2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题20 椭圆【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）原卷版

【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2023年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）

专题20  椭圆      

考向：高考中椭圆的考查主要是它的标准方程和离心率等。基础知识点是椭圆的方程与性质，其中对称性的考查一般体现在小压轴中。标准方程的考查主要是解答题第一问，一般结合直线或者圆，要重点掌握好！

考点：椭圆的标准方程和性质。

导师建议：重视椭圆的定义，在较难选择填空中往往作为隐含条件！

1.椭圆的定义

平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：

注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．

2.椭圆的方程与性质

【常用结论】

1.过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．

2.焦点三角形面积公式：

目录一览

一、单选题

1．点在椭圆上，是的两个焦点，若，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

2．已知，是椭圆的两个焦点，P是C上一点（端点除外），则的周长为（    ）

A．14 B．16 C． D．

3．已知点P为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（    ）

A． B． C．1 D．3

4．设为椭圆上的一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则等于（    ）

A． B． C． D．

5．已知椭圆，分别是椭圆C的焦点，过点的直线交椭圆C于A，B两点，若，则（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

6．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

7．已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则（    ）

A．2 B．1 C． D．4

8．已知椭圆的一个焦点为，则实数的值为（    ）

A． B．2 C． D．

9．已知椭圆C的焦点为，．过点的直线与C交于A，B两点．若的周长为12，则椭圆C的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

10．若椭圆的中心为坐标原点､焦点在轴上；顺次连接的两个焦点､一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接的四个顶点构成四边形的面积为，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

11．已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

12．河南一国家级湿地，以其独特的地理环境和良好的生态环境，吸引了全国近三分之一的鸟种在此繁衍生息，成了鸟类自然保护区.天鹅戏水、白鹭觅食，形成了一幅群鸟嬉戏的生态美景.该保护区新建一个椭球形状的观鸟台，椭球的一部分竖直埋于地下，其外观的三视图（单位：米）如下，正视图中椭圆（部分）的长轴长为16米，则该椭球形状观鸟台的最高处到地面的垂直高度为（    ）

A．8米 B．10米 C．12米 D．16米

13．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ）

A．1 B．3 C．7 D．9

14．已知椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，则的离心率等于（    ）

A． B． C． D．

15．有关椭圆叙述错误的是（       ）

A．长轴长等于4 B．短轴长等于4

C．离心率为 D．的取值范围是

16．点与椭圆的位置关系为（    ）

A．在椭圆上 B．在椭圆内 C．在椭圆外 D．不能确定

17．已知椭圆C：+=1的离心率为，则C的长轴长为（    ）

A．8 B．4 C．2 D．4

18．在天文学上，航天器绕地球运行的椭圆轨道上距离地心最远的一点，称为远地点：距离地心最近的一点，称为近地点．远地点与地球表面的最短距离称为远地点高度；近地点与地球表面的最短距离称为近地点高度．已知某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，地球（视为一个球体）的半径为R．若该航天器的远地点高度为5R，所在椭圆轨道的离心率为，则该航天器的近地点高度为（    ）

A．R B．2R C．3R D．4R

19．“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度．某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水．根据该同学的说法，若有一个如图①所示圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口的距离为，若按图②的方式盛水，木桶倾斜到与水平面成时，水面刚好与左边缺口最低处和右侧桶口齐平，并形成一个椭圆水面，且为椭圆的长轴，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

20．已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过点的直线交椭圆于A、B两点，若的周长为8，则C的方程为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

21．已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（    ）

A． B．

C． D．

22．已知是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，则下列结论正确的有(    )

A．椭圆的离心率为 B．

C． D．的最大值为

23．已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（    ）

A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率

C．椭圆的短轴长为4 D．的面积的最大值是4

24．已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（    ）

A．m的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在y轴上，则

C．若，则该椭圆的焦距为4 D．若，则该椭圆经过点

25．若n，m，成等比数列，则圆锥曲线的离心率可以是（    ）

A． B． C． D．2

26．加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（    ）

A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为

C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18

27．已知是双曲线的左、右焦点，是C上一点，若C的离心率为，连结交C于点B，则（    ）

A．C的方程为 B．

C．的周长为 D．的内切圆半径为

28．已知分别为椭圆和双曲线的公共左，右焦点，（在第一象限）为它们的一个交点，且，直线与双曲线交于另一点，若，则下列说法正确的是（    ）

A．的周长为 B．双曲线的离心率为

C．椭圆的离心率为 D．

三、填空题

29．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则______________.

