2022届宁夏吴忠市高三一轮联考数学（文）试题含解析

2022届宁夏吴忠市高三一轮联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知在复平面内，复数对应的点分别是，则复数对应的点在

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】先根据复数除法法则化简计算，再根据复数几何意义确定点坐标，最后作判断.

【详解】，对应的点的坐标是，在第四象限.选D.

【点睛】本题考查复数的几何意义、复数运算，考查数学运算能力.属基础题.

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集的知识求得.

【详解】集合是自然数集，所以

故选：B

3．已知为等差数列，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据等差数列性质结合正切函数的特殊值公式即可求解．

【详解】因为为等差数列，则

，．

故选：C

4．在△ABC中，点D满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出简图，结合平面向量的线性运算即可得到答案.

【详解】如图，

由题意，.

故选：C.

5．已知，满足，则的最大值为（    ）

A．2 B．5 C．25 D．29

【答案】D

【分析】作出不等式组表示的平面区域，再借助几何意义计算即可作答.

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影，其中，，，

目标函数表示及内部的动点P与定点M的距离平方，

观察图象知，当动点P与点A重合时，线段PM长最大，则，

所以的最大值为29.

故选：D

6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据余弦定理，结合三角形的面积公式即可求得答案.

【详解】，由余弦定理得，

结合，得，

，，容易判断，∴，．

故选：C．

7．已知，且则的最小值是（    ）

A．3 B．

C．4 D．

【答案】B

【分析】根据向量的平行关系求解参数m和n的数量关系，再运用基本不等式求解代数式的最小值.

【详解】根据向量平行的坐标表示，时，

当且仅当，即时取等号，所以选项B正确.

故选：B.

8．已知函数的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．函数在区间上是增函数

B．点是函数图象的一个对称中心

C．若，则函数的值域为

D．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到

【答案】D

【分析】结合五点法求得函数解析式，然后利用正弦函数性质确定单调性、对称中心、函数值域，判断ABC，利用三角函数图象变换判断D．

【详解】由题图及五点作图法得，，，则，，故.

由（），得（），.

所以函数在区间（）上是增函数.

时，函数在区间上是增函数，故函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，故A错.

由（），得（），函数图象的对称中心是，时，，故B错.

若，则，，则的值域为，故C错.

，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，故D对.

故选：D．

9．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（    ）次检测．

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】利用优选法依次进行检测，写出4次检测的情况，得到最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．

【详解】第一次：16人分两组，每组8人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；

第二次：留下的8人分两组，每组4人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；

第三次：留下的4人分两组，每组2人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；

第四次：留下的2人分两组，每组1人，如果第一人检测结果为阳性，则第2人没有感染．如果第一组检测结果为阴性，则第2人感染．

综上，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．

故选：B

10．已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题设可知，为真命题，即恒成立.

利用基本不等式求得，即可得到实数的取值范围.

【详解】由题知，命题“”为假命题，

则为真命题，即恒成立.

又，当且仅当，即等号成立，所以.

故选：B

11．已知双曲线 (，)，点为其右焦点，点，若所在直线与双曲线的其中一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为（　　）

A．+1 B． C． D．-1

【答案】B

【分析】由已知条件可得，，所以，即，解方程即可求解.

【详解】右焦点，点，所以，

若所在直线与双曲线的其中一条渐近线垂直，

则，可得，

又因为，所以，即，

解得：或（舍）

所以该双曲线的离心率为，

故选：B.

12．函数的定义域是，，对任意，，则不等式：的解集为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】A

【分析】构造函数，可得出，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出原不等式的解集.

【详解】构造函数，则，

，则函数在上单调递增，

由可得，可得，

因此，不等式的解集为.

故选：A.

二、填空题

13．已知为第二象限角，且，则_____

【答案】

【分析】根据同角三角函数关系结合诱导公式计算得到答案.

【详解】为第二象限角，且，故，

.

故答案为：.

14．下列命题中正确命题的序号是______________．

①若，则；

②设，且，则的最大值为9；

③数列首项为1，A、B、C三点共线，且，则数列为等差数列；

④对任意，都有的否定为：存在，使得．

【答案】①③

【分析】①根据同角三角函数基本关系与诱导公式，以及二倍角的正切公式，求出，即可判断①正确；

②利用基本不等式，根据题中条件，即可判断②错；

③根据、、三点共线及，即可判断③正确；

④根据全称命题的否定，即可判断④错.

