还剩26页未读，
继续阅读
河南省郑州市2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷+答案】
展开
这是一份河南省郑州市2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷+答案】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省郑州市八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在3，﹣，π，0，，0.6，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝3：4：5
3．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．36 B．76 C．66 D．12
4．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“卒”的点的坐标分别为（0，2），（﹣1，1），则表示棋子“馬”的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，3） B．（0，3） C．（3，2） D．（1，3）
5．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若m＜﹣1＜n，且m，n是两个连续整数，则m+n的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，下列各曲线中能够表示y是x的函数的（ ）
A． B．
C． D．
8．下列各式是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知关于x的一次函数为y＝ax+2a﹣2，下列说法中正确的个数为（ ）
①若函数图象经过原点，则a＝1；
②若a＝，则函数图象经过第一、三、四象限；
③函数图象与y轴交于点（0，﹣2）；
④无论a取任何实数，函数的图象总经过点（﹣2，﹣2）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．有甲、乙两车从A地出发去B地，甲比乙车早出发，如图中m1、m2分别表示两车离开A地的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．现有以下四个结论：①m1表示甲车，m2表示乙车；②乙车出发4小时后追上甲车；③两车相距100km的时间只有甲车出发11小时的时候；④若两地相距260km，则乙车先到达B地，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
二、填空题（每题3分，共15分）
11．的平方根是 ．
12．对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4＝10．若x⊗（﹣y）＝2，且y⊗（﹣x）＝5，则x+y的值为 ．
13．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在直线y＝kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，则y1 y2．（用“＞”，“＜”或“＝”连接）
14．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），第一次点A跳动至点A1（﹣1，1），第二次点A1跳动至点A2（2，1），第三次点A2跳动至点A3（﹣2，2），第四次点A3跳动至点A4（3，2），依此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则△B'DF的面积为 ．
三、解答题（共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上有一个动点P，若PB+PC的和最小，求点P的坐标．
18．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长．
19．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．
阅读理解：
（1）图1中大正方形的边长为 ，图2中点A表示的数为 ；
迁移应用：
（2）请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图（画出一种即可）．
②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数﹣与2﹣的点，并比较它们的大小．
20．问题：探究函数y＝|x|﹣2的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在函数y＝|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
1
0
﹣1
﹣2
﹣1
0
m
…
①m＝ ；
②若A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，则n＝ ；
（3）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象：
根据函数图象可得：
①该函数的最小值为 ；
②已知直线y1＝x与函数y＝|x|﹣2的图象交于C（﹣，﹣）、D（4，2）两点，当y1＜y时x的取值范围是 ．
21．当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮我们设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交点为C（3，4）．
（1）求正比例函数与一次函数的关系式．
（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
（3）在y轴上是否存在一点P使△POC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在3，﹣，π，0，，0.6，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：3，0是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
，是分数，属于有理数；
0.6是有限小数，属于有理数；
无理数有π，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1），共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝3：4：5
【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误；根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误．
解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
所以△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵a：b：c＝3：4：5，
设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．36 B．76 C．66 D．12
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2＝122+52＝169，