30．经过和两点的椭圆的标准方程为______．

31．中心在坐标原点，焦点在x轴上且焦距是8，离心率等于的椭圆的标准方程为__________.

32．以为焦点的椭圆上有一动点M，则的最大值为___________.

33．设，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，则的面积为_____________．

34．已知椭圆的上、下顶点分别为，左顶点为，若，则椭圆的离心率为__________.

35．已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则______.

36．已知点是椭圆上的一点，且位于第一象限内，以点及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，则点的坐标为______.

37．设椭圆C：的左､右焦点分别为，，P是C上的点，，，则C的离心率为___________.

38．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线，交椭圆于点，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为__________．

一、单选题

1．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（    ）

A．或 B．或 C． D．

2．（2023·山西大同·校联考模拟预测）已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（    ）

A． B． C． D．

3．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

4．（2022·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知分别为椭圆的左右焦点，点P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，则是（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ）

A． B． C． D．

6．（2022·江西九江·统考三模）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则（    ）

A． B． C． D．

7．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2022·福建福州·统考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则（    ）

A．的离心率为 B．的周长为

C． D．

10．（2022·山东临沂·统考三模）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（    ）

A．椭圆的长轴长为

B．线段AB长度的取值范围是

C．面积的最小值是4

D．的周长为

三、填空题

11．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为___．

12．（2022·上海虹口·统考二模）已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于_________.

一、单选题

1．（2022·河南郑州·校联考二模）已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2022·贵州黔东南·统考一模）设P为椭圆上一点，分别是C的左，右焦点．若，则（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·四川成都·统考一模）“”是“方程表示椭圆”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（2022·河南·校联考模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，以C的上､下顶点和一个焦点为顶点的三角形的面积为48，则椭圆的长轴长为（    ）

A．5 B．10 C．15 D．20

5．（2022·全国·模拟预测）已知是椭圆的一个焦点，，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于，的一点，若面积的最大值为，则椭圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

6．（2022·江苏常州·华罗庚中学校考模拟预测）阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（    ）

A． B． C． D．

7．（2022·青海海东·统考一模）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，若的垂直平分线过的下顶点，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．（2022·内蒙古通辽·统考二模）椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

9．（2022·江苏无锡·统考模拟预测）设是椭圆的左，右焦点，过的直接l交椭圆于A，B两点，则的最大值为（    ）

A．14 B．13 C．12 D．10

10．（2022·新疆克拉玛依·统考三模）已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点，且，若，则的离心率为（    ）

A． B．

C． D．

11．（2022·广东汕头·统考二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为，，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

12．（2022·湖北·孝昌县第一高级中学校联考三模）已知椭圆的上顶点，左右焦点分别为，连接，并延长交椭圆于另一点P，若，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

13．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）若椭圆的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有（    ）

A． B． C．  D．2

14．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在轴上方，若的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则（    ）

A．点在第一象限 B．的面积为

C．的斜率为 D．直线和圆相切

15．（2022·福建三明·三明一中校考模拟预测）设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率可以是（    ）

A． B． C． D．2

16．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（    ）

A．椭圆的离心率的取值范围是

B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是

C．存在点使得

D．的最小值为2

17．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的值可能为（    ）

A．7 B．10 C．17 D．19

18．（2023·安徽蚌埠·统考二模）球冠是指球面被平面所截得的一部分曲面，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．小明撑伞站在太阳下，撑开的伞面可以近似看作一个球冠．已知该球冠的底半径为，高为．假设地面是平面，太阳光线是平行光束，下列说法正确的是（    ）

A．若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为，则伞在地面的影子是圆

B．若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为，则伞在地面的影子是椭圆

C．若伞柄与太阳光线平行，太阳光线与地面所成角，则伞在地面的影子为椭圆，且该椭圆离心率为

D．若太阳光线与地面所成角为，则小明调整伞柄位置，伞在地面的影子可以形成椭圆，且椭圆长轴长的最大值为

三、填空题

19．（2022·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为___________.

20．（2022·云南红河·校考模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若，则点P到焦点的距离为_________________．

21．（2022·浙江·模拟预测）已知椭圆：和双曲线：，若的一条渐近线被圆截得的弦长为，则椭圆的离心率e为______．

22．（2022·河北张家口·统考三模）已知椭圆的左､右焦点分别为，，AB是椭圆过点的弦，点A关于原点O的对称点为，，且，则椭圆的离心率为___________.