2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题19 圆的方程【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版

这是一份2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题19 圆的方程【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版，共44页。试卷主要包含了考向解读，知识点汇总，题型专项训练，高考真题及模拟题精选，题型精练，巩固基础等内容，欢迎下载使用。

【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2023年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）
专题19 圆的方程
一、考向解读



考向：高考中圆的方程一般与直线结合考查，选择题填空题都有，基础知识点是圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等。作为平面解析几何的基础内容，也会综合圆锥曲线考查，比较重要！
考点：圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系。
导师建议：重视圆的方程的求法，掌握基础知识点即可！
二、知识点汇总



1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系
相离
相切
相交
图形



量化
方程
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何
d>r
d＝r
d 2.圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图形





量的关系
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
公切线条数
4
3
2
1
0

【常用结论】
直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝·.
三、题型专项训练


目录一览
①圆的方程的求法
②圆与圆的位置关系
③直线与圆的位置关系
④圆的弦长
⑤关于直线和圆的距离问题
⑥多选题与填空题
高考题及模拟题精选
题型精练，巩固基础
①圆的方程的求法



一、单选题
1．圆的圆心坐标和半径分别为（    ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】利用圆的一般方程的圆心和半径公式，即得解
【详解】可化为，
由圆心为，半径，易知圆心的坐标为，半径为.
故选：C
2．圆心为，且过的圆的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件求出圆的半径，再直接写出方程作答.
【详解】因圆的圆心为，且过，则圆的半径，
所以所求圆的方程为：.
故选：C
3．过，，三点的圆的一般方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设所求的圆的方程为，代入已知点得方程组，求解可得圆的方程.
【详解】解：设所求的圆的方程为，因为，，三点在圆上，所以解得于是所求圆的一般方程是.
故选：D.
4．已知的顶点，，，则其外接圆的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先设圆的方程为，根据题意，列出方程组求解，即可求出结果.
【详解】设的外接圆的方程为，
因为的顶点，，，
所以，解得，因此即为所求圆的方程.
故选：A.
【点睛】本题主要考查求圆的标准方程，利用待定系数法求解即可，属于基础题型.
5．求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由圆心在直线x﹣2y﹣2＝0上，可设圆心C（2b+2，b），再根据圆心到两点A（0，4）、B（4，6）的距离相等，求出b的值，即得圆心和半径，从而求得圆的标准方程．
【详解】设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，
即，解得，
可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为．
故选：D．
6．圆关于直线l：对称的圆的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先求出圆的圆心坐标与半径，再设圆心关于直线对称的点的坐标为，即可得到方程组，求出、，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；
【详解】解：圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径，
所以对称圆的方程为；
故选：A
②圆与圆的位置关系


7．已知圆，与圆的半径分别为2和6，圆心距为4，则这两圆的位置关系是（    ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用圆心距与两圆半径和差大小关系判断作答.
【详解】依题意，圆与圆的圆心距4等于圆的半径6减去圆的半径2,所以圆内切于圆.
故选：D
8．已知圆和，则两圆的位置关系是（    ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】C
【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案.
【详解】由题意，知圆的圆心，半径.
圆的方程可化为，则其圆心，半径.
因为两圆的圆心距，故两圆外切.
故选：C.
9．已知圆与圆，则圆与的位置关系是（    ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】D
【分析】根据两圆心距离与两半径关系确定两圆位置关系.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
因为，所以两圆相离，
故选：D.
10．圆：与圆：的位置关系为（    ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
【答案】A
【分析】根据圆心距以及圆的半径确定正确选项.
【详解】圆：的圆心为，半径为.
圆：的圆心为，半径为.
，，所以两圆相交.
故选：A
11．两个圆与的公切线有且仅有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数
【详解】将两圆化为标准式可得
即两圆的圆心分别是,,半径分别是2，2
两圆圆心距离：，说明两圆相交，因而公切线只有两条．故选：B．
③直线与圆的位置关系