所以x＝13，
所以这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76．
故选：B．
【点评】此题考查了勾股定理的证明，本题是勾股定理在实际情况中的应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
4．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“卒”的点的坐标分别为（0，2），（﹣1，1），则表示棋子“馬”的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，3） B．（0，3） C．（3，2） D．（1，3）
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出棋子“馬”的点的坐标．
解：如图所示：棋子“馬”的点的坐标为（3，2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
5．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的性质分别进行计算．
解：A、±＝±2，故此选项正确；
B、＝4，故此选项错误；
C、＝4，故此选项错误；
D、﹣＝﹣2，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根、平方根、立方根，关键是掌握它们的意义．
6．若m＜﹣1＜n，且m，n是两个连续整数，则m+n的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】估算无理数的大小，进而求出m、n的值，再代入计算即可．
解：∵2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
又∵m＜﹣1＜n，且m，n是两个连续整数，
∴m＝1，n＝2，
∴m+n＝3，
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根是正确估算的前提，求出m、n的值是正确解答的关键．
7．如图，下列各曲线中能够表示y是x的函数的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
解：A、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故A符合题意；
B、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故B不符合题意；
C、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故C不符合题意；
D、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】主要考查了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
8．下列各式是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．根据满足的三个条件进行分析即可．
解：A、共有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义；
B、是分式，不符合二元一次方程组的定义；
C、xy是2次，不符合二元一次方程组的定义；
D、符合二元一次方程组的定义．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
9．已知关于x的一次函数为y＝ax+2a﹣2，下列说法中正确的个数为（ ）
①若函数图象经过原点，则a＝1；
②若a＝，则函数图象经过第一、三、四象限；
③函数图象与y轴交于点（0，﹣2）；
④无论a取任何实数，函数的图象总经过点（﹣2，﹣2）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】把（0，0）代入即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；令x＝0，即可求得函数图象与y轴交于点（0，2a﹣2），即可判断③；把x＝﹣2代入解析式求得y＝﹣2，即可判断④．
解：①∵函数图象经过原点，
∴2a﹣2＝0，
∴a＝1，故正确；
②∵a＝＞0，
∴2a﹣2＝﹣1＜0，
∴函数图象经过第一、三、四象限，故正确；
③当x＝0时，y＝2a﹣2，
∴函数图象与y轴交于点（0，2a﹣2），故错误；
④∵y＝ax+2a﹣2＝a（x+2）﹣2，
∴x＝﹣2时，y＝﹣2，
∴函数的图象总经过（﹣2，﹣2），故正确．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
10．有甲、乙两车从A地出发去B地，甲比乙车早出发，如图中m1、m2分别表示两车离开A地的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．现有以下四个结论：①m1表示甲车，m2表示乙车；②乙车出发4小时后追上甲车；③两车相距100km的时间只有甲车出发11小时的时候；④若两地相距260km，则乙车先到达B地，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
解：由题意可得，
m1表示甲车，m2表示乙车，故①正确；
甲的速度为160÷4＝40（km/h），乙车的速度为120÷（4﹣2）＝60（km/h），
设乙车出发a小时后追上甲车，
60a＝40（a+2），
解得，a＝4，
即乙车出发4小时后追上甲车，故②正确；
当t＝2时，甲乙两车相距40×2＝80（km），故两车相距100km的时间只有在两车相遇之后，
设甲车出发b小时时，两车相距100km，
60（b﹣2）﹣40b＝100，
解得，b＝11，
即两车相距100km的时间只有甲车出发11小时的时候，
而如果甲车出发不到11小时乙就到达B地，则此小题的说法错误，故③错误；
260÷40＝6.5（小时），260÷60＝4（小时），
∵6.5＞4+2，
∴若两地相距260km，则乙车先到达B地，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．的平方根是 ±2 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
解：∵＝4
∴的平方根是±2．
故答案为：±2
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4＝10．若x⊗（﹣y）＝2，且y⊗（﹣x）＝5，则x+y的值为 7 ．
【分析】依据关于“⊗”的一种运算：a⊗b＝2a+b，且x⊗（﹣y）＝2，和y⊗（﹣x）＝5，可得方程组，解方程组即可得到x+y的值．
解：∵x⊗（﹣y）＝2，且y⊗（﹣x）＝5，
∴，
两式相加，可得x+y＝7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组以及有理数的混合运算的运用，根据题意列出方程组是解题的关键．
13．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在直线y＝kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，则y1 ＞ y2．（用“＞”，“＜”或“＝”连接）
【分析】由已知可得k＜0，则直线y＝kx+b随着x的增大而减小，即可求解．
