2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．设，其中为实数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据复数相等可得答案.

【详解】，

解得.

故选：D.

2．平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先设出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即可．

【详解】设

①，

，②，

与向量(1，0)夹角为钝角，，③，

由①②③解得，，

故选：D．

3．在△ABC中，，则此三角形中的最大角的大小为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由正弦定理可得出，设，则，，然后根据余弦定理求出即可得出答案.

【详解】由正弦定理可得，，

设，则，，所以最大.

由余弦定理可得，.

因为，所以.

故选：C.

4．下列不能化简为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的加减法以及运算性质，可得答案.

【详解】对于A，，故A不符合题意；

对于B，，故B不符合题意；

对于C，，故C不符合题意；

对于D，，故D符合题意.

故选：D.

5．已知向量，，且，则向量的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由可求得，根据向量夹角公式可求得结果.

【详解】，，

，又，.

故选：D.

6．如图所示，在三棱柱中，底面，，，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为

A． B． C．12 D．

【答案】A

【分析】由线面垂直的判定定理可得BC面，得到直线与侧面所成的角为，然后由题目条件可得AB,BC的长度，从而可得侧面积.

【详解】底面，则，，,可得BC面，所以直线与侧面所成的角为，又，则该三棱柱的侧面积为2，

故选A

【点睛】本题考查线面垂直判定定理的应用和线面角的求法，属于基础题.

7．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意几何体的体积，就是正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，

V正方体−8V三棱锥＝.

【解析】组合几何体的面积、体积问题

8．如图（1）在正方形中，分别是边的中点，沿及把这个正方形折成一个几何体如图(2),使三点重合于, 下面结论成立的是（   ）

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面

【答案】A

【分析】根据折叠前后垂直关系不变可推出A正确，B错误，再由与不垂直判断C，反证法可判断D.

【详解】在折叠过程中，始终有，，

即，又，平面，

平面，所以A正确，B错误；

，是的中点，，故与不垂直，故C错误；

若平面，则，又平面，则，显然矛盾，故D错误.

故选：A.

二、多选题

9．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．存在，使得

C． D．当时，在上的投影向量的坐标为

【答案】CD

【分析】根据平面向量共线的坐标公式即可判断A；根据平面线路垂直的坐标表示即可判断B；根据向量的模的坐标计算即可判断C；根据投影向量的计算公式即可判断D.

【详解】对于A，若，则，解得，故A错误；

对于B，若，则，

即，方程无解，

所以不存在，使得，故B错误；

对于C，，所以，故C正确；

对于D，当时，，，

则在上的投影向量的坐标为，故D正确.

故选：CD.

10．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ）

A．的实部为1 B．

C．的共轭复数为 D．的虚部为

【答案】BD

【分析】由复数除法法则化简复数为代数形式，然后判断各选项．

【详解】因为，所以的实部为，故A是假命题；，故B是真命题；的共轭复数为，故C是假命题；的虚部为，故D是真命题．

故选：BD．

11．下列命题正确的是（     ）

A．平行于同一个平面的两直线平行

B．两条平行直线被两个平行平面所截得的线段相等

C．一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，这两平面平行

D．一条直线与两平行平面中的一平面平行，则与另一平面也平行

【答案】BC

【分析】以长方体为例，举例即可判断A、C、D；根据面面平行的性质定理，可证得线线平行，进而通过证明平行四边形，即可得出B项.

【详解】

对于A项，如图1，长方体中，

平面，平面，

但是，故A项错误；

对于B项，如图2，已知两个平面，，两条直线，

且直线，，，.

因为，所以可构成平面，设为，

则由图可知，，，

根据面面平行的性质定理可知，.

又因为，

所以，四边形为平行四边形，

所以，故B项正确；

对于C项，根据面面平行的判定定理可知，C项正确；

对于D项，如图1，长方体中，

平面，平面平面，

但是平面，故D项错误.

故选：BC.

12．对于，有如下判断，其中正确的判断是（    ）

A．若，则

B．若，则为等腰三角形

C．若，，，则符合条件的有两个

D．若，则是锐角三角形

【答案】AC

【分析】根据三角函数的单调性可判断A选项，根据正弦函数单调性和对称性可判断B选项，利用正弦定理可判断C选项，利用正弦定理及余弦定理可判断D选项.

【详解】对于A：由，则当时，，当时，由可知，所以，故A选项正确；

对于B：由，，，得：或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B选项错误；

对于C：由，，，根据正弦定理得：，，且，所以满足条件的三角形有两个，C选项正确；

对于D：由正弦定理可将转化为，则，所以，但无法判断的范围，D选项错误.

