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河南省郑州市第四初级中学2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】
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这是一份河南省郑州市第四初级中学2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】，共26页。试卷主要包含了下列各数中最小的数是，在下列实数，中有理数的个数有，下列式子不正确的是，下列说法中正确的有个，如图，在平面直角坐标系上有点A等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省郑州四中八年级第一学期期中数学试卷
一.选择题（每题3分，共30分）
1．下列各数中最小的数是（ ）
A．﹣3 B． C．﹣4 D．﹣3.5
2．在下列实数，中有理数的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．下列式子不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一副直角三角板如图放置，点A在DF延长线上，已知：∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，BC∥DA，那么∠ABF的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
5．一次函数y＝﹣x+6的图象上有两点A（﹣1，y1）、B（2，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1≥y2
6．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝c2﹣a2 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝12：13：15
7．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx﹣k图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列说法中正确的有（ ）个．
①（﹣1，﹣x2）位于第三象限；
②的平方根是3；
③若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上；
④点A（2，a）和点B（b，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值为5；
⑤点N（1，n）到x轴的距离为n．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2021次跳动至点A2021的坐标是（ ）
A．（﹣1009，1009） B．（﹣1010，1010）
C．（﹣1011，1011） D．（﹣1012，1012）
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图所示，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，AP＝AC，则数轴上点P所表示的数是 ．
12．已知一次函数图象经过点（﹣1，2）且y随x增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式 ．
13．如图，已知△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E＝ 度．
14．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝ ．
三．解答题（共55分）
16．计算：
（1）；
（2）﹣|﹣2|﹣+（﹣π）0．
17．某中学为培养学生的阅读习惯，开展了“读书周”活动，并随机调查了该校部分学生这一周的课外阅读时间，将结果绘制成了尚不完整的统计图表．
阅读时间/h
频数
3
3
4
m
5
30
6
12
6
3
请你根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：m＝ ，本次调查的人数为 ；
（2）本次调查中，学生阅读时间的中位数为 h；
（3）扇形统计图中，课外阅读6h所对应的圆心角的度数是 ；
（4）根据调查数据，发现这一周的人均阅读时间比活动前增加了25%，求活动前的人均阅读时间．
18．如图是一副秋千架，图1是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计），图2是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）．求秋千支柱AD的高．
19．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）直接写出A1、B1、C1的坐标．
（3）点P是y轴上一点且S△PAB＝4，请求出点P的坐标．
20．某校拟建一个面积为100m2的矩形健身区，张老师请同学们小组合作设计出使周长最小的建造方案，下面是其中一个小组的探究过程，请补充完整
（1）列式
设矩形的一边长是xm，则另一边长是 m，若周长为ym，则y与x之间的函数关系式为
（2）画图
①列表
x
…
4
6
10
13
16
20
25
30
…
y
…
58
45
40
41
44
a
58
66
…
表中a＝
②描点：如图所示；
③连线：请在图中画出该函数的图象．
（3）发现
图象最低点的坐标为 ，即当x＝ m时，周长y有最小值40m；
（4）验证
在张老师的指导下，同学们将y与x之间的函数关系式进行配方，得出y＝2（﹣）2+40．
∵2（﹣）2≥0
∴y≥ ．
∴当﹣＝0时，y有最小值；
此方程可化为 （）2﹣10＝0；
∴当x＝ m时，周长y有最小值40m．
21．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，求出这个最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，构图求出代数式的最小值．
22．已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），点A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设PC＝m，
（1）已知点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，设D点横坐标为n，则D点纵坐标可用含n的代数式表示为 ，此时若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