解：∵直线经过第一、二、四象限，
∴k＜0，
∴直线y＝kx+b随着x的增大而减小，
∵﹣2＜1，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
【点评】本题考查一次函数上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的图象及其性质是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），第一次点A跳动至点A1（﹣1，1），第二次点A1跳动至点A2（2，1），第三次点A2跳动至点A3（﹣2，2），第四次点A3跳动至点A4（3，2），依此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是 2023 ．
【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点A2021与点A2022的坐标，进而可求出点A2021与点A2022之间的距离．
解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），
第4次跳动至点的坐标是（3，2），
第6次跳动至点的坐标是（4，3），
第8次跳动至点的坐标是（5，4），
…
第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），
则第2022次跳动至点的坐标是（1012，1011），
第2021次跳动至点A2021的坐标是（﹣1011，1011）．
∵点A2021与点A2022的纵坐标相等，
∴点A2021与点A2022之间的距离＝1012﹣（﹣1011）＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则△B'DF的面积为 ．
【分析】首先根据折叠可得CD＝AC＝3，B′C＝BC＝4，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD＝90°，CE＝EF＝，ED＝AE＝，从而求得B′D＝1，DF＝，即可求出B'F＝．然后再通过∠B′+∠B′DF＝90°，利用直角三角形面积公式求面积即可．
解：连接DF，如图：
根据折叠的性质可知，CD＝AC＝3，B′C＝BC＝4，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B′CF，CE⊥AB，
∴B′D＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝CE，∠EFC＝45°，
∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，
∴∠B′FD＝90°，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，
∴AC•BC＝AB•CE，
∵根据勾股定理求得AB＝5，
∴CE＝，
∴EF＝，ED＝AE＝＝，
∴AD＝2×＝，DF＝EF﹣ED＝，
∴B'F＝BF＝AB﹣AD﹣DF＝，
∵∠B＝∠B′，∠A＝∠CDE＝∠B′DF，
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠B′+∠B′DF＝90°，
∴∠B′FD＝180°﹣（∠B′+∠B′DF）＝180°﹣90°＝90°，
∴S△B′DF＝DF•B′F＝×＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键．
三、解答题（共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先原方程组整理得，然后利用加减消元法解方程组．
解：（1）原式＝4﹣+3﹣2
＝+1；
（2）原方程组整理得，
①﹣②得2y＝0，解得y＝0，
把y＝0代入①得2x＝4，
解得x＝2，
所以原方程组的解为．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．也考查了解二元一次方程组．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上有一个动点P，若PB+PC的和最小，求点P的坐标．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（3）连接BC1交x轴于P点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PB+PC的值最小，再利用待定系数法求出直线BC1的解析式为y＝﹣x+，然后计算函数值为0所对应的自变量的值，从而得到点P的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1的坐标为（2，﹣4）；
（2）△ABC的面积＝2×4﹣×2×1﹣×4×1﹣×3×1＝3.5；
（3）连接BC1交x轴于P点，如图，
∵PC＝PC1，
∴PB+PC＝PB+PC1＝BC1，
∴此时PB+PC的值最小，
设直线BC1的解析式为y＝kx+b，
把B（1，2），C1（5，﹣3）代入得，
解得，
∴直线BC1的解析式为y＝﹣x+，
当y＝0时，﹣x+＝0，解得x＝，
∴点P的坐标为（，0）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
18．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长．
【分析】（1）由AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，可得AM2+NB2＝MN2，根据勾股定理逆定理得出以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，再根据线段勾股分割点的定义即可判断；
（2）设BN＝x，则MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，分两种情形①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2，分别列出方程即可解决问题．
解：（1）点M、N是线段AB的勾股分割点．理由如下：
∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点；
（2）设BN＝x，则MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（10﹣x）2＝x2+16，
解得x＝4.2；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝16+（10﹣x）2，
解得x＝5.8．
综上所述，BN＝4.2或5.8．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．
19．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．
阅读理解：
（1）图1中大正方形的边长为 ，图2中点A表示的数为 ；
迁移应用：
（2）请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图（画出一种即可）．
②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数﹣与2﹣的点，并比较它们的大小．
