广西专版2023_2024学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何章末核心素养整合课件新人教版选择性必修第一册

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章末核心素养整合专题归纳突破知识体系构建知识体系构建专题归纳突破专题一 空间向量的运算空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量运算的坐标表示.空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致.空间向量的运算是利用空间向量解题的前提和基础,其中空间向量运算的坐标表示是将立体几何中的证明、计算问题转化成代数问题的重要途径.【典型例题1】 (1)如图,在四面体OABC中,G是△ABC的重心,G1是OG上一点,且 ,则(　　)D(2)若向量a=(1,λ,0),b=(2,-1,2)且a与b夹角的余弦值为 ,则实数λ等于(　　)(3)若向量a=(1,2,2),b=(3,1,-1),c=(-1,3,m),且a,b,c共面,则m=　　　　　　　　　. C5规律总结 1.进行空间向量的运算,常选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出目标向量,这是用基向量法解决立体几何问题的基本要求.2.空间向量的运算有两种形式,一是基向量形式;二是坐标形式.【跟踪训练1】已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4).(1)若c=(m,2,n),且a∥c,求c;(2)若p=(1,x,y),且a⊥p,b⊥p,求p.解:(1)∵a∥c,∴c=λa(λ∈R),即(m,2,n)=λ(2,-3,5),专题二 利用空间向量解:决空间位置关系问题向量作为工具来研究几何,真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合,给立体几何的研究带来了极大的便利.利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系,如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等.证明:∵二面角A1-AB-C是直二面角,∴平面A1ABB1⊥平面ABC.又四边形A1ABB1是正方形,∴AA1⊥AB.∴AA1⊥平面ABC.∴AA1⊥AC.又AB=AC,BC= AB,∴∠CAB=90°,即AC⊥AB.∴AB,AC,AA1两两互相垂直.如图,以A为原点,AC,AB,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.不妨设AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).规律总结 证明平行、垂直问题,除了应用传统的证明平行、垂直的判定定理外,还可以转化为直线的方向向量与平面的法向量之间的关系,利用向量共线或向量垂直进行证明.(1)EF∥平面A1B1BA;(2)平面AEA1⊥平面BCB1.证明:(1)由AB=AC,E为BC的中点,则AE⊥BC,而AA1⊥平面ABC,AA1∥BB1,过E作平行于BB1的垂线为z轴,EC,EA所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系.专题三 利用空间向量解:决空间距离问题用几何法求点线距、点面距时,基本思想是转化为点与垂足之间的距离,但有时垂足的位置不好确定,或运算很麻烦.因此,我们经常用向量法解决点线距、点面距,将点线距放在已知点与直线上一点构成的向量以及此向量在直线的单位方向向量上的投影向量构成的直角三角形中求解.将点面距转化为已知点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的模,这样就大大简化了运算.【典型例题3】在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC= , AB=BC= AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=a,点F在线段AD上,且CF⊥PC.求:(1)点A到平面PCF的距离;(2)AD与平面PBC间的距离.解:(1)由题意知AP,AB,AD两两垂直,建立空间直角坐标系,如图.则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).设F(0,m,0)(0≤m≤3a),取x0=1,则z0=1,于是n1=(1,0,1)是平面PBC的一个法向量,设点A到平面PBC的距离为h,∵AD∥BC,AD⊄平面PBC,∴AD∥平面PBC,∴h为AD到平面PBC的距离,规律总结 1.求点到平面的距离,常常利用向量法,转化为平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度.2.求直线到平面的距离,往往转化为点到平面的距离求解,且这个点要适当选取,以易于求解为准则.【跟踪训练3】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2, ∠BAC=90°,M为BB1的中点,N为BC的中点.求:(1)点M到直线AC1的距离;(2)点N到平面MA1C1的距离.解:(1)连接AM,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),专题四 利用空间向量解:决空间夹角问题用几何法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角时,都需要先作出(或找出)所求空间角的平面角,费时费力,难度很大.而利用向量方法,只需求出直线的方向向量与平面的法向量,即可求解,体现了向量方法的优越性.【典型例题4】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2, AA1= ,点E,F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.求:(1)异面直线AF和BE所成的角;(2)直线AF和平面BEC所成角的正弦值.规律总结 解决立体几何中的夹角问题的思路:思路一:利用定义,在图形中找出所求的角,解三角形求出所求角;思路二:利用向量法,转化为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角.注意线线角、线面角、面面角与对应向量满足的关系.【跟踪训练4】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD, AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3,E为PD的中点,点F在PC上,且 .(1)求证:CD⊥平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;(3)设点G在线段PB上,且 ,判断直线AG是否在平面AEF内,请说明理由.(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.又AD⊥CD,且AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD.(2)解:过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),令z=1,则y=-1,x=-1,于是n=(-1,-1,1)是平面AEF的一个法向量.又可知p=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量,专题五 利用空间向量解:决立体几何中的存在性问题 解决存在性问题的基本策略:先假设题中的数学对象存在(或结论成立),再在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出与条件吻合的数据或事实,则说明假设成立,即存在;若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论,则说明假设不成立,即不存在.【典型例题5】如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4, AO=3,OD=2.(1)求证:AP⊥BC.(2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.(1)证明:如图,以O为原点,建立空间直角坐标系,则A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),(1)求异面直线AP与DM所成角的余弦值;(2)在棱PB上是否存在点N,使得AN∥平面BDM?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设O是AD的中点,连接OP,OB,由于PA=PD= ,所以OP⊥AD.由于平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD,OP⊂平面PAD,所以OP⊥平面ABCD.由于OB⊂平面ABCD,所以OP⊥OB.在菱形ABCD中,∠BAD=60°,所以三角形ABD是等边三角形,所以OB⊥AD,故OA,OB,OP两两相互垂直,由此建立空间直角坐标系如图所示,