【详解】①若，则，所以，故①正确；

②因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9；故②错；

③由、、三点共线，可知，所以数列是首项为公差也为的等差数列，故③正确；

④对任意，都有的否定为：存在，使得，故④错.

故答案为：①③.

15．在区间( 0，2)上任取一个数a，则直线 x ＋y—2＝0与圆有交点的概率是________

【答案】/0.75

【分析】直线和圆用交点，则圆心到直线的距离小于等于半径，然后根据几何概型计算概率即可﹒

【详解】，

∴圆心为，半径为a(a＞0)，

∴圆心到直线的距离，

∴＜2，

∴要求的概率P，

故答案为：﹒

16．在直三棱柱中，.若该直三棱柱的外接球表面积为，则此三棱柱的高为__________.

【答案】

【分析】由题意画出图形，把直三棱柱补形为正四棱柱，设其高为，把正四棱柱外接球的半径用含有的代数式表示，代入球的表面积公式求解．

【详解】

在直三棱锥中，

，，又，

直三棱柱的底面为等腰直角三角形，

把直三棱柱补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，

设，分别为，的中点，则的中点为球心，

设直三棱柱的高为，则球的半径，

故表面积为，解得．

故答案为：

三、解答题

17．已知：正三棱柱中， ， ， 为棱的中点．

（）求证： 平面．

（）求证：平面平面．

（）求四棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【分析】（1）连接，交于点，连接，由三棱柱为正三棱柱及为棱的中点，可得，即可证明∥平面；

（2）根据正三棱柱的定义，可证，，由面面垂直的判定定理可证明平面平面；

（3）先求底面的面积，再求高，即可求出四棱锥的体积.

【详解】（1）连接，交于点，连接，

∵三棱柱为正三棱柱，

∴为的中点，

∵为棱的中点，

∴，

∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵三棱柱为正三棱柱，

∴三角形为正三角形，侧棱平面，

∵为棱的中点，平面，

∴，，

∵，平面，平面，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面.

（3）∵是直角梯形，，，，

∴四边形的面积为，

∵平面，

∴四棱锥的体积为.

18．为了解人们对“年月在北京召开的第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议”的关注度，某部门从年龄在岁到岁的人群中随机调查了人，并得到如图所示的年龄频率分布直方图，在这人中关注度非常高的人数与年龄的统计结果如表所示：

（1）由频率分布直方图，估计这人年龄的中位数和平均数；

（2）根据以上统计数据填写下面的列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为以岁为分界点的不同人群对“两会”的关注度存在差异？

（3）按照分层抽样的方法从年龄在岁以下的人中任选六人，再从六人中随机选两人，求两人中恰有一人年龄在岁以下的概率是多少.

参考数据：

【答案】（1）中位数为（岁），平均数为（岁）；（2）不能.（3）.

【分析】（1）根据频率分布直方图中位数两侧频率之和均为可得出中位数，将频率分布直方图中每个矩形底边中点值乘以矩形的面积，再将各乘积相加可得出平均数；

（2）根据题中信息完善列联表，并计算出的观测值，并与进行大小比较，利用临界值表可对题中结论的正误进行判断；

（3）利用利用分层抽样的特点计算出所选的人中年龄在岁以下和年龄在岁到岁间的人数，并对这些人进行编号，列出所有的基本事件，并确定基本事件的总数，然后确定事件“从六人中随机选两人，求两人中恰有一人年龄在岁以下”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可得出所求事件的概率.

【详解】（1）由频率分布直方图可得，两侧的频率之和均为，

所以估计这人年龄的中位数为（岁）.

平均数为（岁）；

（2）由频率分布直方图可知，岁以下共有人，岁以上共有人，列联表如下：

，

不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为以岁为分界点的不同人群对“两会”的关注度存在差异；

（3）年龄在岁以下的人数为人，

年龄在岁到岁之间的人数为人，

按分层抽样的方法在这人中任选人，其中年龄在岁以下的有4人，设为、、、.年龄在岁到岁之间的有人，

设为、，从这人中随机选两人，有、、、、、、、、、、、、、、，共种选法，

而恰有一人年龄在岁以下的选法有：、、、、、、、，共种，

因此，“从六人中随机选两人，求两人中恰有一人年龄在岁以下”的概率是.