【分析】（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的边长，即可解决问题；
（2）①先根据图3的面积为5，可得所拼得的大正方形边长为，进而在在图3中画出裁剪线和所拼得的正方形即可；
②在两条数轴上分别找到表示数﹣与2﹣的点即可得知它们的大小．
解：（1）由图可得，点A到原点的距离为：，点A在原点右侧，
∴点A表示的实数为，
故答案为：，；
（2）①如图所示：
②表示数﹣与2﹣的点如图所示：
∴﹣＜2﹣．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
20．问题：探究函数y＝|x|﹣2的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在函数y＝|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
1
0
﹣1
﹣2
﹣1
0
m
…
①m＝ 1 ；
②若A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，则n＝ ﹣10 ；
（3）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象：
根据函数图象可得：
①该函数的最小值为 ﹣2 ；
②已知直线y1＝x与函数y＝|x|﹣2的图象交于C（﹣，﹣）、D（4，2）两点，当y1＜y时x的取值范围是 x＜﹣或x＜4 ．
【分析】（2）①把x＝3代入y＝|x|﹣2，即可求出m；
②把y＝8代入y＝|x|﹣2，即可求出n；
（3）①画出该函数的图象即可求解；
②在同一平面直角坐标系中画出直线y1＝x，根据图象即可求出y1＜y时x的取值范围．
解：（2）①把x＝3代入y＝|x|﹣2，得m＝3﹣2＝1．
故答案为1；
②把y＝8代入y＝|x|﹣2，得8＝|x|﹣2，
解得x＝﹣10或10，
∵A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，
∴n＝﹣10．
故答案为﹣10；
（3）该函数的图象如图，
①该函数的最小值为﹣2；
故答案为﹣2；
②在同一平面直角坐标系中画出直线y1＝x，
由图象可知，y1＜y时x的取值范围是x＜﹣或x＞4．
故答案为x＜﹣或x＞4．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键．
21．当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮我们设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）设1辆A型车载满消毒液一次可运送x吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送y吨，根据“用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据“一次运完19吨消毒液，且恰好每辆车都载满消毒液”，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金＝每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，即可分别求出选用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
解：（1）设1辆A型车载满消毒液一次可运送x吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送y吨，
依题意得：，
解得：．
答：1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨．
（2）依题意得：2a+3b＝19，
∴a＝．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用A型车8辆，B型车1辆；
方案2：租用A型车5辆，B型车3辆；
方案3：租用A型车2辆，B型车5辆．
（3）选用方案1所需租车费为90×8+110×1＝830（元）；
选用方案2所需租车费为90×5+110×3＝780（元）；
选用方案3所需租车费为90×2+110×5＝730（元）．
∵830＞780＞730，
∴选出租车方案3最省钱，最少租车费为730元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，列式计算．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交点为C（3，4）．
（1）求正比例函数与一次函数的关系式．
（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
（3）在y轴上是否存在一点P使△POC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．
【分析】（1）C（3，4）代入y＝k2x可求正比例函数关系式，A（﹣3，0），C（3，4）代入y＝k1x+b可求一次函数关系式；
（2）分两种情况，过D作DE⊥x（y）轴于E，求出DE和OE即可得D坐标；
（3）设点P（0，m），分别表示△POC三边长度，再分情况列方程求出m，即可得答案．
解：（1）A（﹣3，0），C（3，4）代入y＝k1x+b得：
，解得，
∴一次函数关系式为y＝x+2，
C（3，4）代入y＝k2x得：
4＝3k2，解得k2＝，
∴正比例函数关系式为y＝x；
（2）①∠DAB＝90°，过D作DE⊥x轴于E，如图：
由y＝x+2可得B（0，2），
∴OB＝2，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴AB＝＝，
∵△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，
∴AD＝AB，∠ADE＝90°﹣∠DAE＝∠OAB，
而∠DEA＝∠AOB＝90°，
∴△ADE≌△BAO（AAS），
∴AE＝OB＝2，DE＝OA＝3，
∴OE＝OA+AE＝5，
∴D（﹣5，3），
②∠ABD＝90°，过D作DE⊥y轴于E，如图：
同①可得：BE＝OA＝3，DE＝OB＝2，
∴OE＝5，
∴D（﹣2，5），
综上所述，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，D坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）；
（3）存在y轴上的点P，使△POC为等腰三角形，理由如下：
设点P（0，m），而C（3，4），O（0，0），
∴OC＝5，OP＝|m|，CP＝，
①当OP＝OC时，|m|＝5，
∴m＝±5，
∴P（0，5）或（0，﹣5），
②当CP＝OC时，＝5，
∴m＝8或m＝0（舍），
∴P（0，8），
③当CP＝OP时，＝|m|，
∴m＝，
∴P（0，），
综上所述，△POC为等腰三角形，P坐标为（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）．
【点评】本题考查一次函数、等腰三角形、等腰直角三角形等综合知识，解题的关键是分类讨论．
2021-2022学年河南省郑州市八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在3，﹣，π，0，，0.6，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝3：4：5
