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2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义:专题24 空间几何体的表面积与体积【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练(新高考通用)原卷版
展开一、考向解读
考向:通过考查几何体体积和表面积的计算,主要考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算,凸显数学运算、直观想象的核心素养
考点:空间几何体的表面积和体积
导师建议:难点是组合体的表面积,需要对基本的立体图形非常熟悉!
二、知识点汇总
1.棱柱:两个面互相平面,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
(1)斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱;
(2)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱;
(3)正棱柱:底面是正多边形的直棱柱;
(4)平行六面体:底面是平行四边形的棱柱;
(5)直平行六面体:侧棱垂直于底面的平行六面体;
(6)长方体:底面是矩形的直平行六面体;
(7)正方体:棱长都相等的长方体.
2.棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
(1)正棱锥:底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心;
(2)正四面体:所有棱长都相等的三棱锥.
3.棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台,由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.
4.圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.
5.圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥.
6.圆台:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台.
7.球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称为球.
表面积公式
体积公式
三、题型专项训练
目录一览
①柱、锥、台的表面积
一、单选题
1.在《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”,已知某“堑堵”的底面是斜边长为的等腰直角三角形,高为,则该“堑堵”的表面积为( )
A.B.C.D.
2.若六棱柱的底面是边长为3的正六边形,侧面为矩形,侧棱长为4,则其侧面积等于( )
A.12B.48C.64D.72
3.某药厂制造一种药物胶囊,如图所示,胶囊的两端为半球形,半径,中间可视为圆柱,若该种胶囊的表面积为,则该种胶囊的体积为( )
A.B.C.D.
4.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图甲所示,其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画,体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑,忽略杯壁厚度),如图乙所示.已知半球的半径为,酒杯内壁表面积为,则圆柱的高和球的半径之比为( )
甲 乙
A.B.C.D.
5.棱长都是1的三棱锥的表面积为( )
A.B.C.D.
6.已知正四棱锥的底面正方形的中心为,若高,,则该四棱锥的表面积是( )
A.B.C.D.
7.已知某圆锥的侧面展开图为半圆,该圆锥的体积为,则该圆锥的表面积为( )
A.27πB.C.D.16π
8.如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形,它由一个圆锥和一个半球组合而成,圆锥的高是0.4m,底面直径和球的直径都是0.6m,现对这个台灯表面涂胶,如果每平方米需要涂200克,则共需涂胶( )克(精确到个位数)
A.176B.207C.239D.270
9.若某正四棱台的上、下底面边长分别为3,9,侧棱长是6,则它的表面积为( )
A.B.C.D.
10.正四棱台的上、下底面边长分别为,,侧棱长为,则棱台的侧面积为( )
A.B.
C.D.
11.已知圆台的上、下底面的半径分别为,,若,高,则该圆台的侧面积为( )
A.B.C.D.
12.已知圆台下底面半径是上底面半径的2倍,若从该圆台中挖掉一个圆锥,圆锥的底面是圆台的上底面,圆锥的顶点是圆台下底面的圆心,则圆锥的侧面积是圆台侧面积的( )
A.B.C.D.
②柱、锥、台的体积
13.《九章算术·商功》中记载:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,不易之率也.”我们可以翻译为:取一长方体,分成两个一模一样的直三棱柱,称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开,得一个四棱锥和一个三棱锥,这个四棱锥称为阳马,这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1,则原长方体的体积是( )
A.8B.6C.4D.3
14.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一,也称陀罗.图1是一种木陀螺,可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体,其直观图如图2所示,其中分别是上、下底面圆的圆心,且,底面圆的半径为2,则该陀螺的体积是( )
A.B.C.D.
15.已知正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为,则三棱锥的体积为( )
A.B.C.1D.
16.已知正四棱锥的高为3,底面边长为,则该棱锥的体积为( )
A.6B.C.2D.
17.一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆,则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
18.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,其形状可视为一个底面周长恰为高的倍的正四棱锥,现将一个棱长为的正方体铜块,熔化铸造一些高为的胡夫金字塔模型,则该铜块最多能铸造出( )个该金字塔模型(不计损耗)?