故选：AC.

三、填空题

13．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________．

【答案】

【分析】将直观图还原可得，原图形为平行四边形，根据斜二测画法的法则，结合勾股定理，可得出平行四边形各边长，即可得出答案.

【详解】由已知可得，，

则将直观图还原为原图形如下图

原图形为平行四边形，其中，，，

所以，，

所以，的周长为.

故答案为：.

14．若圆锥的侧面展开图的面积为且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为__________．

【答案】

【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意，结合扇形的弧长公式和面积公式可得，且，解得，再利用圆锥的体积计算公式即可．

【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，

由题意知，且，解得，

∴圆锥的高

∴此圆锥的体积．

故答案为：．

15．一艘船在处看到一个灯塔在北偏东方向，向东行驶后，船到达处，看到灯塔在北偏东方向，这时船与灯塔的距离为________．

【答案】

【分析】结合图形，利用正弦定理求解即可.

【详解】如图，根据题意可知，，，

在中，由正弦定理得，

即，解得.

故答案为：.

16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当________时，平面.

【答案】

【分析】连接AC交BD于O，根据线面平行的性质定理可得，进而即得.

【详解】如图，连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO，

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以点O是AC的中点．    

因为平面，且平面平面，又平面，

所以，

所以点E是SA的中点，即SE∶SA＝1∶2.

故答案为：.

四、解答题

17．向量，若三点共线，则求实数.

【答案】或

【分析】先根据向量减法的运算法则求出，，再利用向量共线的性质列方程求解即可.

【详解】因为，

所以

因为三点共线，

所以与共线，

∴

∴或

【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，以及向量共线的性质，属于中档题. 向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算．

18．已知，.

(1)若，求；

(2)若与垂直，求当为何值时，?

【答案】(1)

(2)3

【分析】(1)根据向量模长公式即可求出结果；

(2)根据与垂直可以求出，根据即可求出的值.

【详解】（1），

，

所以；

（2）因为与垂直，

所以，即，

解得，

当时，，

即，

解得，

所以当时，.

19．如图，已知在长方体中，，，点是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）连接，利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）计算出，利用锥体的体积公式可求得结果.

【详解】（1）因为四边形为矩形，且，则为的中点，

又因为为的中点，则，

平面，平面，因此，平面；

（2）因为，，且为的中点，

所以，，

在长方体中，平面，

因此，.

【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：

（1）通过面面平行得到线面平行；

（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.

20．已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，且

(1)求角C

(2)若，，D为BC的中点，，求△ABC的面积

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解；

（2）根据余弦定理可求CD值，进而可求a，根据三角形面积公式即可求解．

【详解】（1）由题可得，

由余弦定理得，

因为，

所以；

（2）在三角形ADC中，，

即，

解得或，

即或，

因为，所以由正弦定理可得，故，

因为，

所以，故，

所以，

所以．

21．在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.

(1)若，求的面积；

(2)求的取值范围.

条件①；条件②.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件求出角B，再运用正弦定理和余弦定理求出c，用面积公式计算即可；

（2）运用正弦定理，再做恒等变换，根据三角函数的性质求解.

【详解】（1）选条件①，，，又，

，而，故；

选条件②，，，

即，，又，故，

在中，当，，时，

由余弦定理得：，

即，（负值舍去），

所以；

（2）由题设及（1）可知：，，

故由正弦定理得：，

，，故（当且仅当时等号成立），

即；

综上，的面积为，的取值范围是.

22．如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，．

(1)当点M在何位置时，平面?

(2)若平面，求与所成的角的余弦值．

【答案】(1)点为的中点

(2)

【分析】（1）分别取的中点为，连接．可推得四边形为平行四边形，．进而根据线面平行的判定定理，得出线面平行；

（2）由（1）知，与所成的角（或其补角），即等于与所成的角.然后构造直角三角形，可推得，，，进而得出，在中，即可得出答案.

【详解】（1）

如图1所示，分别取的中点为，连接．

因为分别是的中点，

所以，且.

又因为，

所以，所以.

又，所以.

所以四边形为平行四边形，

所以．

因为平面，平面，

所以平面.

所以，当点为的中点时，有平面.

（2）由（1）知，点为的中点，且与异面.

因为，

所以与所成的角（或其补角），即等于与所成的角.

由已知可得，，，

所以.

如图2，取中点为，连接，易知，

则，，

所以，，

所以.

因为是的中点，所以，

所以，，

所以，在中，有，

所以与所成的角的余弦值为．