3．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．36 B．76 C．66 D．12
4．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“卒”的点的坐标分别为（0，2），（﹣1，1），则表示棋子“馬”的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，3） B．（0，3） C．（3，2） D．（1，3）
5．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若m＜﹣1＜n，且m，n是两个连续整数，则m+n的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，下列各曲线中能够表示y是x的函数的（ ）
A． B．
C． D．
8．下列各式是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知关于x的一次函数为y＝ax+2a﹣2，下列说法中正确的个数为（ ）
①若函数图象经过原点，则a＝1；
②若a＝，则函数图象经过第一、三、四象限；
③函数图象与y轴交于点（0，﹣2）；
④无论a取任何实数，函数的图象总经过点（﹣2，﹣2）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．有甲、乙两车从A地出发去B地，甲比乙车早出发，如图中m1、m2分别表示两车离开A地的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．现有以下四个结论：①m1表示甲车，m2表示乙车；②乙车出发4小时后追上甲车；③两车相距100km的时间只有甲车出发11小时的时候；④若两地相距260km，则乙车先到达B地，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
二、填空题（每题3分，共15分）
11．的平方根是 ．
12．对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4＝10．若x⊗（﹣y）＝2，且y⊗（﹣x）＝5，则x+y的值为 ．
13．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在直线y＝kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，则y1 y2．（用“＞”，“＜”或“＝”连接）
14．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），第一次点A跳动至点A1（﹣1，1），第二次点A1跳动至点A2（2，1），第三次点A2跳动至点A3（﹣2，2），第四次点A3跳动至点A4（3，2），依此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则△B'DF的面积为 ．
三、解答题（共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上有一个动点P，若PB+PC的和最小，求点P的坐标．
18．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长．
19．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．
阅读理解：
（1）图1中大正方形的边长为 ，图2中点A表示的数为 ；
迁移应用：
（2）请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图（画出一种即可）．
②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数﹣与2﹣的点，并比较它们的大小．
20．问题：探究函数y＝|x|﹣2的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在函数y＝|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
1
0
﹣1
﹣2
﹣1
0
m
…
①m＝ ；
②若A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，则n＝ ；
（3）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象：
根据函数图象可得：
①该函数的最小值为 ；
②已知直线y1＝x与函数y＝|x|﹣2的图象交于C（﹣，﹣）、D（4，2）两点，当y1＜y时x的取值范围是 ．
21．当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮我们设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交点为C（3，4）．
（1）求正比例函数与一次函数的关系式．
（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
（3）在y轴上是否存在一点P使△POC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在3，﹣，π，0，，0.6，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：3，0是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
，是分数，属于有理数；
0.6是有限小数，属于有理数；
无理数有π，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1），共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝3：4：5
【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误；根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误．
解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
所以△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵a：b：c＝3：4：5，
设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．36 B．76 C．66 D．12
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2＝122+52＝169，
所以x＝13，
所以这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76．
故选：B．
【点评】此题考查了勾股定理的证明，本题是勾股定理在实际情况中的应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
4．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“卒”的点的坐标分别为（0，2），（﹣1，1），则表示棋子“馬”的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，3） B．（0，3） C．（3，2） D．（1，3）
