2024届宁夏吴忠市吴忠中学高三上学期开学第一次月考数学（文）试题含答案

2024届宁夏吴忠市吴忠中学高三上学期开学第一次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出集合A，再求两集合的交集即可

【详解】由，得，所以，

因为，

所以，

故选：D

2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】利用复数的乘除运算法则化简复数，即可得到结论.

【详解】由题意，，

所以，复数对应的点为，即为第三象限的点.

故选：C.

【点睛】本题考查了复数与复平面对应点之间的关系，属于基础题.

3．已知函数，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】先求出的值，从而求出的值即可.

【详解】∵，

∴.

故选：B.

4．下列命题中，正确的是（    ）

A．“”是“”的必要不充分条件

B．，

C．，

D．命题“，”的否定是“，”

【答案】D

【分析】由命题与不等式知识对选项逐一判断

【详解】对于A，“”是“”的充分不必要条件，故A错误，

对于B，不等式的解集为，故B错误，

对于C，方程无解，故C错误，

对于D，命题“，”的否定是“，”，故D正确，

故选：D

5．若，，，则a，b，c的大小关系是 

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接利用中间量“0”，“1”判断三个数的大小即可．

【详解】解：

，，

，

故选B．

【点睛】本题主要考查数的大小比较，一般来讲要转化为函数问题，利用函数的图象分布和单调性比较，有时也用到0，1作为比较的桥梁．

6．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算得到即得解.

【详解】由题得，

所以，

所以函数的零点所在的区间是.

故选：C

7．设是周期为3的奇函数，当时，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性和周期性得到，计算得到答案.

【详解】是周期为3的奇函数，则.

故选：D.

8．已知函数在定义域上是减函数，且，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由函数的单调性及定义域可得不等式，即可得解.

【详解】因为函数在定义域上是减函数，且，

所以,解得,

所以实数a的取值范围是.

故选：B.

【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，考查了运算求解能力，属于基础题.

9．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】判断函数的奇偶性，可判断C,D的正误；利用在之间的函数零点的个数即可判断A,B的正误.

【详解】设，

则，

故为奇函数，故C,D错误；

而令时，在之间的函数零点有两个，故B错误，

故选：A

10．函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复合函数“同增异减”的法则，结合对数函数和二次函数的单调性，进行求解．

【详解】函数，

则或，

故函数的定义域为或，

由是单调递增函数，

可知函数的单调减区间即的单调减区间，

二次函数对称轴为，开口向上

故当时，函数单调递减，结合的定义域，

可得函数的单调减区间为．

故选：A

11．已知函数，，若有2个零点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出图象，观察图象可求a的范围.

【详解】  

如图，分别作出的图象，观察可得当时，即时，函数有两个不同的交点，所以有两个零点，故选D.

【点睛】本题主要考查利用函数零点的个数求解参数的范围问题，主要策略是数形结合，侧重考查直观想象的核心素养.

12．已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用对称性和奇偶性可推导得到是周期为的周期函数，并求得的值，将所求式子利用周期进行转化即可求得所求值.

【详解】图象关于点对称，，

又为上的偶函数，，，

，

是周期为的周期函数，

，又，，

.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数周期性求解函数值的问题，解题关键是能够根据函数的奇偶性和对称性推导得到函数的周期，进而将自变量转化到已知函数解析式的区间中，从而结合解析式求得函数值.

二、填空题

13．函数在点处的切线的斜率是                .

【答案】

【详解】试题分析：，则，故答案为．

【解析】利用导数求曲线上某点切线斜率．

14．已知函数的图像过定点P，则P点的坐标是           

【答案】

【分析】根据指数函数的性质进行求解.

【详解】令得，此时，故恒过点，

所以恒过点，故P点的坐标为.

故答案为：

15．已知函数满足对任意的，都有成立，则的取值范围是 ．

【答案】

【详解】试题分析：因为对任意的，都有成立，所以函数为减函数，需满足，所以的取值范围是

16．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）＝f（x﹣1），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝（）1﹣x，则

①2是函数f（x）的一个周期；

②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；

③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；

④x＝1是函数f（x）的一个对称轴；

⑤当x∈（3，4）时，f（x）＝（）x﹣3.

其中所有正确命题的序号是     .

【答案】①②④⑤

【分析】①根据f（x+1）＝f（x﹣1），变形为f（x+2）＝f（x），再利用周期的定义判断.②易知，当x∈[0，1]时，f（x）＝（）1﹣x，是增函数，再利用周期性和奇偶性转化判断.③根据②的结论判断.④根据②的结论判断.⑤设x∈（3，4）时，则有4﹣x＝（0，1），再利用周期性和奇偶性再求解.