12．圆与直线的位置关系是（    ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【分析】运用几何法 与 的关系判断圆与直线位置关系即可.
【详解】圆的圆心为，半径为1，
所以圆心到直线的距离，所以直线与圆的位置关系为相交.
故选：A.
13．直线与圆的位置关系是（    ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】B
【分析】求得圆心到直线的距离和半径之间的关系，进行判断即可．
【详解】圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切．
故选：B
14．已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆的方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即：，列式可得结果.
【详解】设圆方程为，
∵直线与圆相切，圆心到直线的距离为，∴，
∴圆的方程为：.
故选：A.
15．直线与圆的位置关系是（   ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【答案】B
【分析】直线恒过定点，而此点在圆的内部，故可得直线与圆的位置关系.
【详解】直线恒过定点，
而，故点在圆的内部，故直线与圆的位置关系为相交，
故选：B.
16．设，则直线：与圆的位置关系为（    ）
A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交
【答案】C
【分析】求出直线恒过的定点，根据定点与圆的关系可得答案.
【详解】因为，所以，即直线恒过定点；
因为点恰在上，所以直线和圆的位置关系是相交或相切.
故选：C.
17．已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.
【详解】由，得，
∵直线与圆相离，
∴解得．∴实数m的取值范围是，
故选:D．
18．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出圆心到直线的距离即得圆的半径，即得圆的方程.
【详解】由题得圆心到直线的距离，所以圆的方程为.
故选：D.
19．已知圆与直线相切，则（    ）
A． B．
C．，或 D．，或
【答案】A
【分析】由直线与圆相切，根据即可求得，要注意斜率为0的情况.
【详解】将化为标准形式为，所以圆心，半径，因为与直线相切，当时，不合题意；当时，由得，.
故选：A
20．若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（    ）
A． B．
C．(1，＋∞) D．(1，3]
【答案】A
【分析】画出图象，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解.
【详解】根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y＝的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝；当直线l过B点时，直线l的斜率k＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.

故选：A.
④圆的弦长


21．直线被圆所截得的弦长为（    ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理即可求解.
【详解】由题意知，圆心，圆C的半径为3，
故C到的距离为，故所求弦长为．
故选：C
22．圆与直线的相交弦的长度等于（　　）
A．2 B．4 C．2 D．2
【答案】C
【分析】由圆心到直线的距离，结合勾股定理得出相交弦的长度.
【详解】圆可化为，即圆心为，半径
圆心到直线的距离，即所求相交弦的长度为.
故选：C
23．已知直线被圆截得的线段长为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆的一般方程可确定圆心和半径，根据直线被圆截得的弦长为可构造方程求得结果.
【详解】由圆方程得：圆心，半径，
圆心到直线的距离，，解得：.
故选：B.
24．已知直线l：与圆O：交于A、B两点且，则（        ）
A．0 B．±1 C．±2 D．±3
【答案】C
【分析】根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离：，由得，解得.
故选：C
25．若直线与圆相交于不同两点A，B，则弦AB长的最小值为（    ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】先求出直线过的定点，且在圆内，然后求出圆心和半径，根据圆的性质得，弦过且时弦长最短，从而可以求解．
【详解】由直线，
令，解得，所以直线过定点，
又，故在圆内．
由，记圆心为，半径，
所以，
根据圆的性质，当弦过且时弦长最短，此时弦长.
故选：B.
26．直线被圆所截得弦长的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断直线与圆的位置关系，再由圆心与直线过的定点与直线垂直求解.
【详解】解：易知直线l过定点，圆心，
因为，所以直线l与圆C相交，
当时，l被圆C所截得的弦最短，此时弦长．
故选：A．
⑤关于直线和圆的距离问题