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出棋子“馬”的点的坐标．
解：如图所示：棋子“馬”的点的坐标为（3，2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
5．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的性质分别进行计算．
解：A、±＝±2，故此选项正确；
B、＝4，故此选项错误；
C、＝4，故此选项错误；
D、﹣＝﹣2，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根、平方根、立方根，关键是掌握它们的意义．
6．若m＜﹣1＜n，且m，n是两个连续整数，则m+n的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】估算无理数的大小，进而求出m、n的值，再代入计算即可．
解：∵2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
又∵m＜﹣1＜n，且m，n是两个连续整数，
∴m＝1，n＝2，
∴m+n＝3，
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根是正确估算的前提，求出m、n的值是正确解答的关键．
7．如图，下列各曲线中能够表示y是x的函数的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
解：A、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故A符合题意；
B、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故B不符合题意；
C、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故C不符合题意；
D、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】主要考查了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
8．下列各式是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．根据满足的三个条件进行分析即可．
解：A、共有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义；
B、是分式，不符合二元一次方程组的定义；
C、xy是2次，不符合二元一次方程组的定义；
D、符合二元一次方程组的定义．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
9．已知关于x的一次函数为y＝ax+2a﹣2，下列说法中正确的个数为（ ）
①若函数图象经过原点，则a＝1；
②若a＝，则函数图象经过第一、三、四象限；
③函数图象与y轴交于点（0，﹣2）；
④无论a取任何实数，函数的图象总经过点（﹣2，﹣2）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】把（0，0）代入即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；令x＝0，即可求得函数图象与y轴交于点（0，2a﹣2），即可判断③；把x＝﹣2代入解析式求得y＝﹣2，即可判断④．
解：①∵函数图象经过原点，
∴2a﹣2＝0，
∴a＝1，故正确；
②∵a＝＞0，
∴2a﹣2＝﹣1＜0，
∴函数图象经过第一、三、四象限，故正确；
③当x＝0时，y＝2a﹣2，
∴函数图象与y轴交于点（0，2a﹣2），故错误；
④∵y＝ax+2a﹣2＝a（x+2）﹣2，
∴x＝﹣2时，y＝﹣2，
∴函数的图象总经过（﹣2，﹣2），故正确．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
10．有甲、乙两车从A地出发去B地，甲比乙车早出发，如图中m1、m2分别表示两车离开A地的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．现有以下四个结论：①m1表示甲车，m2表示乙车；②乙车出发4小时后追上甲车；③两车相距100km的时间只有甲车出发11小时的时候；④若两地相距260km，则乙车先到达B地，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
解：由题意可得，
m1表示甲车，m2表示乙车，故①正确；
甲的速度为160÷4＝40（km/h），乙车的速度为120÷（4﹣2）＝60（km/h），
设乙车出发a小时后追上甲车，
60a＝40（a+2），
解得，a＝4，
即乙车出发4小时后追上甲车，故②正确；
当t＝2时，甲乙两车相距40×2＝80（km），故两车相距100km的时间只有在两车相遇之后，
设甲车出发b小时时，两车相距100km，
60（b﹣2）﹣40b＝100，
解得，b＝11，
即两车相距100km的时间只有甲车出发11小时的时候，
而如果甲车出发不到11小时乙就到达B地，则此小题的说法错误，故③错误；
260÷40＝6.5（小时），260÷60＝4（小时），
∵6.5＞4+2，
∴若两地相距260km，则乙车先到达B地，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．的平方根是 ±2 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
解：∵＝4
∴的平方根是±2．
故答案为：±2
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4＝10．若x⊗（﹣y）＝2，且y⊗（﹣x）＝5，则x+y的值为 7 ．
【分析】依据关于“⊗”的一种运算：a⊗b＝2a+b，且x⊗（﹣y）＝2，和y⊗（﹣x）＝5，可得方程组，解方程组即可得到x+y的值．
解：∵x⊗（﹣y）＝2，且y⊗（﹣x）＝5，
∴，
两式相加，可得x+y＝7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组以及有理数的混合运算的运用，根据题意列出方程组是解题的关键．
13．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在直线y＝kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，则y1 ＞ y2．（用“＞”，“＜”或“＝”连接）
【分析】由已知可得k＜0，则直线y＝kx+b随着x的增大而减小，即可求解．
解：∵直线经过第一、二、四象限，
∴k＜0，
∴直线y＝kx+b随着x的增大而减小，
∵﹣2＜1，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
【点评】本题考查一次函数上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的图象及其性质是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），第一次点A跳动至点A1（﹣1，1），第二次点A1跳动至点A2（2，1），第三次点A2跳动至点A3（﹣2，2），第四次点A3跳动至点A4（3，2），依此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是 2023 ．