【点睛】本题考查频率分布直方图中中位数和平均数的计算，同时也考查了独立性检验的基本思想和古典概型概率的计算，考查收集数据和处理数据的能力，同时也考查了计算能力，属于中等题.

19．已知点O为坐标原点，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点I，J分别是椭圆C的右顶点、上顶点，△IOJ的边IJ上的中线长为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点H（－2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程．

【答案】（1）（2）x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0

【分析】(1)由直角三角形中线性质得到，再根据条件得到求解即可；（2）设出直线AB，联立直线和椭圆得到二次方程，由AF1⊥BF1，得到，整理得（1＋2k2）（x1＋x2）＋（1＋k2）x1x2＋1＋4k2＝0，代入韦达定理即可.

【详解】（1）由题意得△IOJ为直角三角形，且其斜边上的中线长为，所以．

设椭圆C的半焦距为c，则

解得

所以椭圆C的标准方程为．

（2）由题知，点F1的坐标为（－1，0），显然直线AB的斜率存在，

设直线AB的方程为y＝k（x＋2）（k≠0），点A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立消去y，得（1＋2k2）x2＋8k2x＋8k2－2＝0，

所以Δ＝（8k2）2－4（1＋2k2）（8k2－2）＝8（1－2k2）＞0，所以．（*）

且，．

因为AF1⊥BF1，所以，

则（－1－x1，－y1）·（－1－x2，－y2）＝0，

1＋x1＋x2＋x1x2＋y1y2＝0，

1＋x1＋x2＋x1x2＋k（x1＋2）·k（x2＋2）＝0，

整理，得（1＋2k2）（x1＋x2）＋（1＋k2）x1x2＋1＋4k2＝0．

即．

化简得4k2－1＝0，解得．

因为都满足（*）式，所以直线AB的方程为或．

即直线AB的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0．

【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．

20．已知数列是递增的等差数列，，且成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项利；

(3)若，设数列的前n项和为，求满足的n的最小值.

【答案】(1)；

(2)；

(3)13.

【分析】（1）根据给定条件，利用等比中项列式求出公差即可求解作答.

（2）利用等差等比数列前n项和公式，借助分组求法求解作答.

（3）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再解不等式作答.

【详解】（1）设递增等差数列的公差为，依题意，，而，

即，而，解得，，

所以数列的通项公式是.

（2）由（1）知，，

所以.

（3）由（1）知，，

则，

由得：，解得，而，则，

所以满足的n的最小值是13.

21．已知函数.

（Ⅰ） 求的单调区间；

（Ⅱ）当时，若恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）见解析（2）

【分析】（Ⅰ）求导数，讨论范围得到的单调区间.

（Ⅱ）当时，若恒成立，求最大值即可得到答案.

【详解】解：（Ⅰ）                                             

①当时，由于，故，

所以，的单调递增区间为.                       

②当时，由，得.

在区间上，，在区间上，

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅱ）当时，若恒成立

即

故答案为

【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转换为函数的最值问题是解题的关键.

22．已知直线的参数方程是（是参数），以坐标原点为原点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）判断直线与曲线的位置关系；

（2）过直线上的点作曲线的切线，求切线长的最小值.

【答案】（1）相离；（2）.

【详解】试题分析：（1）利用加减消元法消去，可得直线的方程为.将圆的极坐标方程展开后两边成立，转化为直角坐标方程为.利用圆心到直线的距离判断出直线和圆相离.（2）利用直线的参数方程，得到直线上任意一点的坐标，利用勾股定理求出切线长，最后利用配方法求得最小值.

试题解析：

（1）由直线的参数方程消去参数得的方程为.

，

，

曲线的直角坐标方程为，

即.

圆心到直线的距离为，

直线与圆的相离.

（2）直线上的点向圆引切线，则切线长为

．

即切线长的最小值为.

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若对恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解；

（2）依题意可得，根据绝对值三角不等式求出的最小值，即可得解.

【详解】（1）因为，

所以当时，由，即，解得；

当时，由，即，解得；

当时，由，即，解得.

综上，的解集为.

（2）由得，

因为，当且仅当取等号，

所以当时，取得最小值，

所以当时，取得最小值，

故，即的取值范围为.