27．已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】根据直线方程确定所过的定点，再由定点与圆心的距离即可得圆心C到直线l的最大距离.
【详解】由直线l得：，则直线l恒过定点，
由圆，则圆心，
故圆心C到直线l的最大距离.
故选：A
28．圆上动点到直线的距离的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由即可求解.
【详解】∵圆，∴圆心，半径，
∴圆心到直线的距离，∴圆上的点到
直线的距离最小值为，
故选：A.
29．已知M是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（    ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据圆上的点到一条直线距离的最大值等于圆心到此直线距离与半径和，根据恒过的定点，过圆心作直线的垂线，垂足为，得知点的轨迹为以为直径的圆，则求解.
【详解】设圆的圆心为，点到直线的距离为，过点作直线的垂线，垂足为，
则点到直线的距离为，所以，
又因为直线恒过定点，则垂足的轨迹为以为直径的圆，
则，所以
故选：B
30．圆上一点P到直线的最大距离为（    ）
A．2 B．4 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据圆的一般方程写出圆心坐标和半径，则点P到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径即可求得结果.
【详解】由圆化为标准方程可知，
圆心坐标为，半径；
则圆心到直线的距离为，
所以，圆上一点P到直线的最大距离为.
故选：D.
31．已知直线：，圆：，下列结论错误的是（    ）
A．直线的纵截距为
B．上的点到直线的最大距离为5
C．上的点到点的最小距离为
D．上恰有三个点到直线的距离为2
【答案】B
【分析】根据直线方程的性质、直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，依次判断选项即可.
【详解】对选项A，直线：，纵截距为，故A正确.
对选项B，圆：，圆心，半径，
上的点到直线的最大距离为，故B错误.
对选项C，因为，所以点在圆外，
所以上的点到点的最小距离为，
故C正确.
对选项D，圆心到直线：的距离，
因为，所以上恰有三个点到直线的距离为2，故D正确.
故选：B
32．已知，分别为轴，轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆面积的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得以为直径的圆过坐标原点，由向直线作垂线，垂足为，当为切点时，圆的半径最小，此时直径为点到直线的距离，进而求解.
【详解】为直径，，
点必在圆上，
由点向直线作垂线，垂足为，
当点恰好为圆与直线的切点时，圆的半径最小，
此时圆直径为到直线的距离，
即半径，所以圆的最小面积，
故选：C.
⑥多选题与填空题