【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点A2021与点A2022的坐标，进而可求出点A2021与点A2022之间的距离．
解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），
第4次跳动至点的坐标是（3，2），
第6次跳动至点的坐标是（4，3），
第8次跳动至点的坐标是（5，4），
…
第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），
则第2022次跳动至点的坐标是（1012，1011），
第2021次跳动至点A2021的坐标是（﹣1011，1011）．
∵点A2021与点A2022的纵坐标相等，
∴点A2021与点A2022之间的距离＝1012﹣（﹣1011）＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则△B'DF的面积为 ．
【分析】首先根据折叠可得CD＝AC＝3，B′C＝BC＝4，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD＝90°，CE＝EF＝，ED＝AE＝，从而求得B′D＝1，DF＝，即可求出B'F＝．然后再通过∠B′+∠B′DF＝90°，利用直角三角形面积公式求面积即可．
解：连接DF，如图：
根据折叠的性质可知，CD＝AC＝3，B′C＝BC＝4，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B′CF，CE⊥AB，
∴B′D＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝CE，∠EFC＝45°，
∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，
∴∠B′FD＝90°，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，
∴AC•BC＝AB•CE，
∵根据勾股定理求得AB＝5，
∴CE＝，
∴EF＝，ED＝AE＝＝，
∴AD＝2×＝，DF＝EF﹣ED＝，
∴B'F＝BF＝AB﹣AD﹣DF＝，
∵∠B＝∠B′，∠A＝∠CDE＝∠B′DF，
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠B′+∠B′DF＝90°，
∴∠B′FD＝180°﹣（∠B′+∠B′DF）＝180°﹣90°＝90°，
∴S△B′DF＝DF•B′F＝×＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键．
三、解答题（共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先原方程组整理得，然后利用加减消元法解方程组．
解：（1）原式＝4﹣+3﹣2
＝+1；
（2）原方程组整理得，
①﹣②得2y＝0，解得y＝0，
把y＝0代入①得2x＝4，
解得x＝2，
所以原方程组的解为．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．也考查了解二元一次方程组．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上有一个动点P，若PB+PC的和最小，求点P的坐标．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（3）连接BC1交x轴于P点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PB+PC的值最小，再利用待定系数法求出直线BC1的解析式为y＝﹣x+，然后计算函数值为0所对应的自变量的值，从而得到点P的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1的坐标为（2，﹣4）；
（2）△ABC的面积＝2×4﹣×2×1﹣×4×1﹣×3×1＝3.5；
（3）连接BC1交x轴于P点，如图，
∵PC＝PC1，
∴PB+PC＝PB+PC1＝BC1，
∴此时PB+PC的值最小，
设直线BC1的解析式为y＝kx+b，
把B（1，2），C1（5，﹣3）代入得，
解得，
∴直线BC1的解析式为y＝﹣x+，
当y＝0时，﹣x+＝0，解得x＝，
∴点P的坐标为（，0）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
18．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长．
【分析】（1）由AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，可得AM2+NB2＝MN2，根据勾股定理逆定理得出以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，再根据线段勾股分割点的定义即可判断；
（2）设BN＝x，则MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，分两种情形①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2，分别列出方程即可解决问题．
解：（1）点M、N是线段AB的勾股分割点．理由如下：
∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点；
（2）设BN＝x，则MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（10﹣x）2＝x2+16，
解得x＝4.2；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝16+（10﹣x）2，
解得x＝5.8．
综上所述，BN＝4.2或5.8．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．
19．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．
阅读理解：
（1）图1中大正方形的边长为 ，图2中点A表示的数为 ；
迁移应用：
（2）请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图（画出一种即可）．
②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数﹣与2﹣的点，并比较它们的大小．
【分析】（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的边长，即可解决问题；
（2）①先根据图3的面积为5，可得所拼得的大正方形边长为，进而在在图3中画出裁剪线和所拼得的正方形即可；
②在两条数轴上分别找到表示数﹣与2﹣的点即可得知它们的大小．
解：（1）由图可得，点A到原点的距离为：，点A在原点右侧，
∴点A表示的实数为，
故答案为：，；
（2）①如图所示：
②表示数﹣与2﹣的点如图所示：
∴﹣＜2﹣．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