（2）直线y＝2x+b过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
一.选择题（每题3分，共30分）
1．下列各数中最小的数是（ ）
A．﹣3 B． C．﹣4 D．﹣3.5
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
解：∵﹣4＜﹣3.5＜﹣＜﹣3，
∴其中最小的数是﹣4，
故选：C．
2．在下列实数，中有理数的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据有理数的定义解答即可．
解：＝，＝﹣3，
根据有理数的定义可知，有理数有，3.141592643，，，共有4个．
故选：B．
3．下列式子不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；利用完全平方公式对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
解：A．原式＝2，所以A选项不符合题意；
B．原式＝3﹣＝2，所以B选项符合题意；
C．原式＝1﹣2+2＝3﹣2，所以C选项不符合题意；
D．原式＝＝，所以D选项不符合题意．
故选：B．
4．一副直角三角板如图放置，点A在DF延长线上，已知：∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，BC∥DA，那么∠ABF的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠CBF＝60°，进而得出答案．
解：∵∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，
∴∠EFD＝60°，∠ABC＝45°，
∵BC∥DA，
∴∠CBF＝∠EFD＝60°，
∴∠ABF＝∠CBF﹣∠ABC＝60°﹣45°＝15°．
故选：A．
5．一次函数y＝﹣x+6的图象上有两点A（﹣1，y1）、B（2，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1≥y2
【分析】k＝﹣1＜0，y将随x的增大而减小，根据﹣1＜2即可得出答案．
解：∵k＝﹣1＜0，y将随x的增大而减小，
又∵﹣1＜2，
∴y1＞y2．
故选：A．
6．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝c2﹣a2 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝12：13：15
【分析】掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．
解：A、由b2＝c2﹣a2得c2＝a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由a：b：c＝3：4：5得c2＝a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
C、由三角形三个角度数和是180°及∠C＝∠A﹣∠B解得∠A＝90°，故是直角三角形；
D、由∠A：∠B：∠C＝12：13：15，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠A＝54°，∠B＝58.5°，∠C＝67.5°，没有90°角，故不是直角三角形．
故选：D．
7．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx﹣k图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，可以得到k和b的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数y＝bx﹣k图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴b＞0，﹣k＞0，
∴一次函数y＝bx﹣k图象第一、二、三象限，
故选：B．
8．下列说法中正确的有（ ）个．
①（﹣1，﹣x2）位于第三象限；
②的平方根是3；
③若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上；
④点A（2，a）和点B（b，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值为5；
⑤点N（1，n）到x轴的距离为n．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据平面直角坐标系中的点的坐标特点判断即可；
②根据平方根的定义判断即可；
③根据第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标的和等于0判断即可；
④直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案；
⑤根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值判断即可．
解：当x＝0时，（﹣1，﹣x2）位于x轴上，故①说法错误；
的平方根是±3，故②说法错误；
若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上，故③说法正确；
∵点A（2，a）与点B（b，﹣3）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝2，
∴a+b的值是：3+2＝5．故④说法正确；
⑤点N（1，n）到x轴的距离为|n|．故⑤说法错误；
说法中正确的有③④，共2个．
故选：B．
9．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2021次跳动至点A2021的坐标是（ ）
A．（﹣1009，1009） B．（﹣1010，1010）
C．（﹣1011，1011） D．（﹣1012，1012）
【分析】根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解．
解：因为A1（﹣1，1），A2（2，1），
A3（﹣2，2），A4（3，2），
A5（﹣3，3），A6（4，3），
A7（﹣4，4），A8（5，4），
…
A2n﹣1（﹣n，n），A2n（n+1，n）（n为正整数），
所以2n﹣1＝2021，
n＝1011，
所以A2020（﹣1011，1011），
故选：C．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10．
∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，
∴CM＝＝＝，
即PC+PQ的最小值为．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图所示，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，AP＝AC，则数轴上点P所表示的数是 1﹣2 ．
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据数轴上两点间的距离，可得答案．
解：AC＝＝2，
AP＝AC＝2，
1﹣2，
P点坐标1﹣2．
故答案为：1﹣2．
12．已知一次函数图象经过点（﹣1，2）且y随x增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式 y＝﹣x+1 ．
【分析】设一次函数关系式为y＝kx+b，y随x增大而减小，则k＜0；图象经过点（﹣1，2），可得k、b之间的关系式．综合二者取值即可．
解：设一次函数关系式为y＝kx+b，
∵图象经过点（﹣1，2），
∴b﹣k＝2；
∵y随x增大而减小，∴k＜0．
即k取负数，满足b﹣k＝2的k、b的取值都可以．如y＝﹣x+1等．
13．如图，已知△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E＝ 25 度．
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根据三角形外角性质得出2∠E+∠ABC＝∠A+∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案．
解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，
∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠E+∠EBC，
∴2∠DCE＝2∠E+2∠EBC，
∴∠ACD＝2∠E+∠ABC，
∴2∠E+∠ABC＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝2∠E，
∵∠A＝50°，
∴∠E＝25°，
故答案为：25．
14．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝ ﹣1 ．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝
∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
三．解答题（共55分）
16．计算：
（1）；
（2）﹣|﹣2|﹣+（﹣π）0．
【分析】（1）化简二次根式，先算除法，再算加减，有小括号先算小括号里面的，分数线相当于小括号；
（2）化简算术平方根，绝对值，立方根，零指数幂，然后再计算．
解：（1）原式＝﹣4
＝﹣4
＝5﹣4
＝1；
（2）原式＝5﹣（2﹣）﹣（﹣4）+1
＝5﹣2++4+1
＝8+．
17．某中学为培养学生的阅读习惯，开展了“读书周”活动，并随机调查了该校部分学生这一周的课外阅读时间，将结果绘制成了尚不完整的统计图表．
阅读时间/h
频数
3
3
4
m
5
30
6
12
6
3
请你根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：m＝ 12 ，本次调查的人数为 60 ；
（2）本次调查中，学生阅读时间的中位数为 5 h；
（3）扇形统计图中，课外阅读6h所对应的圆心角的度数是 72° ；
（4）根据调查数据，发现这一周的人均阅读时间比活动前增加了25%，求活动前的人均阅读时间．
【分析】（1）根据总人数＝分组人数÷对应百分比列出＝，解之可得m的值；
（2）由15＜30＜45及中位数的定义求解可得答案；
（3）用360°乘以课外阅读6h的人数所占比例即可；
（4）设活动前的人均阅读时间为xh，根据加权平均数的定义可得关于x的方程，解之可得答案．
解：（1）由图可得，＝，
解得m＝12，
本次调查的人数为＝60（人），
故答案为：12，60；
（2）∵15＜30＜45，
∴学生阅读时间的中位数为5h，
故答案为：5；
（3）课外阅读6h所对应的圆心角的度数是×360°＝72°，
故答案为：72°；
（4）设活动前的人均阅读时间为xh，则
x（1+25%）＝×（3×3+4×12+5×30+6×12+7×3），
解得x＝4，
答：活动前的人均阅读时间为4h．
18．如图是一副秋千架，图1是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计），图2是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）．求秋千支柱AD的高．
【分析】直接利用AE2+BE2＝AB2，进而得出答案．
解：设AD＝xm，则由题意可得
AB＝（x﹣0.5）m，AE＝（x﹣1）m，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即（x﹣1）2+1.52＝（x﹣0.5）2，
解得x＝3．
即秋千支柱AD的高为3m．
19．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）直接写出A1、B1、C1的坐标．
（3）点P是y轴上一点且S△PAB＝4，请求出点P的坐标．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）结合（1）所画图形即可写出A1、B1、C1的坐标．
（3）根据点P是y轴上一点且S△PAB＝4，利用割补法即可求出点P的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）A1、B1、C1的坐标分别为：（1，﹣4）、（4，﹣2）、（3，﹣5）；
（3）∵点P是y轴上一点，
∴设P（0，y），
①如图，点P在点A下方，作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N，
∴S△PAB＝S梯形AMNB﹣S△PAM﹣S△PBN
＝（1+4）×2﹣（4﹣y）×1﹣（y﹣2）×4
＝4，
解得y＝2，
∴点P的坐标为（0，2）；
②如图，点P在点A上方，作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N，则AM是PN边上的高，
∴S△PAB＝S△PBN﹣S△PAN﹣S△ABN
＝（y﹣2）×4﹣（y﹣2）×1﹣4×2
＝4，
解得y＝．
∴点P的坐标为（0，2）或（0，）．