【详解】∵f（x+1）＝f（x﹣1），∴f（x+2）＝f[（x+1）+1]＝f[（x+1）﹣1]＝f（x），即2是函数f（x）的一个周期，故①正确；

当x∈[0，1]时，f（x）＝（）1﹣x为增函数，因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以当x∈[﹣1，0]时，f（x）为减函数，

再由函数的周期为2，可得（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，故②正确；

由②得：当x＝2k，k∈Z时，函数取最小值，当x＝2k+1，k∈Z时，函数取最大值1，故③错误；

由②和函数是偶函数得x＝k，k∈Z均为函数图象的对称轴，故④正确；

设x∈（3，4），则4﹣x∈（0，1），所以f（4﹣x）＝f（﹣x）＝f（x）＝（）1﹣（4﹣x）＝（）x﹣3，故⑤正确

故答案为：①②④⑤

【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，还考查了数形结合，转化化归的思想和理解辨析的能力，属于中档题.

三、解答题

17．二次函数满足，且.

(1)求的解析式；

(2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，可设，代入，根据系数对应相等可求a，b进而可求

（2）由题意得，，即对恒成立，令，根据在上的单调性可求，可求m的范围.

【详解】（1）由，可设,

∵，

∴,

由题意得，，解得；

故.

（2）由题意得，,

即对恒成立，

令，又在上递减，故,

故.

18．如图，直三棱柱中，，，.

(1)证明：平面；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解；

（2）利用等体积法求解点到平面的距离即可.

【详解】（1）证明：∵为直三棱柱，∴

又平面，平面，

∴平面

（2）解：在中，，，

则，的面积为

∵为直三棱柱，∴平面，

∴，从而

取的中点，连接，则，

∴的面积为，

设点到平面的距离为，

由于

∴，解得

故点到平面的距离为.

19．如下图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的茎叶图（图中仅列出，的数据）和频率分布直方图.

（1）求分数在的频率及全班人数；

（2）求频率分布直方图中的；

（3）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率.

【答案】（1）频率为0.2，人数为25人 （2），（3）0.7

【分析】（1）频率分布直方图中所对应矩形的面积即为分数在的频率，频数与频率比值即为总数.(2)由茎叶图得的频数，由频数与总人数的比值得频率，从而得到y值，再利用频率和为1可得x值；（3）利用列举法，求出基本事件总数以及至少有一份分数在之间的基本事件数，利用古典概型概率公式即可得出结果.

【详解】（1）分数在的频率为，

由茎叶图知，分数在之间的频数为5，

∴全班人数为人

（2）分数在之间的频数为2，由，得

又，解得：

（3）分数在内的人数是人，

将之间的3个分数编号为，

之间的2个分数编号为，

在之间的试卷中任取两份的基本事件为：，，，，，，，，，共10个

其中，至少有一个在之间的基本事件有7个

故至少有一份分数在之间的概率是.

【点睛】本题考查古典概型概率公式与频率分布直方图的应用，属于基础题型.

20．记的内角的对边分别为，已知．

(1)求；

(2)若，求面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据余弦定理即可解出；

（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．

【详解】（1）因为，所以，解得：．

（2）由正弦定理可得

，

变形可得：，即，

而，所以，又，所以，

故的面积为．

21．已知函数， （）

(1)求在点处的切线方程

(2)若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)a4

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出，最后利用点斜式求出切线方程；

（2）依题意参变分离可得对任意的恒成立，令，，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解.

【详解】（1）解：因为，所以，

所以切线的斜率，．

所以在处的切线方程为，即；

（2）解：若对任意的恒成立，则对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

令，，只需满足，，

又，

因为，所以由得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以当时函数取得极小值即为最小值，即，所以a4.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（I）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（II）求曲线上的点到直线的距离的最大值.

【答案】（I），；（II）.

【分析】（I）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程；由直线l的极坐标方程，能求出直线l的直角坐标方程．（II）在曲线C上任取一点利用点到直线的距离公式能求出曲线C上的点到直线l的最小距离．

【详解】（I）曲线的普通方程为，

直线的直角坐标方程为.

（II）设曲线上的点的坐标为，

则点到直线的距离，

当时，取得最大值，

曲线上的点到直线的距离的最大值为.

【点睛】本题考查曲线的普通方程和直线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的点到直线的最小距离的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的应用，考查运算求解能力、转化化归思想，是中档题．