二、多选题
33．经过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】将点代入各方程，判断是否满足圆的方程，即可得出答案．
【详解】选项A：点，，在圆上，点不在该圆上，故A正确；
选项B：点，，在圆上，点不在该圆上，故B正确；
选项C：点，，，都不在圆上，故C错误；
选项D：点，，在圆上，点不在该圆上，故D正确；
故选：ABD．
34．已知圆，则下列说法正确的是（    ）
A．圆C的半径为18
B．圆C截x轴所得的弦长为
C．圆C与圆相外切
D．若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是
【答案】BC
【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1
【详解】A：将一般式配方可得：，A错；
B：圆心到x轴的距离为2，弦长为，B对；
C：由题意，，所以圆C与圆外切，C对；
D： 圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，d表示圆心与直线的距离，
，则，解之: ，D错；
故选：BC.
35．已知圆C的方程为，直线的方程为，下列选项正确的是（    ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆相交
C．直线被圆所截最短弦长为
D．存在一个实数，使直线经过圆心
【答案】ABC
【分析】化简直线的方程为，结合方程组的解，可判定A正确；求得圆心到定点的距离，得到点在圆内，进而得到直线与圆相交，可判定B正确；根据圆的性质，得到当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，求得最短弦长，可判定C正确；将圆心坐标代入直线的方程，可判定D不正确.
【详解】对于A项：由直线的方程，可化为，
联立方程组，解得，即直线恒经过定点，所以A正确；
对于B项：由圆的方程，可得圆心，半径，
又由，可得在圆内，所以直线与圆相交，所以B正确；
对于C项：由，根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为，所以C正确；
对于D项：将圆心代入直线的方程，可得，所以不存在一个实数，使得直线过圆心，所以D不正确.
故选：ABC.
36．下述四个结论正确的是（     ）
A．过点与圆相切的直线方程为
B．直线与圆相交的充分不必要条件是
C．直线表示过点的所有直线
D．过点且在坐标轴上截距相等的直线方程是
【答案】AB
【分析】A选项设过点与圆的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即可，选项B利用充分不必要条件进行判断即可,选项C利用反例即可验证，选项D分截距为0，或不为0的情况讨论求出即可.
【详解】对于选项A，设过点与圆相切的直线方程为：
，
由题设得：，即，解得，
所以过点与圆相切的直线方程为，故A正确，
选项B，若直线与圆相交，则，
所以是直线与圆相交的充分不必要条件，故B正确，
选项C，点在轴上，但是无论取何值，直线不能表示轴上的直线，故C不正确，
选项D，若截距为0时，设直线方程为，
将点代入得：，所以方程为：，
若截距不为0时，设在坐标轴上的截距为，
则设直线方程为：，将点代入得：，
所以所求方程为：.故选项D不正确，
故选：AB.
37．已知圆：与圆：，则下列说法正确的是（    ）
A．若圆与x轴相切，则
B．直线与圆始终有两个交点
C．若，则圆与圆相离
D．若圆与圆存在公共弦，则公共弦所在的直线方程为
【答案】BC
【分析】选项A：若圆与x轴相切，则等于圆的半径；
选项B：直线恒过定点，点在圆内部，故直线与圆始终有两个交点；
选项C：利用圆心距与半径之和的关系，判断两圆是否外离；
选项D：若圆与圆有公共弦，联立两个圆的方程可得公共弦所在的直线方程为．
【详解】对于选项A：圆：，半径为2，若圆与x轴相切，则，故A错误；
对于选项B：直线，即，恒过定点，
又由，则点在圆内部，故直线与圆始终有两个交点，故B正确；
对于选项C：若，圆为，其圆心为，半径，
圆：，其圆心为，半径，
圆心距，两圆外离，故C正确；
对于选项D：若圆与圆有公共弦，联立两个圆的方程可得
即公共弦所在的直线方程为，故D错误．
故选：BC．
38．已知圆，直线，下列结论正确的是（    ）
A．直线l恒过点
B．若直线l平分圆C，则
C．圆心C到直线l的距离的取值范围为
D．若直线l与圆C交于点A，B，则面积的最大值为
【答案】AD
【分析】根据直线过定点、直线和圆的位置关系、圆的几何性质等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，令，得，即直线l恒过点，A正确．
圆C化为标准方程得，所以圆心．
因为直线l平分圆C，所以直线l过圆C的圆心，
所以，解得，B错误．
圆心C到直线l的距离的最大值为，最小值为0．
因为直线l不能表示，所以圆心C到直线l的距离不能为2，
故圆心C到直线l的距离的取值范围为，C错误．
设圆心C到直线l的距离为d，的面积为，
当时，面积的最大值为，D正确．
故选：AD
39．已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（    ）
A．若直线l与圆M相切，则
B．当时，四边形的面积为
C．直线经过一定点
D．已知点，则为定值
【答案】ACD