20．某校拟建一个面积为100m2的矩形健身区，张老师请同学们小组合作设计出使周长最小的建造方案，下面是其中一个小组的探究过程，请补充完整
（1）列式
设矩形的一边长是xm，则另一边长是 m，若周长为ym，则y与x之间的函数关系式为 y＝2（x+）（x＞0）
（2）画图
①列表
x
…
4
6
10
13
16
20
25
30
…
y
…
58
45
40
41
44
a
58
66
…
表中a＝ 50
②描点：如图所示；
③连线：请在图中画出该函数的图象．
（3）发现
图象最低点的坐标为 （10，40） ，即当x＝ 10 m时，周长y有最小值40m；
（4）验证
在张老师的指导下，同学们将y与x之间的函数关系式进行配方，得出y＝2（﹣）2+40．
∵2（﹣）2≥0
∴y≥ 40 ．
∴当﹣＝0时，y有最小值；
此方程可化为 （）2﹣10＝0；
∴当x＝ 10 m时，周长y有最小值40m．
【分析】（1）根据矩形的周长公式即可得到结论；
（2）①把x＝20代入函数解析式即可得到结论；③根据题意画出图象即可；
（3）根据图象中的信息即可得到结论；
（4）根据题意填空即可．
解：（1）∵矩形的面积为100m2，矩形的一边长是xm，
∴另一边长是m，
∴周长y与x之间的函数关系式为y＝2（x+）（x＞0）
（2）①把x＝20代入y＝2（x+）得，y＝50，
∴a＝50；
③该函数的图象如图所示，
（3）由图象知：图象最低点的坐标为（10，40），即当x＝10m时，周长y有最小值40m；
（4）y＝2（﹣）2+40．
∵2（﹣）2≥0
∴y≥40．
∴当﹣＝0时，y有最小值；
此方程可化为 （）2﹣10＝0；
∴当x＝10m时，周长y有最小值40m．
故答案为：，y＝2（x+）（x＞0），50，（10，40），10，40，10．
21．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，求出这个最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，构图求出代数式的最小值．
【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD＝15，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝3，ED＝5，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
解：（1）；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小＝10；
（3）如右图所示，作BD＝15，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝3，ED＝5，连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝3，AF＝BD＝15，EF＝ED+DF＝5+3＝8，
所以AE＝，
即的最小值为17．
22．已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），点A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设PC＝m，
（1）已知点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，设D点横坐标为n，则D点纵坐标可用含n的代数式表示为 2n+6 ，此时若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
（2）直线y＝2x+b过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，即可用含n的代数式表示D点纵坐标，y＝2x+6与x轴夹角＞45°，即∠DAB＞45°，故∠DAP＞45°，所以三角形APD是等腰直角的情况下，只能是∠DAP＝90°．作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA＝∠AFP＝90°，再由三角形ADP为等腰直角三角形，得到AD＝AP，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到△ADE≌△APF，由全等三角形的对应边相等得到AE＝PF，由AE+OA求出OE的长，即为D的纵坐标，代入直线解析式求出D的横坐标，即可确定出D的坐标；
（2）存在点D，使△APD是等腰直角三角形，理由为：由直线y＝2x+b过点（3，0）求出直线的解析式，分三种情况考虑：当∠ADP＝90°，AD＝PD时，根据等腰直角三角形的性质易得D点坐标；当∠APD＝90°，AP＝PD时，由全等三角形的性质表示出D点坐标为（14﹣m，m+8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；当∠ADP＝90°，AD＝PD时，同理求出D的坐标，综上，得到所有满足题意D得坐标．
解：（1）如图，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA＝∠AFP＝90°，
∴DE∥PF∥OC，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AB∥OC，
∴AB∥PF，
∵△DAP为等腰直角三角形，
∴AD＝AP，∠DAP＝90°，
∴∠EAD+∠DAB＝90°，∠DAB+∠BAP＝90°，
∴∠EAD＝∠BAP，
∵AB∥PF，
∴∠BAP＝∠FPA，
∴∠EAD＝∠FPA，
∵在△ADE和△PAF中，
，
∴△ADE≌△PAF（AAS），
∴AE＝PF＝8，OE＝OA+AE＝14，
设点D的横坐标为n，
∵点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，
∴D点纵坐标可用含n的代数式表示为2n+6，
∴14＝2n+6，得n＝4，
∴点D的坐标是（4，14）；
故答案为：2n+6，点D的坐标是（4，14）；
（2）存在点D，使△APD是等腰直角三角形，理由为：
∵直线y＝2x+b过点（3，0），
∴0＝2×3+b，解得：b＝﹣6，
∴直线解析式为y＝2x﹣6，
当∠ADP＝90°，AD＝PD时，如图，作DE⊥AB于E点，作DF⊥y轴于F点，
∴DE＝AE＝BE＝AB＝4，AF＝DE，
∵B的坐标为（8，6），
∴OF＝OA﹣AF＝6﹣4＝2，
∴D点坐标（4，2）；
当∠APD＝90°，AP＝PD时，如图，作PE⊥y轴于E点，作DF⊥EP于F点，
∵PC＝m，
同（1）可得△ADE≌△PAF（AAS），
∴AE＝PF＝6﹣m，PE＝DF＝AB＝8，
则D点坐标为（8+6﹣m，m+8），
∵点D在直线y＝2x﹣6上，
