2022-2023学年黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．集合，集合，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先解出，再求出的补集，最后利用交集的运算即可求解.

【详解】由可得，则，

那么.用区间可以表示为.

故选：B

2．“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】特称命题的否定是全称命题

【详解】因为特称命题的否定是全称命题

所以“，”的否定是“，”

故选：B

【点睛】本题考查的是命题的相关知识，较简单.

3．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】列出使得函数有意义的不等式，求解即可.

【详解】要使得函数有意义，则，且，

解得，且，即定义域为.

故选：C.

4．“”是“关于x的方程有实数解”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解出不等式，然后判断即可

【详解】因为关于x的方程有实数解

所以，即或

所以“”是“关于x的方程有实数解”的

充分不必要条件

故选：A

【点睛】本题考查的是充分条件、必要条件的判断，属于基础题.

5．已知函数是幂函数，且在上递减，则实数m=（    ）

A．2 B．1 C．4 D．2或1

【答案】A

【分析】由幂函数的定义可得或，再根据区间单调性及幂函数的性质确定的值.

【详解】由题意知：，即，解得或，

∴当时，，则在上 为常数，不合题意.

当时，，则在单调递减，符合题意.

∴.

故选：A

6．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据指数函数的单调性可确定，由此得到结果.

【详解】在上单调递增，，即；

在上单调递减，，即，

.

故选：A.

7．已知，则的值为（    ）

A．100 B．10 C． D．

【答案】A

【分析】根据分段函数解析式求解即可.

【详解】解：因为，

所以.

故选：A

8．函数的部分图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求函数的定义域，再利用定义判断函数的奇偶性，再判断当时，函数值的情况，判断选项即可.

【详解】令，

得函数的定义域为，

，

则为奇函数，

所以排除B C；

当，

则，

所以排除A；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了利用函数的性质判断函数的图像.属于较易题.

二、多选题

9．下列各组函数表示不同函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】ABD

【分析】根据相同函数：定义域和对应法则都相同，判断各选项中的函数是否同一函数即可.

【详解】A：，，不是同一函数；

B：，，不是同一函数；

C：，，同一函数；

D：，，不是同一函数；

故选：ABD.

10．若，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】对于AB，利用不等式的性质分析判断即可，对于CD，利用作差法分析判断

【详解】A 因为，，所以，，

若，则，所以，即故A正确；

B.若，则，所以，即，故B正确；

C.若，则，所以，即，故C不正确；

D.因为，，所以，又，则，

所以，即故D正确．

故选：ABD．

11．已知，不等式的解集是，下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．关于的不等式的解集是

D．如果，则

【答案】BCD

【解析】根据题意，结合二次函数图象与二次不等式的关系得，和是方程的实数根，进而得，再依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，的解集是，则，故A选项不正确；

对于B选项，由题意知是方程的实数根，故，故B选项正确；

对于C选项，由题意知和是方程的实数根，则由韦达定理得，，则不等式变为，即，解不等式得的取值范围为：，故C选项正确；

对于D选项，如果，则，故，则，故D选项正确.

故选：BCD.

【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，和是方程的实数根，进而讨论各选项即可得答案.

12．以下命题正确的是（    ）

A．,使

B．若函数在上单调递增,则正实数的取值范围是

C．若函数的定义域为,则函数的定义域为

D．函数单调递增区间为

【答案】BD

【分析】关于A,构造,判断单调性及函数在的范围,即可判断正误,关于B,分段函数单调性需要每一段单调及断点处依旧满足单调,列出等式解出范围,即可判断正误,关于C,的定义域也即是的范围,解出解集即可判断正误,关于D,复合函数单调性问题遵循同增异减,判断内外函数单调性即可判断正误.

【详解】解:由题知,关于选项A,不妨令,

单调递减,

,

,即,

,

,故选项A错误;

关于选项B,

在上单调递增,

,解得,故选项B正确;

关于选项C,

的定义域为,

则的定义域为,

解得,故选项C错误;

关于选项D,

为复合函数,

单调递减,

在上单调递减,单调递增,

在上单调递增,单调递减,故选项D正确.