A.B.C.D.
19.圆台上、下底面半径分别是,高为,这个圆台的体积是( )
A.B.C.D.
20.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面的半径分别为4和5,则该圆台的体积为( )
A.B.C.D.
21.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示,该几何体为上、下底面周长分别为,的正四棱台,若棱台的高为,忽略收纳罐的厚度,则该香料收纳罐的容积为( )
A.B.C.D.
22.如图,是某种型号的家用燃气瓶,其盛气部分近似可以看作由一个半球和一个圆柱体组成,设球的半径为R,圆柱体的高为h,若要保持圆柱体的容积为定值立方米,则为使制造这种燃气瓶所用材料最省(温馨提示:即由半球和圆柱体组成的几何体表面积最小),此时( )
A.B.C.D.
23.圆柱的高等于球的直径,圆柱的侧面积等于球的表面积,设球的体积为V,则圆柱的体积为( )
A.B.C.D.
③球的表面积和体积
24.在正四棱台中,,且各顶点都在同一球面上,则该球体的表面积为( )
A.B.C.D.
25.某同学在参加《通用技术》实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为,则该球的体积是( )
A.B.C.D.
26.用与球心距离为的平面去截球,截面面积为,则球的体积为( )
A.B.C.D.
27.已知圆锥的底面半径为2,高为,则该圆锥内切球的体积为( )
A.B.C.D.
④多面体的表面积和体积
28.如图,“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成,球的半径为2,圆柱的底面半径为1,高为3,则该几何体的表面积为( )
A.B.C.D.
29.金刚石的成分为纯碳,是自然界中天然存在的最坚硬物质,它的结构是由8个等边三角形组成的如图所示的正八面体.若某金刚石的棱长为2,则它的表面积为( )
A.8B.C.D.
30.如图,在多面体中,已知是边长为1的正方形,且均为正三角形,,则该多面体的表面积为( )
A.B.C.D.
31.何尊是我国西周早期的青铜礼器,其造形浑厚,工艺精美,尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载.何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体,高约为40cm,上口直径约为28cm,下端圆柱的直径约为18cm.经测量知圆柱的高约为24cm,则估计该何尊可以装酒(不计何尊的厚度,,)( )
A.B.
C.D.
32.如图,该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的,若正方体的棱长为1,则该几何体的体积为( )
A.B.C.D.
33.西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一,是一款非常实用的泡茶工具(如图1).西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体.球缺的体积(R为球缺所在球的半径,h为球缺的高).若一个西施壶的壶身高为8cm,壶口直径为6cm(如图2),则该壶壶身的容积约为(不考虑壶壁厚度,π取3.14)( )
A.494mlB.506mlC.509mlD.516ml
34.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具,某盲盒生产厂商准备将棱长为的正四面体的魔方放入正方体盲盒内,为节约成本,使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时,盲盒内剩余空间的体积为( )
A.B.C.D.
⑤多选题和填空题
二、多选题
35.圆柱的侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形,则这个圆柱的体积可能是( )
A.B.
C.D.
36.如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,下列结论正确的是( )
A.圆柱的侧面积为B.圆锥的侧面积为
C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.三个几何体的表面积中,球的表面积最小
37.正三棱锥底面边长为3,侧棱长为,则下列叙述正确的是( )
A.正三棱锥高为3B.正三棱锥的斜高为
C.正三棱锥的体积为D.正三棱锥的侧面积为
38.有一个三棱锥,其中一个面为边长为2的正三角形,有两个面为等腰直角三角形,则该几何体的体积可能是( )
A.B.C.D.
39.“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》有如下叙述:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵.其一为阳马,其一为鳖臑”.意思是说:将一个长方体沿对角面斜截(图1),得到一模一样的两个堑堵(图2),再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截(图2),得一个四棱锥称为阳马(图3),一个三棱锥称为鳖臑(图4).
若长方体的体积为V,由该长方体斜截所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为,则下列选项不正确的是( )
A.B.C.D.