20．问题：探究函数y＝|x|﹣2的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在函数y＝|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
1
0
﹣1
﹣2
﹣1
0
m
…
①m＝ 1 ；
②若A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，则n＝ ﹣10 ；
（3）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象：
根据函数图象可得：
①该函数的最小值为 ﹣2 ；
②已知直线y1＝x与函数y＝|x|﹣2的图象交于C（﹣，﹣）、D（4，2）两点，当y1＜y时x的取值范围是 x＜﹣或x＜4 ．
【分析】（2）①把x＝3代入y＝|x|﹣2，即可求出m；
②把y＝8代入y＝|x|﹣2，即可求出n；
（3）①画出该函数的图象即可求解；
②在同一平面直角坐标系中画出直线y1＝x，根据图象即可求出y1＜y时x的取值范围．
解：（2）①把x＝3代入y＝|x|﹣2，得m＝3﹣2＝1．
故答案为1；
②把y＝8代入y＝|x|﹣2，得8＝|x|﹣2，
解得x＝﹣10或10，
∵A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，
∴n＝﹣10．
故答案为﹣10；
（3）该函数的图象如图，
①该函数的最小值为﹣2；
故答案为﹣2；
②在同一平面直角坐标系中画出直线y1＝x，
由图象可知，y1＜y时x的取值范围是x＜﹣或x＞4．
故答案为x＜﹣或x＞4．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键．
21．当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮我们设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）设1辆A型车载满消毒液一次可运送x吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送y吨，根据“用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据“一次运完19吨消毒液，且恰好每辆车都载满消毒液”，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金＝每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，即可分别求出选用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
解：（1）设1辆A型车载满消毒液一次可运送x吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送y吨，
依题意得：，
解得：．
答：1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨．
（2）依题意得：2a+3b＝19，
∴a＝．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用A型车8辆，B型车1辆；
方案2：租用A型车5辆，B型车3辆；
方案3：租用A型车2辆，B型车5辆．
（3）选用方案1所需租车费为90×8+110×1＝830（元）；
选用方案2所需租车费为90×5+110×3＝780（元）；
选用方案3所需租车费为90×2+110×5＝730（元）．
∵830＞780＞730，
∴选出租车方案3最省钱，最少租车费为730元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，列式计算．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交点为C（3，4）．
（1）求正比例函数与一次函数的关系式．
（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
（3）在y轴上是否存在一点P使△POC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．
【分析】（1）C（3，4）代入y＝k2x可求正比例函数关系式，A（﹣3，0），C（3，4）代入y＝k1x+b可求一次函数关系式；
（2）分两种情况，过D作DE⊥x（y）轴于E，求出DE和OE即可得D坐标；
（3）设点P（0，m），分别表示△POC三边长度，再分情况列方程求出m，即可得答案．
解：（1）A（﹣3，0），C（3，4）代入y＝k1x+b得：
，解得，
∴一次函数关系式为y＝x+2，
C（3，4）代入y＝k2x得：
4＝3k2，解得k2＝，
∴正比例函数关系式为y＝x；
（2）①∠DAB＝90°，过D作DE⊥x轴于E，如图：
由y＝x+2可得B（0，2），
∴OB＝2，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴AB＝＝，
∵△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，
∴AD＝AB，∠ADE＝90°﹣∠DAE＝∠OAB，
而∠DEA＝∠AOB＝90°，
∴△ADE≌△BAO（AAS），
∴AE＝OB＝2，DE＝OA＝3，
∴OE＝OA+AE＝5，
∴D（﹣5，3），
②∠ABD＝90°，过D作DE⊥y轴于E，如图：
同①可得：BE＝OA＝3，DE＝OB＝2，
∴OE＝5，
∴D（﹣2，5），
综上所述，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，D坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）；
（3）存在y轴上的点P，使△POC为等腰三角形，理由如下：
设点P（0，m），而C（3，4），O（0，0），
∴OC＝5，OP＝|m|，CP＝，
①当OP＝OC时，|m|＝5，
∴m＝±5，
∴P（0，5）或（0，﹣5），
②当CP＝OC时，＝5，
∴m＝8或m＝0（舍），
∴P（0，8），
③当CP＝OP时，＝|m|，
∴m＝，
∴P（0，），
综上所述，△POC为等腰三角形，P坐标为（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）．
【点评】本题考查一次函数、等腰三角形、等腰直角三角形等综合知识，解题的关键是分类讨论．
相关试卷
河南省郑州市桐柏一中2021-2022学年八年级上期期中考试数学【试卷+答案】： 这是一份河南省郑州市桐柏一中2021-2022学年八年级上期期中考试数学【试卷+答案】，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省郑州市第四初级中学2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】： 这是一份河南省郑州市第四初级中学2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】，共26页。试卷主要包含了下列各数中最小的数是，在下列实数，中有理数的个数有，下列式子不正确的是，下列说法中正确的有个，如图，在平面直角坐标系上有点A等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省郑州市八年级（下）期中数学试卷： 这是一份2021-2022学年河南省郑州市八年级（下）期中数学试卷，共20页。