故选:BD

三、填空题

13．化简_________．

【答案】

【分析】根据根式与指数幂互化公式，结合指数的运算公式进行求解即可.

【详解】，

故答案为：

14．已知函数的最小值为_____________．

【答案】1

【分析】利用换元法，把原函数化为，借助于对勾函数的单调性求出最小值.

【详解】对于函数：

令，则

由对勾函数的性质判断在上单减，在上单增，

所以

即函数的最小值为1.

故答案为：1.

【点睛】求复合函数的值域相对于求外函数的值域.

15．已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为_________．

【答案】

【分析】根据定义域的对称性，求得，再结合函数的奇偶性和题设条件，得到，即可求解.

【详解】解：由题意，定义在上的奇函数，

可得，解得，

又由当时，，

所以,

故答案为：.

16．函数，函数，若，则实数的取值范围是_______

【答案】

【分析】先确定函数单调性与奇偶性，从而得到单调性与奇偶性，再根据单调性与奇偶性求解即可

【详解】因为函数，

且在上单调递增，，

在上单调递增，

在R上单调递增，

又因为，则函数为奇函数，

所以为偶函数，且在上单调递增，

因此由得，

所以，即，

解得，

故答案为：

四、解答题

17．计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）0.

【分析】（1）根式化为指数运算，以及结合分式指数幂的运算法则，即可求解；

（2）根据对数运算法则，即可化简求值.

【详解】（1）原式．

（2）原式

．

18．函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求实数、的值；

(2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；

(3)求该函数在区间上的最大值与最小值.

【答案】(1)，

(2)在上是单调递减函数，证明见解析

(3)最大值为，最小值为

【分析】(1)利用奇函数的定义及所给函数值列式计算即可.

(2)判断出函数在上的单调性，再利用定义直接证明即可.

(3)利用(2)的结论借助单调性即可求得函数在指定区间上的最值.

【详解】（1）因函数是上的奇函数，则对，，即，

，则，解得，

所以，.

（2）由(1)知，，在上是单调递减函数，

，则有

因，则，，而，于是得，

因此，，

所以函数在上是单调递减函数.

（3）因，则由(2)知，函数在上单调递减，

于是得，

所以函数在区间上的最大值和最小值分别为，.

19．因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入万元.设使用该设备前年的总盈利额为万元.

（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；

（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.

【答案】（1），3年；（2）第二种方案更合适，理由见解析.

【分析】（1）利用年的销售收入减去成本，求得的表达式，由，解一元二次不等式求得从第年开始盈利.

（2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润；

方案二：利用基本不等式求得时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润.

比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案.

【详解】（1）由题意得：

由得即，

解得

由，设备企业从第3年开始盈利

（2） 方案一总盈利额

，当时，

故方案一共总利润，此时

方案二：每年平均利润

，当且仅当时等号成立

故方案二总利润，此时

比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案只需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适.

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题.

20．定义在上的函数，满足，，当时，.

（1）求的值；

（2）判断的单调性，并证明；

（3）解关于x的不等式.

【答案】（1）0；（2）在上单调递减；证明见解析；（3）.

【解析】（1）直接令代入即可求得；

（2）直接用单调性的定义证明函数单调递减；

（3）运用函数的单调性和特殊函数值及函数的定义域列不等式求解．

【详解】解：（1）令时，，.

（2）在上单调递减，

证明：对且时，

，，

，

即，，

故在上单调递减.

（3）令，，

则，

，

，

，解得

不等式解集为.

【点睛】关键点睛：本题考查抽象函数的单调性的证明和利用单调性解不等式，属于中档题，本题利用定义法证明函数单调性的关键是，从而作差可得，得出结论;(3)中的关键是，然后利用给出的函数性质和单调性可求解.