40.已知圆锥的表面积等于,其侧面展开图是一个半圆,则以下结论正确的是( )
A.圆锥底面圆的半径为2cm
B.该圆锥的内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上,上底面在圆锥的侧面上)的侧面积的最大值为
C.该圆锥的内接圆柱的体积的最大值时,圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为
D.该圆锥的内切球的表面积为
三、填空题
41.已知某一个圆锥的侧面积为,底面积为,则这个圆锥的体积为________.
42.已知一个圆柱的高不变,它的体积扩大为原来的4倍,则它的侧面积扩大为原来的___________倍.
43.市面上出现某种如图所示的冰激凌,它的下方可以看作一个圆台,上方可以看作一个圆锥,对该组合体进行测量,圆台下底面半径为,上底面半径为,高为,上方的圆锥高为,则此冰激凌的体积为_______.
44.一个正四棱锥的高为7,底面边长为10,若正四棱锥的五个顶点恰好在一个球面上,则该球的半径为_________.
45.设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为2,3,体积分别为,,若它们的侧面积相等,则的值是______.
46.如图,一个正六棱柱的茶叶盒,底面边长为,高为,则这个茶叶盒的表面积约为______.(精确到0.1,)
47.如图甲是一水晶饰品,名字叫梅尔卡巴,其对应的几何体叫星形八面体,也叫八角星体,是一种二复合四面体,它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成,且所有面都是全等的小正三角形,如图乙所示.若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2,则该星形八面体的体积为______.
48.无穷符号在数学中是一个重要的符号,该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利,某校在一次数学活动中以无穷符号为创意来源,设计了如图所示的活动标志,该标志由两个半径分别为15和20的实心小球相交而成,球心距,则该标志的体积为___________.
附:一个半径为的球被平面截下的一部分叫做球缺,截面叫做球缺的底面,垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高(记为),球缺的体积公式为.
四、高考真题精选
一、单选题
1.(2020·天津·统考高考真题)若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.B.C.D.
2.(2021·全国·统考高考真题)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为( )
A.B.C.D.
3.(2022·全国·统考高考真题)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.B.C.D.
4.(2022·全国·统考高考真题)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时,相应水面的面积为;水位为海拔时,相应水面的面积为,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔上升到时,增加的水量约为()( )
A.B.C.D.
5.(2021·天津·统考高考真题)两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在球面上,若球的体积为,两个圆锥的高之比为,则这两个圆锥的体积之和为( )
A.B.C.D.
6.(2022·全国·统考高考真题)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为,侧面积分别为和,体积分别为和.若,则( )
A.B.C.D.
7.(2022·天津·统考高考真题)如图,“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象,重叠后的底面为正方形,直三棱柱的底面是顶角为,腰为3的等腰三角形,则该几何体的体积为( )
A.23B.24C.26D.27
8.(2022·全国·统考高考真题)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为( )
A.B.C.D.
二、多选题
9.(2022·全国·统考高考真题)如图,四边形为正方形,平面,,记三棱锥,,的体积分别为,则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
10.(2020·山东·统考高考真题)已知球的直径为2,则该球的体积是______.
11.(2020·江苏·统考高考真题)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.
12.(2020·海南·高考真题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M、N分别为BB1、AB的中点,则三棱锥A-NMD1的体积为____________
五、题型精练,巩固基础
一、单选题
1.(2022·内蒙古巴彦淖尔·校考一模)一个正方体的顶点都在同一个球的球面上,该正方体的棱长为a,则球的表面积是( )
A.B.C.D.
2.(2022·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测)在世界文化史上,陀螺的起源甚早,除了南极洲外,在其他大陆都有发现.<<世界图书百科全书>>这样写道:“没有人准确知道人们最初玩陀螺的时间.但古希腊儿童玩过陀螺,而在中国和日本,陀螺成为公众娱乐已有几百年的时间.”已知一陀螺圆柱体部分的高,圆锥体部分的高,底面圆的直径,这个陀螺的表面积( )
A. B.C.D.
3.(2022·河南·统考一模)已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为、,高为,则该圆台的体积为( )
A.B.C.D.