∴m+8＝2（8+6﹣m）﹣6，解得m＝，
∴D点坐标（，）；
当∠ADP＝90°，AD＝PD时，如图，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥ED于F点，
同理可求得D点坐标（，），
综上，符合条件的点D存在，坐标为（4，2）或（，）或（，）．
2021-2022学年河南省郑州四中八年级第一学期期中数学试卷
一.选择题（每题3分，共30分）
1．下列各数中最小的数是（ ）
A．﹣3 B． C．﹣4 D．﹣3.5
2．在下列实数，中有理数的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．下列式子不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一副直角三角板如图放置，点A在DF延长线上，已知：∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，BC∥DA，那么∠ABF的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
5．一次函数y＝﹣x+6的图象上有两点A（﹣1，y1）、B（2，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1≥y2
6．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝c2﹣a2 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝12：13：15
7．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx﹣k图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列说法中正确的有（ ）个．
①（﹣1，﹣x2）位于第三象限；
②的平方根是3；
③若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上；
④点A（2，a）和点B（b，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值为5；
⑤点N（1，n）到x轴的距离为n．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2021次跳动至点A2021的坐标是（ ）
A．（﹣1009，1009） B．（﹣1010，1010）
C．（﹣1011，1011） D．（﹣1012，1012）
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图所示，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，AP＝AC，则数轴上点P所表示的数是 ．
12．已知一次函数图象经过点（﹣1，2）且y随x增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式 ．
13．如图，已知△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E＝ 度．
14．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝ ．
三．解答题（共55分）
16．计算：
（1）；
（2）﹣|﹣2|﹣+（﹣π）0．
17．某中学为培养学生的阅读习惯，开展了“读书周”活动，并随机调查了该校部分学生这一周的课外阅读时间，将结果绘制成了尚不完整的统计图表．
阅读时间/h
频数
3
3
4
m
5
30
6
12
6
3
请你根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：m＝ ，本次调查的人数为 ；
（2）本次调查中，学生阅读时间的中位数为 h；
（3）扇形统计图中，课外阅读6h所对应的圆心角的度数是 ；
（4）根据调查数据，发现这一周的人均阅读时间比活动前增加了25%，求活动前的人均阅读时间．
18．如图是一副秋千架，图1是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计），图2是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）．求秋千支柱AD的高．
19．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）直接写出A1、B1、C1的坐标．
（3）点P是y轴上一点且S△PAB＝4，请求出点P的坐标．
20．某校拟建一个面积为100m2的矩形健身区，张老师请同学们小组合作设计出使周长最小的建造方案，下面是其中一个小组的探究过程，请补充完整
（1）列式
设矩形的一边长是xm，则另一边长是 m，若周长为ym，则y与x之间的函数关系式为
（2）画图
①列表
x
…
4
6
10
13
16
20
25
30
…
y
…
58
45
40
41
44
a
58
66
…
表中a＝
②描点：如图所示；
③连线：请在图中画出该函数的图象．
（3）发现
图象最低点的坐标为 ，即当x＝ m时，周长y有最小值40m；
（4）验证
在张老师的指导下，同学们将y与x之间的函数关系式进行配方，得出y＝2（﹣）2+40．
∵2（﹣）2≥0
∴y≥ ．
∴当﹣＝0时，y有最小值；
此方程可化为 （）2﹣10＝0；
∴当x＝ m时，周长y有最小值40m．
21．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，求出这个最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，构图求出代数式的最小值．
22．已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），点A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设PC＝m，
（1）已知点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，设D点横坐标为n，则D点纵坐标可用含n的代数式表示为 ，此时若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
（2）直线y＝2x+b过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
一.选择题（每题3分，共30分）
1．下列各数中最小的数是（ ）
A．﹣3 B． C．﹣4 D．﹣3.5