【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出即可判断A；根据求出，进而求出，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果；根据相切可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断C；根据直线过定点及可得，即C在以为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点，即可判断D.
【详解】解：对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离，
解得，所以A正确；
对于B，当时，，，，
因为为圆的两条切线，所以，
所以四边形的面积，
所以B错误；
对于C，因为，，且，
所以四点共圆，且为直径，
所以该圆圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，
因为是该圆和圆的相交弦，
所以直线的方程为两圆方程相减，
即，
化简可得：，
所以直线经过定点，所以C正确；
对于D，因为，所以，
因为在直线上，所以
即点C在以为直径的圆上，因为，，
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，圆心为，
因为点C在该圆上，所以为定值，所以D正确．
故选：ACD
40．已知圆，点为直线上的动点，则下列说法正确的是（    ）
A．圆心到直线的最大距离为8
B．若直线平分圆的周长，则
C．若圆上至少有三个点到直线的距离为，则
D．若，过点作圆的两条切线，切点为，，当点坐标为时，有最大值
【答案】BD
【分析】由圆，知圆心，半径，由直线过圆心可求，从而判断B；恒过定点,可求点到直线的最大距离，判断A；由已知圆心到直线的距离，可求的范围判断C；利用，从而可求最小时的位置判断D．
【详解】由圆，知圆心，半径，
对于A,直线恒过定点，点到直线的最大距离为，故A不正确；
对于B,直线平分圆的周长，则直线过圆心，，解得，故B正确；
对于C,若圆上至少有三个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离，
，解得，故C错误；
对于D,，要使最大，只需要最大即可，又，故需最小，此时与直线垂直，故此时与定点重合，故,故D正确，
故选：BD．
三、填空题
41．的三个顶点分别是，则其外接圆的方程为__________.
【答案】
【分析】求得圆心和半径，进而求得圆的方程.
【详解】由于，所以是外接圆的直径，
所以圆心为，半径为，
所以外接圆的方程为.
故答案为：
42．已知圆.若圆心到直线的距离为1，则直线的方程为__________.（写一个即可）.
【答案】（答案不唯一，符合题意即可）
【分析】根据直线与圆的位置关系写出符合题意的答案即可.
【详解】由题意知直线与圆相切，所以直线的方程可以为.
故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）.
43．早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义——一中同长也．已知O为坐标原点，．若，的“长”分别为1，r，且两圆相切，则________．
【答案】1或3
【分析】根据圆的定义，得出和的圆心和半径，再由两圆相切分为内切和外切两种情况，分别得出两半径间的关系，求解即可．
【详解】由题意，O为坐标原点，，
根据圆的定义可知，的圆心为，半径为1，
的圆心为，半径为r，
因为两圆相切，
当两圆外切时，则有，即，
当两圆内切时，则有，即，或（舍）
所以或3，
故答案为：1或3．
44．已知圆，以点为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据圆与圆的位置关系得出r的取值范围.
【详解】由题知的圆心为，两圆心的距离．
因为两圆有公共点，即相交或相切，所以，解得．
故答案为：
45．已知圆（）截直线所得的弦长为，则a的值为___________.
【答案】2
【分析】化圆的方程为标准方程，可得圆心和半径，求得圆心到直线的距离d，代入弦长公式，即可求得答案.
【详解】圆（）可变形为，
所以圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离，
根据弦长公式可得，因为，解得.
故答案为：2
46．圆上的点到直线的距离的最小值是__．
【答案】3
【分析】由圆心到直线的距离减去半径求解即可.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为2，
圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线的距离的最小值是．
故答案为：
47．已知圆与直线相交于两点，则的最小值是______.
【答案】
【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，将直线的方程变形为，恒过定点，分析可得在圆内部，分析可得：当直线与垂直时，弦最小，求出此时的值，由勾股定理分析可得答案.
【详解】根据题意，圆即，
圆心的坐标为，半径，
直线，即，恒过定点，
又由圆的方程为，则点在圆内，
分析可得：当直线与垂直时，弦最小，此时，
则的最小值为；
故答案为：.
48．直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是_________．
【答案】
【分析】首先由直线方程求得坐标，得到；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，从而得到点到直线距离的范围，利用三角形面积公式可求得结果.
【详解】由题意得：，    
由圆知：圆心，半径
圆心到直线距离
到直线距离，即
.
故答案为：

