2024届宁夏吴忠市吴忠中学高三上学期开学第一次月考数学（理）试题含答案

2024届宁夏吴忠市吴忠中学高三上学期开学第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合或，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用集合的交并补运算即可得解．

【详解】或，，

，．

故选：A．

2．复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】首先利用除法运算求复数，再根据复数的几何意义判断选项.

【详解】因为，故，在复平面内对应的点为,

位于第二象限.

故选:B.

3．等于（    ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】C

【分析】利用定积分的计算法则求解即可．

【详解】解：.

故选：C．

【点睛】本题考查定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．

4．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由复合函数单调性的确定，结合二次函数、幂函数的性质即可得解.

【详解】令，则或，

所以函数的定义域为，

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

且函数在上单调递增，

所以函数的单调递增区间是.

故选：B.

【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断及二次函数、幂函数性质的应用，属于基础题.

5．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.

【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；

由，则，即，显然成立，必要性成立；

所以是的必要不充分条件.

故选：B

6．若命题：，，命题：，，则下列命题中是真命题的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据二次函数性质判断命题p的真假，根据绝对值的定义判断q的真假，从而可逐项判断真假．

【详解】对于关于x的二次方程，∵，故恒成立，

∴不存在，使得，∴命题p是假命题，命题为真命题；

当x<0时，，∴命题q是真命题，命题是假命题；

故为假命题，为假命题，为假命题，为真命题．

故选：D．

7．从两名医生、两名教师和一名警察中任选两名参加社会服务活动，则两人职业不同的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先求两人职业相同的概率，再利用对立事件求解.

【详解】两人不同职业的对立事件是两个人的职业相同，

职业相同的概率为，所以两人职业不同的概率.

故选：D

8．在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.

【详解】由题意结合正弦定理可得，

即，

整理可得，由于，故，

据此可得，

则.

故选：C.

9．已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式．

【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，

所以，解得．

故选：B

10．若为偶函数，则（    ）．

A． B．0 C． D．1

【答案】B

【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.

【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，

当时，，，解得或，

则其定义域为或，关于原点对称.

，

故此时为偶函数.

故选：B.

11．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】由已知可得,,的坐标，求得,所在直线的斜率，再由直线与直线的斜率之比为3列式求双曲线的离心率．

【详解】由题意可得，，，

点的横坐标为，代入，又，所以，

，，

则，可得．

即双曲线的离心率为2．

故选：C．

12．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．

【详解】[方法一]：

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

[方法二]：

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．

二、填空题

13．已知实数满足，则的最大值为           .

【答案】5

【分析】先作出可行域，令，根据截距的变化可得目标函数的最大值.

【详解】不等式组表示的可行域如图所示，为及其内部的阴影区域，且，

令，则，当直线经过点时，取得最大值5.

故答案为：5

14．已知非零向量，满足且，则向量与的夹角为          ．

【答案】

【分析】用向量数量积的定义即可求解.

【详解】依题意， ，即 ，

根据数量积的定义有： ， ，

的夹角为 ；

故答案为： .

15．将四大名著各分一本给甲、乙、丙、丁四人就读，A、、、四位旁观者预测分配结果，A说：“甲读《西游记》，乙读《红楼梦》”；说：“甲读《水浒传》，丙读《三国演义》”；说：“乙读《水浒传》，丙读《西游记》”；说：“乙读《西游记》，丁读《三国演义》”.若已知四位旁观者每人预测的两句话中，都是有且只有一句是真的，则可推断丁读的名著是      .

【答案】《三国演义》

【分析】从A说的两句话中先假定一句正确，结合其他人的表述，逐个分析可得答案.

【详解】由题意，若A说的两句话中，甲读《西游记》正确，乙读《红楼梦》错误，则说的甲读《水浒传》错误，

丙读《三国演义》正确.则说的丙读《西游记》错误，

乙读《水浒传》正确，则说的乙读《西游记》错误，

丁读《三国演义》正确与说的丙读《三国演义》正确相矛盾，不成立；

若A说的两句话中，乙读《红楼梦》正确，甲读《西游记》错误，则说的乙读《水浒传》错误，

丙读《西游记》正确，则说的乙读《西游记》错误，

丁读《三国演义》正确，则说的丙读《三国演义》错误，

甲读《水浒传》正确，则丁读《三国演义》.

故答案为：《三国演义》

16．已知是定义在R上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点个数为            .

【答案】

【分析】利用函数的奇偶性，求出函数的周期，将函数零点问题转化成求两函数交点问题，利用对称性即可求出在区间上所有零点个数.

【详解】由题意，

∵是定义在上的奇函数,

∴,

∵,

是其中一条对称轴，

∴,

∴的周期是2 ,

在中，

当时，，

∴求函数零点, 即为求与的交点的横坐标,

作出与图象如图所示，

由图知:

∴交点关于对称,每个周期有个交点

∴有1011个周期, 有1011个周期，

∴在区间上所有零点个数为：，

故答案为：.