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
解：∵﹣4＜﹣3.5＜﹣＜﹣3，
∴其中最小的数是﹣4，
故选：C．
2．在下列实数，中有理数的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据有理数的定义解答即可．
解：＝，＝﹣3，
根据有理数的定义可知，有理数有，3.141592643，，，共有4个．
故选：B．
3．下列式子不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；利用完全平方公式对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
解：A．原式＝2，所以A选项不符合题意；
B．原式＝3﹣＝2，所以B选项符合题意；
C．原式＝1﹣2+2＝3﹣2，所以C选项不符合题意；
D．原式＝＝，所以D选项不符合题意．
故选：B．
4．一副直角三角板如图放置，点A在DF延长线上，已知：∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，BC∥DA，那么∠ABF的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠CBF＝60°，进而得出答案．
解：∵∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，
∴∠EFD＝60°，∠ABC＝45°，
∵BC∥DA，
∴∠CBF＝∠EFD＝60°，
∴∠ABF＝∠CBF﹣∠ABC＝60°﹣45°＝15°．
故选：A．
5．一次函数y＝﹣x+6的图象上有两点A（﹣1，y1）、B（2，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1≥y2
【分析】k＝﹣1＜0，y将随x的增大而减小，根据﹣1＜2即可得出答案．
解：∵k＝﹣1＜0，y将随x的增大而减小，
又∵﹣1＜2，
∴y1＞y2．
故选：A．
6．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝c2﹣a2 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝12：13：15
【分析】掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．
解：A、由b2＝c2﹣a2得c2＝a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由a：b：c＝3：4：5得c2＝a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
C、由三角形三个角度数和是180°及∠C＝∠A﹣∠B解得∠A＝90°，故是直角三角形；
D、由∠A：∠B：∠C＝12：13：15，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠A＝54°，∠B＝58.5°，∠C＝67.5°，没有90°角，故不是直角三角形．
故选：D．
7．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx﹣k图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，可以得到k和b的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数y＝bx﹣k图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴b＞0，﹣k＞0，
∴一次函数y＝bx﹣k图象第一、二、三象限，
故选：B．
8．下列说法中正确的有（ ）个．
①（﹣1，﹣x2）位于第三象限；
②的平方根是3；
③若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上；
④点A（2，a）和点B（b，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值为5；
⑤点N（1，n）到x轴的距离为n．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据平面直角坐标系中的点的坐标特点判断即可；
②根据平方根的定义判断即可；
③根据第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标的和等于0判断即可；
④直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案；
⑤根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值判断即可．
解：当x＝0时，（﹣1，﹣x2）位于x轴上，故①说法错误；
的平方根是±3，故②说法错误；
若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上，故③说法正确；
∵点A（2，a）与点B（b，﹣3）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝2，
∴a+b的值是：3+2＝5．故④说法正确；
⑤点N（1，n）到x轴的距离为|n|．故⑤说法错误；
说法中正确的有③④，共2个．
故选：B．
9．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2021次跳动至点A2021的坐标是（ ）
A．（﹣1009，1009） B．（﹣1010，1010）
C．（﹣1011，1011） D．（﹣1012，1012）
【分析】根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解．
解：因为A1（﹣1，1），A2（2，1），
A3（﹣2，2），A4（3，2），
A5（﹣3，3），A6（4，3），
A7（﹣4，4），A8（5，4），
…
A2n﹣1（﹣n，n），A2n（n+1，n）（n为正整数），
所以2n﹣1＝2021，
n＝1011，
所以A2020（﹣1011，1011），
故选：C．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10．
∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，
∴CM＝＝＝，
即PC+PQ的最小值为．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图所示，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，AP＝AC，则数轴上点P所表示的数是 1﹣2 ．
