2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题17 数列综合应用【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）原卷版

【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2023年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）

专题17  数列综合      

考向：数列部分高考题一般是中等难度，分数在10-17分，一般以等差、等比数列的定义、性质或以通项公式、前n项和公式为基础考点，结合数列的递推公式进行命题，侧重于数列的基本量运算、数列的概念及表示法的理解。

考点：数列的递推公式、等差、等比数列的性质、通项公式及前n项和公式、数列求和、构造新数列求通项、求和、数列有关的数学文化问题。

导师建议：新文化题主要是读题抓住题眼，同时找到q的式子也是解决问题的关键！

1.数列的第n项与前n项的和的关系

( 数列的前n项的和为).

2.等差数列的通项公式

；

3.等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。

4.等差数列前n项和公式为.

5.等比数列的通项公式；

6.等比中项：若成等比数列，则A叫做与的等差中项，且。

7.等比数列前n项的和公式为或.

【常用结论】

1.

2.;

3.构成等差数列.

4.是关于的一次函数或常数函数，数列也是等差数列.

5.在等差数列，中，它们的前项和分别记为则.

6.().

7.若,则()

8.公比时,,,,成等比数列().

目录一览

一、单选题

1．在递增等比数列中，，且是和的等差中项，则（    ）

A．256 B．512 C．1024 D．2048

2．已知等比数列中，若，且成等差数列，则（ ）

A．2 B．2或32 C．2或-32 D．-1

3．已知各项均为正数的数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为5，则（    ）

A．29 B．31 C．33 D．35

4．已知各项均为正数的等比数列的前项和为若，，成等差数列，则数列的公比为　　

A． B． C．2 D．3

5．已知是各项不相等的等差数列，若，且成等比数列，则数列的前6项和（    ）

A．84 B．144 C．288 D．110

6．已知递增等差数列中，且是，的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（    ）

A．180 B．198 C．189 D．168

7．正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（    ）

A．4 B．8 C．32 D．64

8．各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则

A．4 B．8 C．16 D．64

9．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（    ）

A． B．

C． D．

10．设为等差数列的前n项和．已知，，则（　　）

A．为递减数列 B．

C．有最大值 D．

11．已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ）

A．数列为递增数列 B．

C．的最大值为 D．

12．等差数列的前项的和为，已知，，则等差数列的前项的和中，最小值为（    ）.

A． B． C． D．

13．在数列中，“”是“数列为严格递增数列”的（    ）．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

14．已知等比数列的前n项和为，若，，且，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

15．已知数列中，，且是等差数列，则（    ）

A．36 B．37 C．38 D．39

16．在数列中，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

17．数列中，，（为正整数），则的值为（    ）

A． B． C． D．

18．已知数列的前项和，且，则（    ）

A． B． C． D．

19．在数列中，，，若，则的最小值是（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

20．已知数列中，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

21．已知数列中，且，则为（    ）

A． B． C． D．

22．在数列中，，，则的值为(    )

A． B． C． D．无法确定

23．若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为，若数列满足，则数列的前n项和（    ）

A． B．

C． D．

24．已知数列满足，，令，则数列的前2022项和（    ）

A． B． C． D．

25．记表示不超过实数x的最大整数，记，则（    )

A．18154 B．18164 C．18174 D．前三个选项都不对

26．已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（    ）

A． B． C． D．

27．已知数列的前项和为，，当时，，则等于（    ）

A．1008 B．1009 C．1010 D．1011

28．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ）

A．134 B．135 C．136 D．137

29．我们都听说过一个著名的关于指数增长的故事：古希腊著名的数学家、思想家阿基米德与国王下棋.国王输了，问阿基米德要什么奖赏？阿基米德说：“我只要在棋盘上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按此方法放到这棋盘的第64个格子就行了.”通过计算，国王要给阿基米德粒米，这是一个天文数字.年后，又一个数学家小明与当时的国王下棋，也提出了与阿基米德一样的要求，由于当时的国王已经听说过阿基米德的故事，所以没有同意小明的请求.这时候，小明做出了部分妥协，他提出每一个格子放的米的个数按照如下方法计算，首先按照阿基米德的方法，先把米的个数变为前一个格子的两倍，但从第三个格子起，每次都归还给国王一粒米，并由此计算出每个格子实际放置的米的个数.这样一来，第一个格子有一粒米，第二个格子有两粒米.第三个格子如果按照阿基米德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于归还给国王一粒米，就剩下三粒米；第四个格子按照阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩下五粒米.“聪明”的国王一看，每个格子上放的米的个数都比阿基米德的方案显著减少了，就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，请你计算个格子一共能得到（    ）粒米.