三、解答题

17．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)已知点的极坐标为，设曲线和直线交于M，N两点，求的值.

【答案】(1);

(2)

【分析】（1）用消参数法化参数方程为普通方程，由公式，化极坐标方程为直角坐标方程；

（2）将点P的极坐标化为直角坐标，并判断点P在直线上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线代入曲线的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解．

【详解】（1）将消去参数，得，

所以曲线的普通方程为．

由，得，

将，代入上式，得

所以直线的直角坐标方程为．

（2）因为点P的极坐标为，所以P的直角坐标为，则点P在直线上，

易得直线的参数方程为（t为参数），

将其代入圆的方程，并整理得．

因为，所以方程有两个不相等的实数根，

设这两个根分别为和，则，．

所以．

18． 已知数列是正项等比数列，且.

(1)求的通项公式;

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等比数列的性质结合已知条件可得，从而可求出公比，进而可求出的通项公式，

（2）由（1）得，然后利用错位相减法可求得

【详解】（1）由等比数列的性质可得，

由题意可得，解得，

所以等比数列的公比为，

所以.

（2）由（1）得.

所以，①

则，②

①②得

，

因此；

19．2023年5月，某高中开展了“最美寝室”文化布置评比活动，学生会成员随机抽取了12间寝室进行量化评估，其中有4间寝室被评为优秀寝室.

(1)现从这12间寝室中随机抽取3间，求有1间优秀的概率；

(2)以这12间寝室的评估情况来估计全校寝室的文化布置情况，若从全校所有寝室中任选3间，记X表示抽到优秀的寝室间数，求X的分布列和期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据组合数公式，结合超几何分布的概率公式，即可求解；

（2）首先由题意可得，再根据二项分布概率公式，即可求分布列和数学期望.

【详解】（1）设表示所抽取的3间寝室中有间寝室优秀，抽取的3间寝室中有1间优秀为事件，

则；

（2）由题表数据可知，从12间寝室中任选1间是优秀的概率为，

由题可知的所有可能取值为，则

，，

所以的分布列为

.

20．如图，在三棱柱中，，．

(1)证明：；

(2)若，，，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明平面，从而得证；

（2）证明平面，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，再由空间向量求解．

【详解】（1）取的中点，连接，，

，，，，

又，平面，平面，

而平面，

；

（2）在中，，，

可得，，

在中，，，可得，

在中，，，，

可得，即，

由（1）知，平面，平面，所以平面平面，

又平面平面，平面，

平面，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面与平面的一个法向量分别为，，

由，取，得，

由，取，得．

．

由图可知，二面角的平面角为钝角，

二面角的余弦值为．

21．已知函数在处的切线与直线：垂直．

(1)求的单调区间；

(2)若对任意实数，恒成立，求整数的最大值．

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为．

(2)1

【分析】（1）利用导数的几何意义得出，再利用导数判断单调区间即可；

（2）分离参数将问题转化为恒成立，利用导数求最值结合隐零点计算即可.

【详解】（1）由，得，又切线与直线：垂直，所以，即．

所以，令，得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）对任意实数，恒成立，

即对任意实数恒成立．

设，即．

，令，

所以恒成立，所以在上单调递增．

又，，所以存在，使得，

即，所以．

当时，，单调递减；当时，，单调递增．

所以

，

当时，，

所以，由题意知且

所以，即整数的最大值为1．

22．已知椭圆：的右焦点与抛物线：，的焦点重合，的离心率为，过的右焦点F且垂直于x轴的直线截所得的弦长为4．

(1)求椭圆和抛物线的方程；

(2)过点M（3，0）的直线l与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE过定点．

【答案】(1)椭圆和抛物线的方程分别为：，；

(2)

【分析】（1）由题意可得，由于椭圆的离心率可得a，c的关系，进而可得p，c的关系，再由过的右焦点F且垂直于x轴的直线截所得的弦长为可得c的值，再由a，b，c的关系求出椭圆的方程及抛物线的方程；

（2）设直线的方程，及A，B的坐标由题意可得E的坐标，将直线与椭圆联立可得两根之和及两根之积，求出直线的直线方程，将两根之和及之积代入可得恒过定点.

【详解】（1）由的离心率为，可得，所以，

因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，所以，，

过的右焦点F且垂直于x轴的直线截所得的弦长为，令代入抛物线的方程：

可得，所以，

即，解得，所以，，

由可得，

所以椭圆和抛物线的方程分别为：，；

（2）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：，设，，由题意可得，

直线与椭圆联立：，

整理可得：，，

可得，，，

直线AE的方程为：，

整理可得：

所以当时，，即过定点，

所以可证直线过定点.

【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.