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据数轴上两点间的距离，可得答案．
解：AC＝＝2，
AP＝AC＝2，
1﹣2，
P点坐标1﹣2．
故答案为：1﹣2．
12．已知一次函数图象经过点（﹣1，2）且y随x增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式 y＝﹣x+1 ．
【分析】设一次函数关系式为y＝kx+b，y随x增大而减小，则k＜0；图象经过点（﹣1，2），可得k、b之间的关系式．综合二者取值即可．
解：设一次函数关系式为y＝kx+b，
∵图象经过点（﹣1，2），
∴b﹣k＝2；
∵y随x增大而减小，∴k＜0．
即k取负数，满足b﹣k＝2的k、b的取值都可以．如y＝﹣x+1等．
13．如图，已知△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E＝ 25 度．
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根据三角形外角性质得出2∠E+∠ABC＝∠A+∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案．
解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，
∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠E+∠EBC，
∴2∠DCE＝2∠E+2∠EBC，
∴∠ACD＝2∠E+∠ABC，
∴2∠E+∠ABC＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝2∠E，
∵∠A＝50°，
∴∠E＝25°，
故答案为：25．
14．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝ ﹣1 ．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝
∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
三．解答题（共55分）
16．计算：
（1）；
（2）﹣|﹣2|﹣+（﹣π）0．
【分析】（1）化简二次根式，先算除法，再算加减，有小括号先算小括号里面的，分数线相当于小括号；
（2）化简算术平方根，绝对值，立方根，零指数幂，然后再计算．
解：（1）原式＝﹣4
＝﹣4
＝5﹣4
＝1；
（2）原式＝5﹣（2﹣）﹣（﹣4）+1
＝5﹣2++4+1
＝8+．
17．某中学为培养学生的阅读习惯，开展了“读书周”活动，并随机调查了该校部分学生这一周的课外阅读时间，将结果绘制成了尚不完整的统计图表．
阅读时间/h
频数
3
3
4
m
5
30
6
12
6
3
请你根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：m＝ 12 ，本次调查的人数为 60 ；
（2）本次调查中，学生阅读时间的中位数为 5 h；
（3）扇形统计图中，课外阅读6h所对应的圆心角的度数是 72° ；
（4）根据调查数据，发现这一周的人均阅读时间比活动前增加了25%，求活动前的人均阅读时间．
【分析】（1）根据总人数＝分组人数÷对应百分比列出＝，解之可得m的值；
（2）由15＜30＜45及中位数的定义求解可得答案；
（3）用360°乘以课外阅读6h的人数所占比例即可；
（4）设活动前的人均阅读时间为xh，根据加权平均数的定义可得关于x的方程，解之可得答案．
解：（1）由图可得，＝，
解得m＝12，
本次调查的人数为＝60（人），
故答案为：12，60；
（2）∵15＜30＜45，
∴学生阅读时间的中位数为5h，
故答案为：5；
（3）课外阅读6h所对应的圆心角的度数是×360°＝72°，
故答案为：72°；
（4）设活动前的人均阅读时间为xh，则
x（1+25%）＝×（3×3+4×12+5×30+6×12+7×3），
解得x＝4，
答：活动前的人均阅读时间为4h．
18．如图是一副秋千架，图1是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计），图2是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）．求秋千支柱AD的高．
【分析】直接利用AE2+BE2＝AB2，进而得出答案．
解：设AD＝xm，则由题意可得
AB＝（x﹣0.5）m，AE＝（x﹣1）m，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即（x﹣1）2+1.52＝（x﹣0.5）2，
解得x＝3．
即秋千支柱AD的高为3m．
19．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）直接写出A1、B1、C1的坐标．
（3）点P是y轴上一点且S△PAB＝4，请求出点P的坐标．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）结合（1）所画图形即可写出A1、B1、C1的坐标．
（3）根据点P是y轴上一点且S△PAB＝4，利用割补法即可求出点P的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）A1、B1、C1的坐标分别为：（1，﹣4）、（4，﹣2）、（3，﹣5）；
（3）∵点P是y轴上一点，
∴设P（0，y），
①如图，点P在点A下方，作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N，
∴S△PAB＝S梯形AMNB﹣S△PAM﹣S△PBN
＝（1+4）×2﹣（4﹣y）×1﹣（y﹣2）×4
＝4，
解得y＝2，
∴点P的坐标为（0，2）；
②如图，点P在点A上方，作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N，则AM是PN边上的高，
∴S△PAB＝S△PBN﹣S△PAN﹣S△ABN
＝（y﹣2）×4﹣（y﹣2）×1﹣4×2
＝4，
解得y＝．
∴点P的坐标为（0，2）或（0，）．
20．某校拟建一个面积为100m2的矩形健身区，张老师请同学们小组合作设计出使周长最小的建造方案，下面是其中一个小组的探究过程，请补充完整
（1）列式
设矩形的一边长是xm，则另一边长是 m，若周长为ym，则y与x之间的函数关系式为 y＝2（x+）（x＞0）
（2）画图
①列表
x
…
4
6
10
13
16
20
25
30
…
y
…
58
45
40
41
44
a
58
66
…
表中a＝ 50