四、高考真题及模拟题精选


一、单选题
1．（2020·山东·统考高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】圆的圆心为，半径为，得到圆方程.
【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.
故选：B.
2．（2020·全国·统考高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
3．（2022·北京·统考高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
4．（2020·北京·统考高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.
【详解】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
5．（2020·全国·统考高考真题）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时根据弦长公式得最小值为.
故选：B.
【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
6．（2021·北京·统考高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则    
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，则当时，弦长取得最小值为，解得.
故选：C.
二、多选题
7．（2021·全国·统考高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
8．（2021·全国·统考高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
三、填空题
9．（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或．
【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
10．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
11．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，

当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
12．（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．
【答案】
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
13．（2021·天津·统考高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【答案】
【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【详解】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，因为，故.
故答案为：.
14．（2020·天津·统考高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
【答案】5
【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得．
【详解】因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．
15．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；故答案为：
五、题型精练，巩固基础


一、单选题
1．（2022秋·内蒙古阿拉善盟·高二阿拉善盟第一中学校考期末）已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由圆心到切线的距离等于半径，求出圆的半径，即可得到本题答案.
【详解】因为圆心为的圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以该圆的标准方程是．
故选：A
2．（2022秋·河北张家口·高二统考期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（    ）
A．相交 B．外切 C．外离 D．内含
【答案】B
【分析】确定两圆的圆心和半径，由圆心间的距离与半径的关系即可得解.
【详解】圆化成标准方程为，圆心，半径为，
圆，圆心，半径为，
，圆与圆的位置关系为外切，
故选：B
3．（2023秋·吉林·高二校联考期末）直线被圆截得的弦长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用配方法求得圆心与半径，再结合点到直线距离公式与弦长公式进行求解即可.
【详解】由，得，
所以圆的圆心为，半径为，
圆心到直线，即的距离为，
所以所求弦长为.
故选：B
4．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）若圆上恰有一个点到直线的距离为1，则a的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
因为圆上恰有一个点到直线的距离为1，
所以圆心到直线的距离为3，所以有.
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知圆截直线所得弦的长度为2，那么实数的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算圆心到直线距离的表达式，再结合弦长公式求解即可．
【详解】圆圆心为半径为
点到直线的距离为
则弦长为，得，解得
故选：D．
6．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆C：交于两点，若钝角的面积为，则实数a的值是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由钝角的面积为，求得，得到，进而求得圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径为，
因为钝角的面积为，可得，
解得，所以，可得，
又由圆的弦长公式，可得，解得，
根据点到直线的距离公式，解得.
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，由弦长公式得，圆心到直线的距离小于或等于，从而可得关于的不等式，即可求得结论.
【详解】圆的圆心为,半径,
直线的方程化为一般形式为.
，设圆心到直线的距离为，则，
，解得.
故选：D.