4.(2023·新疆阿勒泰·统考一模)已知一个圆锥的底面积为,侧面积为,则该圆锥的体积为( ).
A.B.C.D.
5.(2023·江苏南京·校考一模)中学开展劳动实习,学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片,如图所示,裁掉阴影部分,然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒,则此包装盒的体积为( )
A.144B.72C.36D.24
6.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)《九章算术·商功》中记载:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,不易之率也.”我们可以翻译为:取一长方体,分成两个一模一样的直三棱柱,称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开,得一个四棱锥和一个三棱锥,这个四棱锥称为阳马,这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1,则原长方体的体积是( )
A.8B.6C.4D.3
7.(2023·陕西榆林·统考二模)已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上,是边长为的等边三角形,若三棱锥体积的最大值是,则球的表面积是( )
A.B.C.D.
8.(2023·陕西商洛·统考一模)若圆锥高的平方等于其底面圆的半径与母线的乘积,则称此圆锥为“黄金圆锥”.现有一个黄金圆锥,则该黄金圆锥侧面积与表面积的比值是( )
A.B.C.D.
9.(2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模)已知直角三角形ABC,,,,现将该三角形沿斜边AB旋转一周,则旋转形成的几何体的体积为( )
A.B.C.D.
10.(2022·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测)米斗是我国古代官仓,粮栈、米行必备的用具,是称量粮食的量器.如图是一种米斗,可盛米10升(1升=1000cm3),已知盛米部分的形状为正四棱台,且上口宽为18cm,下口宽为24cm,则高约为( )
A.18.8cmB.20.4cmC.22.5cmD.24.2cm
11.(2022·广东广州·统考一模)红灯笼,起源于中国的西汉时期,两千多年来,每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼,营造一种喜庆的氛围.如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成,上下两部分是两个相同的圆柱的侧面,中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2,球冠是由球面被平面截得的一部分,垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高,若球冠所在球面的半径为,球冠的高为,则球冠的面积.如图1,已知该灯笼的高为58cm,圆柱的高为5cm,圆柱的底面圆直径为14cm,则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为( )
A.B.C.D.
12.(2022·上海奉贤·统考一模)紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石飘壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台.如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:),那么该壶的容积约接近于( )
A.B.C.D.
13.(2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模)中国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”介绍了几何体“方锥”:“今有方锥,下方二丈七尺,高二丈九尺.”意思是有一个正四棱锥,底面边长为27尺,高为29尺.如图为两个这样的方锥组成的组合体的三视图,若图中的三角形均为等腰三角形,俯视图中的四边形为正方形,则该组合体的表面积约为( )(参考数据:,,)
A.3132平方尺B.3456平方尺C.3861平方尺D.4185平方尺
14.(2023·重庆·统考模拟预测)如图,生活中有很多球缺状的建筑.球被平面截下的部分叫做球缺,截面叫做球缺的底面,球缺的曲面部分叫做球冠,垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球冠面积公式为,球缺的体积公式为,其中R为球的半径,H为球缺的高.现有一个球被一平面所截形成两个球缺,若两个球冠的面积之比为,则这两个球缺的体积之比为( ).
A.B.C.D.
二、多选题
15.(2023·全国·模拟预测)圆柱的侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形,则这个圆柱的体积可能是( )
A.B.
C.D.