②描点：如图所示；
③连线：请在图中画出该函数的图象．
（3）发现
图象最低点的坐标为 （10，40） ，即当x＝ 10 m时，周长y有最小值40m；
（4）验证
在张老师的指导下，同学们将y与x之间的函数关系式进行配方，得出y＝2（﹣）2+40．
∵2（﹣）2≥0
∴y≥ 40 ．
∴当﹣＝0时，y有最小值；
此方程可化为 （）2﹣10＝0；
∴当x＝ 10 m时，周长y有最小值40m．
【分析】（1）根据矩形的周长公式即可得到结论；
（2）①把x＝20代入函数解析式即可得到结论；③根据题意画出图象即可；
（3）根据图象中的信息即可得到结论；
（4）根据题意填空即可．
解：（1）∵矩形的面积为100m2，矩形的一边长是xm，
∴另一边长是m，
∴周长y与x之间的函数关系式为y＝2（x+）（x＞0）
（2）①把x＝20代入y＝2（x+）得，y＝50，
∴a＝50；
③该函数的图象如图所示，
（3）由图象知：图象最低点的坐标为（10，40），即当x＝10m时，周长y有最小值40m；
（4）y＝2（﹣）2+40．
∵2（﹣）2≥0
∴y≥40．
∴当﹣＝0时，y有最小值；
此方程可化为 （）2﹣10＝0；
∴当x＝10m时，周长y有最小值40m．
故答案为：，y＝2（x+）（x＞0），50，（10，40），10，40，10．
21．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，求出这个最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，构图求出代数式的最小值．
【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD＝15，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝3，ED＝5，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
解：（1）；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小＝10；
（3）如右图所示，作BD＝15，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝3，ED＝5，连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝3，AF＝BD＝15，EF＝ED+DF＝5+3＝8，
所以AE＝，
即的最小值为17．
22．已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），点A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设PC＝m，
（1）已知点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，设D点横坐标为n，则D点纵坐标可用含n的代数式表示为 2n+6 ，此时若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
（2）直线y＝2x+b过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，即可用含n的代数式表示D点纵坐标，y＝2x+6与x轴夹角＞45°，即∠DAB＞45°，故∠DAP＞45°，所以三角形APD是等腰直角的情况下，只能是∠DAP＝90°．作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA＝∠AFP＝90°，再由三角形ADP为等腰直角三角形，得到AD＝AP，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到△ADE≌△APF，由全等三角形的对应边相等得到AE＝PF，由AE+OA求出OE的长，即为D的纵坐标，代入直线解析式求出D的横坐标，即可确定出D的坐标；
（2）存在点D，使△APD是等腰直角三角形，理由为：由直线y＝2x+b过点（3，0）求出直线的解析式，分三种情况考虑：当∠ADP＝90°，AD＝PD时，根据等腰直角三角形的性质易得D点坐标；当∠APD＝90°，AP＝PD时，由全等三角形的性质表示出D点坐标为（14﹣m，m+8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；当∠ADP＝90°，AD＝PD时，同理求出D的坐标，综上，得到所有满足题意D得坐标．
解：（1）如图，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA＝∠AFP＝90°，
∴DE∥PF∥OC，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AB∥OC，
∴AB∥PF，
∵△DAP为等腰直角三角形，
∴AD＝AP，∠DAP＝90°，
∴∠EAD+∠DAB＝90°，∠DAB+∠BAP＝90°，
∴∠EAD＝∠BAP，
∵AB∥PF，
∴∠BAP＝∠FPA，
∴∠EAD＝∠FPA，
∵在△ADE和△PAF中，
，
∴△ADE≌△PAF（AAS），
∴AE＝PF＝8，OE＝OA+AE＝14，
设点D的横坐标为n，
∵点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，
∴D点纵坐标可用含n的代数式表示为2n+6，
∴14＝2n+6，得n＝4，
∴点D的坐标是（4，14）；
故答案为：2n+6，点D的坐标是（4，14）；
（2）存在点D，使△APD是等腰直角三角形，理由为：
∵直线y＝2x+b过点（3，0），
∴0＝2×3+b，解得：b＝﹣6，
∴直线解析式为y＝2x﹣6，
当∠ADP＝90°，AD＝PD时，如图，作DE⊥AB于E点，作DF⊥y轴于F点，
∴DE＝AE＝BE＝AB＝4，AF＝DE，
∵B的坐标为（8，6），
∴OF＝OA﹣AF＝6﹣4＝2，
∴D点坐标（4，2）；
当∠APD＝90°，AP＝PD时，如图，作PE⊥y轴于E点，作DF⊥EP于F点，
∵PC＝m，
同（1）可得△ADE≌△PAF（AAS），
∴AE＝PF＝6﹣m，PE＝DF＝AB＝8，
则D点坐标为（8+6﹣m，m+8），
∵点D在直线y＝2x﹣6上，
∴m+8＝2（8+6﹣m）﹣6，解得m＝，
∴D点坐标（，）；
当∠ADP＝90°，AD＝PD时，如图，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥ED于F点，
同理可求得D点坐标（，），
综上，符合条件的点D存在，坐标为（4，2）或（，）或（，）．
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