8．（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）过点作圆：的切线，则切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断点在圆上，再求出，即可得到切线的斜率，最后利用点斜式计算可得.
【详解】圆：，即，圆心为，半径，
又，所以点在圆上，且，
所以切线的斜率，所以切线方程为，即.
故选：C
9．（2023春·四川泸州·高三泸县五中校考开学考试）若圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可设圆心坐标为，其中，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可求得正数的值，由此可得出圆的方程.
【详解】由题意可设圆心坐标为，其中，
因为圆与直线相切，则，因为，解得，
因此，圆的方程为.
故选：A.
10．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知为坐标原点，为：上的动点，直线：，若到的最小距离为，则的值为（    ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线：的距离d，再根据点到的最小距离为，再由求解.
【详解】圆心到直线：的距离为：，
因为点到的最小距离为，所以，即，又因为，所以，
故选：C
11．（2022·福建莆田·莆田华侨中学校考模拟预测）已知圆：，过直线：上的一点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先得出切线长的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.
【详解】圆：中，圆心，半径
设，则，即
则
（当且仅当时等号成立）
故选：A
二、多选题
12．（2022·浙江·校考模拟预测）下列说法正确的是（    ）
A．直线的倾斜角为
B．存在使得直与直线垂直
C．对于任意，直线与圆相交
D．若直线过第一象限，则
【答案】ABC
【分析】对于A：化简成点斜式，利用斜率与倾斜角的关系得出结论，C选项首先求出直线过定点，且定点在圆的内部，得出结论，B、C是通过特值得出结论.
【详解】对于A：∵，∴，
∴，故A正确；
对于B：时符合题意，故B正确；
对于C：化简得：
∴，解得∴直线过定点，
又∵∴该定点在圆内，
∴直线与圆相交，故C正确；对于D：当此时直线为，经过第一象限，
此时，故D错误．
故选：ABC．
13．（2023·福建莆田·统考二模）已知圆，点，点M在x轴上，则（    ）
A．B不在圆C上 B．y轴被圆C截得的弦长为3
C．A，B，C三点共线 D．的最大值为
【答案】BCD
【分析】A选项，代入，验证其是否在圆上；B选项，由垂径定理得到弦长；C选项，根据条件，可知为直径，故A，B，C三点共线；D选项，结合为直径，且轴为的一条切线，可得的最大值.
【详解】A选项，因为，故在圆C上，A错误；
B选项，的圆心为，半径为，圆心到轴的距离为2，
由垂径定理，得y轴被圆C截得的弦长为，B正确；
C选项，因为，故在圆上，又，即为半径的2倍，因为在圆C上，故为直径，过圆心，故A，B，C三点共线，C正确；
D选项，由C知为直径，由于圆心为，半径为，故轴为的一条切线，
故的最大值为，D正确.
故选：BCD.
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆，圆，下列说法正确的是（    ）
A．若，则圆与圆相交
B．若，则圆与圆外离
C．若直线与圆相交，则
D．若直线与圆相交于，两点，则
【答案】AC
【分析】根据直线与圆相交、圆与圆位置关系逐项判断即可.
【详解】解：圆的圆心，半径
若，，则圆心，半径，则，
所以，则圆与圆相交，故A正确，B错误；
若直线与圆相交，则圆心到直线的距离，解得，故C正确；
若直线与圆相交于，两点，则圆心到直线的距离，所以相交弦长，故D错误.
故选：AC.
15．（2023·湖南·模拟预测）已知圆：与圆：，则下列说法正确的是（    ）
A．若圆与x轴相切，则
B．直线与圆始终有两个交点
C．若，则圆与圆相离
D．若圆与圆存在公共弦，则公共弦所在的直线方程为
【答案】BC
【分析】选项A：若圆与x轴相切，则等于圆的半径；
选项B：直线恒过定点，点在圆内部，故直线与圆始终有两个交点；
选项C：利用圆心距与半径之和的关系，判断两圆是否外离；
选项D：若圆与圆有公共弦，联立两个圆的方程可得公共弦所在的直线方程为．
【详解】对于选项A：圆：，半径为2，若圆与x轴相切，则，故A错误；
对于选项B：直线，即，恒过定点，
又由，则点在圆内部，故直线与圆始终有两个交点，故B正确；
对于选项C：若，圆为，其圆心为，半径，
圆：，其圆心为，半径，
圆心距，两圆外离，故C正确；
对于选项D：若圆与圆有公共弦，联立两个圆的方程可得
即公共弦所在的直线方程为，故D错误．
故选：BC．
三、填空题
16．（2022·天津·统考二模）过点，且与直线相切于点的圆的方程为__________.
【答案】
【分析】求得过点与直线垂直的直线方程，以及线段的垂直平分线的方程，联立方程组求得圆心坐标为，再求得，得到圆的半径，即可求解圆的方程.
【详解】设圆的标准方程为，
因为圆与直线相切于点，
可得过点与直线垂直的直线方程为，
又由，可得线段的垂直平分线的方程，
联立方程组，解得，即圆心坐标为，
又由，即圆的半径为，
所以圆的方程为.
故答案为：.
17．（2022·北京·统考模拟预测）经过点且与圆相切的直线方程为__________．
【答案】
【分析】根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离相等，分直线的斜率不存在和存在讨论求解.
【详解】解：圆的标准方程为：，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离相等，即，
化简得，
解得，，
综上：直线方程为：，
故答案为：
18．（2022·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）若直线截取圆所得弦长为2，则______.
【答案】0或4
【分析】由圆的方程找到圆心和半径，利用弦长公式求解即可.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由弦长公式可得，解得0或4，
故答案为：0或4
19．（2022·天津红桥·天津三中校考三模）设M是圆上的点，则M到直线的最长距离是_____．
【答案】8
【分析】利用圆心到直线的距离，加上圆的半径，求得圆上点到直线的距离的最大值.
【详解】依题意可知，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，故圆上点到直线的最大距离为.
【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题.
20．（2022·安徽六安·统考一模）已知直线与圆交于A，两点，则的最小值为______.
【答案】
【分析】求出直线l经过的定点M，将圆的方程化为标准方程求出圆心和半径，当CM⊥l时，最小，根据垂径定理即可求得此时的.
【详解】由题得，所以直线经过定点，

圆的圆心为，半径为.
圆心到定点的距离为，
当时，取得最小值，且最小值为.
故答案为：.