

5．本卷主要考查内容：湘教版必修第二册，选择性必修第一册第一章、第二章2.1~2.3。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则（    ）

A．1 B． C． D．

3．已知向量，满足，，，则（    ）

A．3 B．49 C．6 D．7

4．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．地区不同，制作的粽子形状也不同，图中的粽子接近于正三棱锥．经测算，煮熟的粽子的密度为，若图中粽子的底面边长为8 cm，高为，则该粽子的重量大约是（    ）

A．105g B．110g C．115g D．120g

5．甲、乙、丙、丁四位同学竞选数学科代表和化学科代表（每科科代表只能由一人担任，且同一个人不能任两科科代表），则甲、丙竞选成功的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数，则在上的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

7．如果，且，那么直线不通过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8．已知正项数列的前n项和为，且，则（    ）

A．4045 B．4042 C．4041 D．4040

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（    ）

A．数列的首项为1  B．

C．  D．数列的公比为

10．对于直线l：，下列说法错误的是（    ）

A．直线l经过点  B．直线l的倾斜角为60°

C．直线l与直线平行 D．直线l在x轴上的截距为

11．关于递减等比数列，下列说法正确的是（    ）

A．当时，  B．当时，

C．当时，  D．

12．设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（    ）

A．是等比数列  B．是等比数列

C．  D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是______人．

14．直线，的斜率，是关于a的方程的两根，若，则实数______．

15．使三条直线，，不能围成三角形的实数m的值为______．

16．已知为锐角，且，则______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（本小题满分10分）

求符合下列条件的直线l的方程：

（1）过点，且斜率为；

（2）过点，；

（3）过点且在两坐标轴上的截距相等．

18．（本小题满分12分）

已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为，且以，，为边长的三角形是直角三角形．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和．并证明：．

19．（本小题满分12分）

在中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求角C；

（2）若的面积为，，求a、b的值．

20．（本小题满分12分）

在平行四边形ABCD中，已知点，，．

（1）求点C的坐标；

（2）设线段BD的中点为E，直线l过E且垂直于CD，求l的方程．

21．（本小题满分12分）

已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前12项和．

22．（本小题满分12分）

某跨国企业到大陆一高新区投资144万美元建起一座电子元件加工厂，第一年各种经费24万美元，以后每年比上一年增加8万美元，每年销售电子元件收入100万美元，设表示前n年的纯利润（前n年的总收入前n年的总支出投资额）．

（1）从第几年开始获得纯利润？

（2）若五年后，该企业为开发新项目，决定出售该厂，现有两种方案：①年平均利润最大时，以96万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以32万美元出售该厂．问哪种方案较合算？

天祝一中2023~2024学年度高二第一学期第一次月考·数学

参考答案、提示及评分细则

1．D  ∵，∴其倾斜角为．故选D．

2．D  ，所以．故选D．

3．D  ．故选D．

4．C  由题知，粽子的体积（），根据可得，该粽子重量大约为（g），与C选项最为接近．故选C．

5．A  包括的基本事件为（甲，乙）、（乙，甲）、（甲，丙）、（丙，甲）、（甲，丁）、（丁，甲）、（乙，丙）、（丙，乙）、（乙，丁）、（丁，乙）、（丙，丁）、（丁，丙），共12个，甲、丙竞选成功包括的基本事件为（甲，丙）、（丙，甲），共2个．故甲、丙竞选成功的概率为．故选A．

6．B  当时，，所以当，即时，函数单调递增．

7．C

8．A  当时，，解得：．∵  ①，

∴当时，  ②，

①②得，，

∵，∴，∴，∴是首项为1，公差为2的等差数列，，．故选A．

9．BCD  设的公差为d，由，得，，不确定，A错误，B正确；∵，，∴，，，∴C正确，D正确．故选BCD．

10．BC  令，，故直线l经过点，A项正确；直线l的斜率为，倾斜角为120°，B项错误；直线的斜率为，在y轴上的截距为－3，直线l在y轴上的截距为－3，所以直线l与直线重合，故C项错误；令，则，D项正确．

11．AC  A．当，时，从第二项起，数列的每一项都小于前一项，所以数列递减，A正确；

B．当，时，为摆动数列，故B错误；

C．当，时，数列为递减数列，故C正确；

D．，当时，，此时，当时，，，故D错误．故选AC．

12．BC  ，，则是公差为1，首项为1的等差数列，，则．故B，C正确，A错误；

，，

两式相减得，故D错误．故选BC．

13．20  由题意，应抽取的女生人数是（人）．

14．－2  因为，而且斜率存在，所以，又，是关于k的方程的两根，，解得．

15．或或  当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形．若三条直线交于一点，由得交点坐标为，把代入到直线，得；若有两条直线平行或重合时，有两条直线的斜率相等，它们的斜率分别为－1，－m，1，所以或－1．综上，或或时，直线，，不能围成三角形．

16．  因为，，

所以，所以，即，

因为为锐角，所以，即．

17．解：（1）∵所求直线过点，且斜率为，∴，即；

（2）∵所求直线过，，

∴，∴，即；

（3）当直线过原点时，设直线方程为，

∵直线过P点，∴，直线方程为，即；

当直线不过原点时，设直线方程为，

将点代入上式，得，解得，

故直线的方程为，

综上，直线方程为或．

18．解：（1）因为数列是公差为2的等差数列，且以，，为边长的三角形是直角三角形，

所以，即，解得或（舍），所以；

（2）由（1）得，

所以，

故．

19．解：（1）由余弦定理有，因为，可得；

（2）由题意有，可得，又由，有，可得

有，联立方程，解得或

故，或，．

20．解：（1）因为，所以，所以直线CD的方程为，即．

又，所以，所以直线BC的方程为．

联立方程组，解得，即．

（2）设E的坐标为，则，，即．

由（1）知，所以l的斜率，l的方程为，即l：．

21．解：（1）由题意得：

当时，  ①，

当时，  ②，

由②得，即  ③，

把③代入①，得，

故，且，，

所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列．故；

（2）把①代入②，得，且，

所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，故，

于是

．

22．解：（1）由题意知，每年的经费构成了以24为首项，8为公差的等差数列，

则，

获得纯利润就是要求，即，解得．

又，故从第三年开始获得纯利润；

（2）①年平均利润为，

当且仅当时取等号，

故此方案获利（万美元），此时；

②，当时，．

故此方案共获利（万美元）．

比较两种方案，在获利相同的前提下，

第①种方案只需六年，第②种方案需要十年，故选择第①种方案．