16.(2022·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测)“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美.某天小明在广场上发现了如图1所示的一个石凳,其形状是将一个正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”(如图2所示).小明用卷尺测量出这个石凳的高度为50cm,他给出了如下判断,请你指出小明的哪些判断是正确的( )
A.这个石凳共有24条棱,12个顶点,14个面
B.一个体积为1立方米的正方体石料可以切割出8个这样的石凳(不计损耗)
C.这个石凳也可以由一个直径为70cm的球形石料切割而成(不计损耗)
D.如果将这个石凳三角形的那个面水平放置,石凳的高度会增加
17.(2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测)攒尖是中国传统建筑表现手法,是双坡屋顶形式之一,多用于面积不大的建筑,如塔、亭、阁等,常用于圆形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上,形成圆攒尖和多边形攒尖.以四角攒尖为例,如图,它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥,已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°,侧棱长为米,则该正四棱锥的( )
A.底面边长为4米B.侧棱与底面所成角的正弦值为
C.侧面积为平方米D.体积为32立方米
18.(2022·湖南长沙·湖南师大附中校考三模)如图,水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽,水面高度为2,水槽侧面上有一个小孔E,点E到直线CD的距离为3,将该水槽绕CD倾斜(CD始终在桌面上)至恰有水从小孔流出,则在倾斜过程中,下列说法正确的有( )
A.没水的部分始终呈四棱柱形
B.水面始终经过水槽的外接球的球心
C.水面的面积为定值
D.E到桌面的最小距离为
19.(2022·广东茂名·统考二模)某一时段内,从天空降落到地面上的液态或固态的水,未经蒸发,而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量.24h降雨量的等级划分如下:
在一次暴雨降雨过程中,小明用一个大容量烧杯(如图,瓶身直径大于瓶口直径,瓶身高度为50cm,瓶口高度为3cm)收集雨水,容器内雨水的高度可能是( )
A.20cmB.22cmC.25cmD.29cm
20.(2023·云南丽江·统考一模)如图所示,圆柱OO1内有一个棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,正方体的顶点都在圆柱上下底面的圆周上,E为BD上的动点,则下面选项正确的是( )
A.△面积的最小值为
B.圆柱OO1的侧面积为
C.异面直线AD1与C1D所成的角为
D.四面体A1BC1D的外接球的表面积为
21.(2023·安徽马鞍山·统考一模)已知圆台的轴截面如图所示,其上、下底面半径分别为,,母线长为2,点为的中点,则( )
A.圆台的体积为
B.圆台的侧面积为
C.圆台母线与底面所成角为60°
D.在圆台的侧面上,从点到点的最短路径长为4
22.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)折扇在我国已有三四千年的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面,是运筹帷幄,决胜千里,大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3,且,则该圆台( )
A.高为B.表面积为
C.体积为D.上底面积、下底面积和侧面积之比为
三、填空题
23.(2022·内蒙古呼伦贝尔·统考二模)交通锥,又称雪糕筒,是一种交通隔离警戒设施.如图,某圆锥体交通锥的高为12,侧面积为,则该圆锥体交通锥的体积为______.
24.(2022·河南·校联考模拟预测)我国有着丰富悠久的“印章文化”,古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成,本是官员或私人签署文件时代表身份的信物,后因其独特的文化内涵,也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件,除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体,如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等,且底面边长均为2,若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上,则这个球的表面积为______.
25.(2022·天津红桥·统考二模)两个圆锥的底面是一个球的同一个截面,顶点均在球面上,若球的体积为,两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为______.
26.(2022·湖南岳阳·统考模拟预测)某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒,每盒可装7个球形巧克力,每盒只装一层,相邻的球形巧克力相切,与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切,如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面,设包装盒的底面半径为,球形巧克力的半径为,每个球形巧克力的体积为,包装盒的体积为,则 ________
27.(2023·云南昭通·校考模拟预测)在三棱锥中, , ,,且两两垂直,则此三棱锥外接球的体积是______.
28.(2023·四川·校联考模拟预测)已知圆锥的侧面展开图为半圆,其内切球的体积为,则该圆锥的高为________.
29.(2023·广西梧州·统考一模)若一个正四棱台的上下底面的边长分别为2和4,侧棱长为,则这个棱台的体积为______.
30.(2023·四川泸州·统考二模)已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上,若该圆柱的高是底面半径的2倍,则该圆柱的侧面积为________.
表面积
柱体
为直截面周长
锥体
台体
球
体积
柱体
锥体
台体
球
①柱、锥、台的表面积
②柱、锥、台的体积
③球的表面积和体积
④组合体的表面积和体积
⑤多选题与填空题
高考题精选
题型精练,巩固基础
等级
24h降用量(mm)
小雨
(0,10)
中雨
[10,25)
大雨
[25,50)
暴雨
[50,100)
大暴雨
[100,250)
特大暴雨
[250,+∞)
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