A． B． C． D．

30．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1，，，，构成数列，其前n项和为，则（    ）

A． B． C． D．

31．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚十六尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是：今有土墙厚尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠相逢需要的最少天数为（    ）

A． B． C． D．

32．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，现将大衍数列各数按照如图排列形成一个数表，则该数表中第8行第3个数是（   ）

A．152 B．480 C．512 D．840

33．大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前项为：、、、、、、、、、，通项公式为，若把这个数列排成下侧形状，并记表示第行中从左向右第个数，则的值为（    ）

A． B．

C． D．

34．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：，．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（    ）

A． B． C． D．

35．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，，则数列的前20项和是（    ）

A．110 B．100 C．90 D．80

一、单选题

1．（2022·北京·统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2018·广东江门·校联考一模）已知数列的前项和，若，，则的最大值为（   ）

A．60 B．57 C．54 D．51

3．（2020·北京·统考高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（    ）．

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

4．（2020·云南昆明·云南民族大学附属中学校考一模）已知数列的前项和满足.若对任意正整数都有恒成立，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

5．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·全国·统考高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8．（2021·北京·统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则

A．64 B．96 C．128 D．160

9．（2022·贵州·校联考模拟预测）如图所示的三角形叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻的两数的和，如，则第8行第4个数（从左往右数）为（    ）

A． B． C． D．

10．（2022·河南驻马店·河南省驻马店高级中学校考模拟预测）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2022这2022个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ）

A．58 B．57 C．56 D．55

11．（2022·河南洛阳·新安县第一高级中学校考模拟预测）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是（    ）

A．插入的第8个数为 B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍

C．  D．

12．（2022·江苏连云港·江苏省赣榆高级中学校考模拟预测）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（    ）．

A．7 B．8 C．9 D．10

一、单选题

1．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知数列中，，，则数列的前10项和（    ）

A． B． C． D．2

2．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，若，，且，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．（2023·甘肃兰州·校考一模） 数列满足，且对任意的都有，则的前100项和为

A． B． C． D．

4．（2022·广东·统考三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（    ）

A． B． C． D．

5．（2023·山东潍坊·校考一模）已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（    ）

A．数列为等比数列 B．数列为等比数列

C． D．

6．（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）在数列中，且，则它的前项和（    ）

A． B． C． D．

7．（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）《孙子算经》一书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加3颗．问：五人各得几何？”其大意为“有5人分60个橘子，他们分得的橘子数构成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？”根据上述问题的已知条件，则分得橘子最多的人所得的橘子数为（    ）

A．15 B．16 C．17 D．18

8．（2022·河北邯郸·统考二模）在我国古代著作《九章算术》中，有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人与下三人等，问各得几何？”意思是有五个人分五钱，这五人分得的钱数从多到少成等差数列，且得钱最多的两个人的钱数之和与另外三个人的钱数之和相等，问每个人分别分得多少钱．则这个等差数列的公差d＝（    ）

A．－ B．－ C．－ D．－

9．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）将数列中的所有项排成如下数阵：

……

已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数……，成等差数列，且．从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，则下列结论错误的为（   ）

A． B．

C．位于第85列 D．

10．（2023·江苏南通·统考模拟预测）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（    ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）

A．105 B．107 C．1012 D．1015

11．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）如图，正方形的边长为5，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.则从正方形开始，连续10个正方形的面积之和等于（    ）

A． B．

C． D．

12．（2022·北京·北京八十中校考模拟预测）数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.

不妨记第个图中的图形的周长为，则（    ）

A． B． C． D．